Применение корреляционно-регриссионного анализа в изучении

Оглавление
Введение
Глава 1. Роль корреляционно-регрессионного анализа при изучении экономических явлений.
Глава 2. Применение корреляционно – регрессионного анализа при исследовании экономических явлений.
2.1. Корреляционно-регрессионный анализ.
2.2. Проверка адекватности регрессионной модели.
2.3. Экономическая интерпретация параметров регрессии.
Заключение
Список литературы

Применение корреляционно-регриссионного анализа в изучении

Установление формы зависимости. Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);положительная равноускоренно возрастающая регрессия;положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия. Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.Определение функции регрессии. Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.Оценка неизвестных значений зависимой переменной. Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.Предположение о нормальности остатков. Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммами остатков.При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений [3].Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму. И корреляция, и регрессия служат для установления соотношений между явлениями и для определения наличия или отсутствия связи между ними.Поскольку корреляционная связь является статистической, первым условием возможности ее изучения является наличие данных по достаточно большой совокупности. По отдельным явлениям можно получить совершенно превратное представление о связи признаков, ибо в каждом отдельном явлении значения признаков, кроме закономерной составляющей, имеют случайное отклонение (вариацию). Какое именно число явлений достаточно для анализа корреляционной и вообще статистической связи, зависит от цели анализа, требуемой точности и надежности параметров связи, от числа факторов, корреляция с которыми изучается. Обычно считают, что число наблюдений должно быть не менее чем в 5—6, а лучше — в 10 раз больше числа факторов. Еще лучше, если число наблюдений в несколько десятков или в сотни раз больше числа факторов, тогда закон больших чисел обеспечивает эффективное взаимопогашение случайных отклонений от закономерного характера связи признаков.Вторым условием закономерного проявления корреляционной связи служит условие, обеспечивающее надежное выражение закономерности в средней величине. Кроме уже указанного большого числа единиц совокупности для этого необходима достаточная однородность совокупности. Нарушение этого условия может извратить параметры корреляции. В качестве третьего условия корреляционного анализа выдвигается необходимость подчинения распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону распределения вероятностей. Это условие связано с применением метода наименьших квадратов при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении метод наименьших квадратов дает оценки параметров, отвечающих принципам максимального правдоподобия. На практике эта предпосылка чаще всего выполняется приближенно, но и тогда метод наименьших квадратов дает неплохие результаты.Однако при значительном отклонении распределений признаков от нормального закона нельзя оценивать надежность выборочного коэффициента корреляции, используя параметры нормального распределения вероятностей или распределения Стьюдента.Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак. Рассмотрим теперь более подробно как проводится корреляционно- регрессионный анализ на конкретном примере.Глава 2. Применение корреляционно – регрессионного анализа при исследовании экономических явлений.2.1. Корреляционно-регрессионный анализ.Рассмотрим применение корреляционно-регрессионного анализа на конкретном примере. Для этого проанализируем зависимость фонда заработной платы от среднесписочной численности работников.Таблица 1.Исходные данные.Среднесписочная численность, чел.в отчетном году по фактическиФонд заработной платы без учета премии из фонда материального поощрения, всего персонала, у.е.13203473,832178705,5873323840,4662617999,2865721659,1902424628,9944425252,31066931442,82202166360,723978732,9При изучении связи экономических показателей деятельности используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид: ŷ = a0 + a1x , где ŷ - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии; a0 , a1 - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для использования МНК крайне важно, что в очень большом количестве исследуемых ситуаций выборочная дисперсия весьма близка к генеральной дисперсии и является хорошим приближением, а потому хорошей оценкой для генеральной дисперсии, кроме отдельных специальных случаев. В то же время выборочное среднее не является достаточно хорошей оценкой, а служит всего лишь грубым первоначальным приближением к оценке генерального среднего, которое уточняется с помощью формул, использующих выборочную дисперсию [2].Сами оценки являются случайными величинами, т.к. зависят от случайного сочетания значений в выборке, объема выборки и поэтому, так же как и исследуемая исходная случайная величина, имеют постоянную и случайную составляющие. Таким образом, оценки как случайные величины, вообще говоря, не совпадают в точности с оцениваемыми с их помощью характеристиками генеральной совокупности. Соответствующие разности между самой характеристикой и оценкой называются ошибками и также являются случайными величинами. Существует важное требование к оценкам, которое называется требованием несмещенности (несмещенные оценки): именно среднее оценки должно равняться соответствующей характеристике генеральной совокупности. Это свойство выражает, так сказать, аккуратность оценки.Другое важное требование — это надежность оценки, характеризуемая степенью сближения (сжатия) выборочной функции распределения к оцениваемой истинной, или теоретической, функции распределения. Поскольку разброс, или вариация, выражается дисперсией, то можно сказать, что требуется получить по возможности наименьшую дисперсию. Это требование и соответствующее свойство называются эффективностью.Наконец, третье важное требование заключается в том, чтобы предел оценки при стремлении объема выборки к бесконечности равнялся бы с вероятностью 1 истинному значению характеристики генеральной совокупности, и оно называется состоятельностью.Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице. Таблица 2.Расчетная таблица.№113203473,8174240045854162629,53712792,53,64232178705,51034908928005593,58295,101168427,61,773873323840,47626528920819821324769,16862595,24,004662617999,24390387611926269918476,4227723,52,065865721659,17494364918750282924542,18831214312,426902424628,98143257622225119425638,2610188064,357944425252,38918913623848272126892,6326906807,0781066931442,811382756133546323330551,21794935,63,8492202166360,7484924441146132897564455,0436315508,211023978732,9574560920932761,35846,093833365712,44Итого82108232095,69823236262826013635232095,62675331059,79Средняя8210,823209,5698232362,628260136323209,5626753315,98Сигма5851,41317560,6436Дисперсия, D34239029308376204Δ=3081512596——————Δа0=-4045336139091-1312,78————Δа1=92032308212,99————Расчёт определителя системы выполним по формуле: 3081512596;Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:-4045336139091.Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:9203230821.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:; .В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида: В уравнении коэффициент регрессии а1 = 2,99 означает, что при увеличении среднесписочной численности сотрудников на 1 чел. (от своей средней) фонд заработной платы возрастёт на 2,99 у. е. (от своей средней).Свободный член уравнения а0 = -1312,78 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на фонд заработной платы.Перед тем как применять полученную формулу необходимо есть проверить ее адекватность.2.2. Проверка адекватности регрессионной модели.Для того, чтобы на практике использовать модели регрессии важно оценить их адекватность, то есть насколько хорошо полученные результаты соответствуют фактическим данным.Корреляционный и регрессионный анализ обычно (особенно в условиях так называемого малого и среднего бизнеса) проводится для ограниченной по объёму совокупности. Поэтому показатели регрессии и корреляции – параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого вычислим расчетные (фактические) значения t-критерия для параметра a0 : для параметра a1 :,где n - объём выборки;Среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений ŷ: .Среднее квадратическое отклонение факторного признака x от общей средней :..Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t , которые определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы вариации . В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным 0,05. В нашем случае t=2,31 при . Таким образом, >2,31; >2,31.