Системы уравнений

Содержание

Введение
§1. Из истории решения систем уравнений
§2. Определения
§3. Некоторые способы решения систем уравнений
§3.1. Метод подстановки
§3.2. Метод новой неизвестной
§3.3. Графический метод
§3.4. Решение систем линейных уравнений
§3.4.1. Метод Гаусса (метод исключения)
§3.4.2. Метод Крамера
§3.5. Решение систем симметрических уравнений
§4. Примеры
Заключение
Список литературы

Системы уравнений

§4. Примеры
Пример 1. Решить систему уравнений .
Решаем методом подстановки. Выражаем через в первом уравнении системы и подставляем полученное выражение вместо во второе уравнение системы:

Решаем второе уравнение и подставляем решения в первое уравнение
.
Ответ: (1, 4), (4, 1).
Пример 2. Решить систему уравнений .
Этот пример показывает использование метода подстановки в системах нелинейных уравнений. Заметим, что область допустимых значений данной системы определяется неравенствами и . Преобразуем систему:
,
далее подставляем из первого уравнения системы во второе:
.
Решаем второе уравнение относительно :
и подставляем решения в первое уравнение:
.
Осталось проверить получившиеся решения на принадлежность ОДЗ: (2, 4) входит в ОДЗ исходной системы, а (-2, 4) – нет.Поэтому решением исходной системы является только (2, 4).
Ответ: (2, 4).
Пример 3. Решить систему уравнений .
Введение новых переменных превращает исходную систему в систему линейных уравнений
,
которую можно решать методом подстановки, например:
Далее ищем :
Ответ: ±(5, 4, 3).
Пример 4. Решить систему уравнений .
Прежде чем определяться с методом решения, преобразуем систему:
Теперь видно, что введение новых переменных упрощает систему:
Отсюда легко найти решения (-6, -5, -4) и (4, 3, 2).
Ответ: (-6, -5, -4), (4, 3, 2).
Пример 5. Решить систему уравнений
Вводим новую переменную в первом уравнении системы и решаем его:
Делаем обратную замену. Если то система примет вид:
.
Если то система примет вид:
.
Данная система имеет четыре решения (1, 1), (1/2, 2), (2, -1), (-1/2, 4).
Ответ: (1, 1), (1/2, 2), (2, -1), (-1/2, 4).
Пример 6. Решить систему уравнений .
Этот пример демонстрирует введение новой неизвестной. Так как то и можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно ввести новую неизвестную такую, что . Второе уравнение системы примет вид
.
Условию удовлетворяют четыре значения
.
.
.
.
.
Ответ: ; ; ; .
Пример 7. Решить систему уравнений .
Решим данную систему графически. Первое уравнение задает единичную окружность, второе – биссектрису первой и третьей координатных четвертей, см. рисунок ниже. Точки их пересечения (1, 1) и (-1, -1) являются решениями системы. В данном случае решения удалось найти точно.
Ответ: (1, 1), (-1, -1).
Пример 8. Решить систему уравнений .
Решим данную систему графически. Первое уравнение задает гиперболу, второе – прямую, их точки пересечения указаны на рисунке ниже. Точки пересечения (-3, 1) и (1, -3) являются решениями системы. В данном случае решения удалось найти точно.
Ответ: (-3, 1), (1, -3).
Пример 9. Решим предыдушую систему уравнений как систему симметрических уравнений.
В данном случае все необходимые замены уже сделаны, поэтому по формулам Виета и являются корнями уравнения , т.е. 1, -3.
Ответ: (-3, 1), (1, -3).
Пример 10. Решить систему уравнений .
Первое уравнение эквивалентно и задает параболу с осью Ox и вершиной в точке (-2, 0). Второе уравнение эквивалентно и задает единичную окружность с центром в точке (-1, 0). Как видно из рисунка, парабола и окружность касаются в точке (-2, 0). Значит, система имеет единственное решение (-2, 0), которое найдено точно.
Ответ: (-2, 0).
Пример 11. Решить графически систему уравнений
Первое уравнение системы задает единичную сферу с центром в начале координат в трехмерном пространстве. Координатная плоскость пересекает ее по окружности . Пересечение координатных плоскостей и - это ось Oz, которая пересекает окружность в двух точках (0, 0, -1) и (0, 0, 1). Таким, образом, система имеет два решения (0, 0, -1) и (0, 0, 1).
Ответ: (0, 0, -1) и (0, 0, 1).
Пример 12. Решить графически систему уравнений
Графики функций представлены на рисунке ниже. Как видно из рисунка, для того, чтобы найти точки пересечения, нужно взять достаточно мелкий масштаб при построении графиков функций. Это дает три точки пересечения (1/2, 1/4), (1/4, 1/2) как точные решения системы и (0,35, 0,35) как приближенное.
Ответ: (1/2, 1/4), (1/4, 1/2), (0,35, 0,35).
Пример 13. Решить графически систему
Первое уравнение системы задает конус в трехмерном пространстве с вершиной в начале координат и углом между образующей конуса и его осью . Плоскость пересекает этот конус по окружности , таким образом, система имеет бесконечное число решений. Этот пример демонстрирует одно из наиболее простых конических сечений.
Ответ: окружность , лежащая в плоскости .
Пример 14. Конические сечения как пример графического решения системы.
Рассмотрим конические сечения на примере сечения конуса из предыдущего примера плоскостью . Это сечение задается системой уравнений Возможны следующие варианты (см. [3]):
если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение – точка начала координат;
если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс;
если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу;
если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.
Таким образом, у системы может быть либо нулевое решение, либо бесконечно много решений, которые задают эллипс, гиперболу или параболу.
Пример 15. Решить систему уравнений
Решим систему методом исключения:
Ответ: (-1/2, 1).
Пример 16. Решить систему уравнений из предыдущего примера методом Крамера.
Матрица системы , вектор правых частей . Решаем по правилу Крамера:
Ответ: (-1/2, 1).
Пример 17. Решить систему уравнений методом Гаусса
Запишем таблицу коэффициентов матрицы системы и выполним преобразования строк этой таблицы по методу Гаусса (ведущие элементы подчеркнуты):
Последняя таблица соответствует системе
,
которая эквивалентна исходной системе. Значит, – решение исходной системы.
Пример 18. Решить систему уравний из предыдущего примера методом Крамера.
Матрица системы и вектор правых частней равны
.
Решим систему методом Крамера:
Пример 19. Решить систему уравнений
Запишем таблицу коэффициентов матрицы системы и выполним преобразования строк этой таблицы по методу Гаусса (ведущие элементы подчеркнуты):
Последняя матрица соответствует системе