Управление проектами с применением моделей целочисленного программирования

Введение
Методы целочисленного программирования
Практическая часть
Заключение
Литература

Управление проектами с применением моделей целочисленного программирования

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:
располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);
выделенные лимиты сырья S = 16 (т) и материалов M = 9 (т);
цены сырья Ps = 1 (тыс. руб./т) и материалов Pm = 3 (тыс.руб./т).
Необходимо:
1. Найти оптимальный план производства продукции при исходных объемах ресурсов.
2. Исследовать возможность увеличения объемов выпуска в условиях свободной торговли средствами производства.
3. Оценить эффективность дополнительного вовлечения ресурсов.
1. Построение, анализ и решение исходной модели.
1.1. Введем переменные х1, х2, х3 - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.
Модель имеет вид:
Стоимость С 20 х1 + 20 х2 + 24 х3 max
Труд Т 2 х1 + 3 х2 + 4 х3 12 (тыс. чел.-ч)
Сырье S 4х1 + 2 х2 + 6 х3 16 (т)
Материалы М 1 х1 + 3 х2 + 4 х3 9 (т)
х1, х2, х3 0
1.2. Прежде, чем переходить к решению, проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:
, i, j,
где C j – цена j-ой продукции, a ij – норма расхода i-го ресурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности.
(т.р./т.Ч-Час), ; ,
(т.р./т), ; ,
(т.р./т), ; .
Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов. Так, показатель = 5 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида.
1.3. Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения трудозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый большой = 10. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 (= 10), материалов – также продукция 1 (= 20).
Производство продукции 3, несмотря на самую высокую цену (С3 = 24.тыс. руб.), невыгодно с точки зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.
Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид:
С 20 х1 + 20 х2 max
Т 2 х1 + 3 х2 12
S 4 х1 + 2 х2 16
М 1 х1 + 3 х2 9
х1 0
х2 0
1.4. Решим задачу графически (рис.1). Ограничения T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии ограничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В, которая и является оптимальным планом
Ресурсы используются полностью:
ТВ = 12 (т.чел.-ч), SB = 16 (т), МВ = 9 (т).
Общая стоимость выпускаемой продукции:
СВ = 20 ∙ 3 + 20 ∙ 2 = 100 (тыс. руб.).
Отметим, что в условиях централизованного выделения ресурсов сырья и материалов полученное решение явилось бы окончательным.
1.5. Эффективность использования ресурсов можно оценить по показателям Ki:




2. Исследование возможности увеличения объема выпуска при свободной торговле средствами производства.
В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.
2.1. В нашем примере все ресурсы полностью являются лимитирующими.
Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом и С = 100 тыс. руб.
Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов сырья и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирующим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск продукции.

Рис. 1. Графическое решение исходной задачи.
Рис.2. Задача при неограниченных S и M.
2.2. Исходная модель примет вид:

С 20 х1 + 20 х2 max
Т 2 х1 + 3 х2 12
S 4 х1 + 2 х2 0
М 1 х1 + 3 х2 9
х1 0
х2 0

2.3. Решим задачу графически (см. рис. 2). Ограничения по сырью и материалам не показаны, так как находятся вне области определения х1 и х2. Область допустимых планов ОЕД определяется лишь ограничением Т. Оптимальный план находится в вершине D.
Стоимость выпуска продукции
CD = 20 · 6 = 120 (тыс. руб.).
Объем трудозатрат
TD = 2 · 6 = 12 (т.чел.-ч).
Потребное количество сырья
SD = 4 · 6 = 24 (т),
материалов
MD = 1 · 6 = 6 (т).
2.4. Новый план дает по сравнению с исходным :
прирост стоимостного выпуска ∆С = 120 – 100 = 20 (тыс. руб.),
- экономию материалов ∆М = 6 – 9 = – 3 (т), но требует дополнительного вовлечения сырья ∆S = 24 – 16 = 8 (т).
При обеспеченности сбыта и приобретении на рынке
выручка от продажи излишних материалов по цене РМ = 3 (тыс. руб.-т), ВМ = 3 · 3 = 9 (т.р.),
затраты на закупку дополнительного сырья по цене
PS = 1 (тыс. руб.-т),
ЗS = 1 · 8 = 8 (тыс. руб.).
При этом образуется остаток денежных средств Dn = BM – ЗS = 9 – 8 = 1 (тыс. руб.).
Таким образом, простейший эксперимент на модели дает возможность перейти к новому плану, дающему прирост выпуска продукции на 20 (т.р.) при равных ценах и положительном остатке от перепродажи 1 (тыс. руб.).

3. Исследование эффективности вовлечения дополнительных ресурсов.
Исследование на модели возможности наращивания стоимостного выпуска показало, что он может быть увеличен на 20 тыс. руб. за счет изменения ассортимента при дополнительном вовлечении ресурса сырья (8 т.) и положительном сальдо от перепродажи. Для данной производственной системы новый вариант плана выгоднее. В условиях рыночной экономики этого достаточно для принятия управленческого решения. В новом хозяйственном механизме индикатором такой оценки будут являться экономические нормативы, в частности, для ресурсов, которые общество считает дефицитными.
3.1. Оценим с указанных позиций, как изменяется эффективность использования ресурса (сырья) по мере его вовлечения в систему, причем для наглядности во всем диапазоне его изменения (от 0 и выше). При любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает оптимальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов времени и материалов получим модель:
С 20 х1 + 20 х2 max
Т 2 х1 + 3 х2 12
S 4 х1 + 2 х2 S
М 1 х1 + 3 х2 9
х1 , х2 0
Это параметрическая задача, в которой параметр S . Решим ее графически и определим зависимость максимального стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть
3.2. Для графического решения задачи построим множество допустимых решений, определяемое только постоянными ограничениями Т и М (см. рис. 3). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем изменять величину объема сырья S и для каждого его значения отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Результаты будем заносить в таблицу 2.
Таблица 2.
Объем сырья (т)
S
Оптимальный план

Максимум стоимости выпуска (тыс. руб.)
F (S)
Потребный
объем
Т
(т.чел.-т)
Потребный объем материалов М
(т)
Обозначения точки на графике
4
6
16
24
36
0 , 0
0 , 2
0 , 3
3 , 2
6 , 0
6 , 0
40
60
100
120
120
6
9
12