Вариант №1

Оглавление

Исходные данные для проектирования
Введение
Анализ системы автоматического управления
Исследование заданной системы на устойчивость двумя критериями
Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме
Синтез системы автоматического управления
Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ
Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик
2.Проверка результатов синтеза
Определение запасов устойчивости скорректированной САУ
Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом
Заключение
Список литературы

Вариант №1

Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.
Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.
Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все определители матрицы, составленной из коэффициентов следующего характеристического уравнения, были положительны:
D(p) = 1+W(s)|s=p = 0
Разложим е -p в ряд Макларена:
Два первых члена.
е -p = 1 - р
Раскроем скобки:
где
тогда
а0 = T1T2TT = 4.88*10-5 c3
a1 = T1TT + T2TT + T1T2 = 0.011 c2
a2 = T1 + T2 + TT = 0.25 c
a3 = 1 – KОБЩ* = - 3.5
a4 = KОБЩ = 500 c-1
Тогда, необходимое условие устойчивости: ai > 0, для любого i = 0 .. n – не выполняется.
Проведем проверку по критерию Гурвица:
=
Найдем все определители матрицы:
1 = а1 = 0,011
2 = а1 а2 – а0 а3= 0,00275
3 = а1 а2 а3 – а0 а32 – а12 а4 = - 0.071
4 = а13 = - 0,00078
Определители 3 и 4 меньше нуля, а также не удовлетворяют критерию Гурвица. Значит, система неустойчива.
Построим характеристический многочлен.
Сделаем подстановку р = j:

Действительная часть:

Мнимая часть

где

а0 = T1T2TT = 4.88*10-5 c3
a1 = T1TT + T2TT + T1T2 = 0.011 c2
a2 = T1 + T2 + TT = 0.25 c
a3 = 1 – KОБЩ* = - 3.5
a4 = KОБЩ = 500 c-1
Вычислим значения X() и Y() при различных значения частоты. (таб 11).
Таблица 1.1.

5
10
20
30
40
50
60
70
80
X()
500
493.78
475.49
707.81
314.53
224.93
180
232.45
446.69
898.85
Y()
-18.88
-46
-158
-402
-844
-1500
-2586
-4018
-5912
Построим кривую Михайлова..
Рис. 1.1. Кривая Михайлова.
Из годографа видно, что кривая Михайлова с увеличением  до бесконечности будет постоянно убывать, а следовательно не опишет угол 360 градусов. На основании этого делаем вывод, что система не устойчива.
Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме
Система будет устойчивой, когда логарифмическая амплитудная характеристика передаточной функции разомкнутой системы станет отрицательной раньше, чем фазовая характеристика достигнет значения -1800. L=0 при  = 31 рад/с, а  = -1800 при  = 8 рад/с. Согласно рисунку 1.2 видим, что система неустойчива.
, рад/с
, рад/с
Рис. 1.2. ЛЧХ передаточной функции разомкнутой системы.
Синтез системы автоматического управления
Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ
Располагаемую ЛЧХ системы будем строить по передаточной функции разомкнутой системы.
где
КОБЩ = 500 1/с – общий коэффициент передачи усилителя;
 = 0,009 с – время чистого запаздывания;
Сопрягающие частоты:
рад/с дек
рад/с дек
рад/с дек
График располагаемой ЛЧХ мы построили, рассмотрим его еще раз (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. График располагаемой ЛЧХ.

а). Низкочастотный участок желаемой ЛЧХ ( до 1 ) совпадает с низкочастотным участком располагаемой ЛЧХ.
б). Среднечастотный участок желаемой ЛАХ проводится из условия обеспечения требуемых запасов устойчивости для выполнения заданной величины перерегулирования –  и времени регулирования – tp.
 = 20 %
tp = 0.75 c
Среднечастотный участок желаемой ЛЧХ пересекает частотную ось на частоте среза ср и проходит под наклоном равным –20 дб/дек. Частота среза определяется согласно номограмме Солодовникова.

рад/с Lg(ср) = 1.21 дек
Протяженность среднечастотного участка от частоты среза определяет запас устойчивости по амплитуде и находится по номограмме Бессекерского.
Для  = 20 % получаем Lh = 15 дб.
в). Среднечастотный участок желаемой ЛЧХ сопрягается с низкочастотным участком отрезком ЛЧХ, имеющим наклон -60 дб/дек.
г). Высокочастотный участок желаемой ЛЧХ проводится параллельно высокочастотному участку располагаемой ЛЧХ.
В итоге получаем желаемую ЛЧХ (рис. 2.2.)
Рис. 2.2. График желаемой ЛЧХ
Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик
Рассчитаем сопрягающие частоты.
I = 0.5 рад/с
II = 3.16 рад/с
III = 100 рад/с
Определим постоянные времени:
TI = 1/I = 2 c
TII = 1/II = 0.32 c
TIII = 1/III = 0.01 c
Получим желаемую передаточную функцию разомкнутой системы:
Где
КОБЩ = 500 1/с – общий коэффициент передачи усилителя;
 = 0,009 с – время чистого запаздывания;
Выберем последовательный тип корректирующего устройства.
Тогда
WЖ(s) = WР(s)*WПКУ(s)
Где
WЖ(s) – желаемая передаточная функция
WР(s) – располагаемая передаточная функция
WПКУ(s) – передаточная функция корректирующего устройства
Перейдем к ЛАХ
LЖ(s) = LР(s) + LПКУ(s)
LПКУ(s) = LЖ(s) – LР(s)
Для построения ЛАХ корректирующего устройства необходимо взять разность ЛАХ желаемой и располагаемой систем (рис. 3.3.).
Рис. 2.3. Графики располагаемой и желаемой ЛАХ.
Производим вычитание:

а). Участок графика до частоты I – пройдет с наклоном (-20) – (-20) = 0 дб/дек.
б). Участок графика от I до II – с наклоном (-60) – (-20) = -40 дб/дек.
в). Участок графика от II до 1 – с наклоном (-20) – (-20) = 0 дб/дек.
г). Участок графика от 1 до Т – с наклоном (-20) – (-40) = 20 дб/дек.
е). Участок графика от Т до III – с наклоном (-20) – (-60) = 40 дб/дек.
ж). Участок графика от III до 2 – с наклоном (-80) – (-60) = -20 дб/дек.
з). Участок графика от 2 – с наклоном (-80) – (-80) = 0 дб/дек.
Получаем график переходного процесса (рис. 3.4.):