формирование понятия о смысле арифметических действий с помощью задач-ситуаций

Содержание

Введение
Глава I. Общая характеристика исследований в области формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов
Глава II. Проблема формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов
Глава III. Процесс формирования представлений о смысле арифметических действий в ходе курса начальной школы
Глава IV. Задачи-ситуации и их использование при формировании представления о смысле арифметических действий
Заключение
Список использованной литературы

формирование понятия о смысле арифметических действий с помощью задач-ситуаций

Естественно, возникает вопрос: может быть, целесообразнее познакомить детей со структурой текстовой задачи и с ее решением позже, когда они научатся читать?
Но в преподавании математики уже сложились определенные традиции. Так учили решать задачи в курсе «Арифметика», ориентируясь на типы простых задач и рассматривая как основное средство формирования у младших школьников представлений о конкретном смысле арифметических действий. Эта же методика нашла отражение в учебниках математики (авт. М.И. Моро и др.), по которым учителя начальных классов работают с 1969 года. Позже в них были внесены дополнения, связанные с названиями структурных компонентов задачи. Этот же методический подход, при котором простая задача является основным средством формирования у младших школьников математических понятий, остался в учебниках математики 2002 года издания для 1–4-х классов, хотя нельзя не отметить, что авторы увеличили время подготовительного периода для знакомства учащихся с задачей13.
Представляя определенную познавательную ценность, такой подход имеет один существенный недостаток: решая простые задачи с помощью предметных моделей, ученик не осознает необходимости выбора арифметического действия для ответа на вопрос задачи, так как может ответить на него, используя счет предметов. В связи с этим запись решения задачи оказывается для него формальной операцией, дополнительной нагрузкой. Например, решая задачу: «У зайчика было 9 морковок, 3 морковки он съел. Сколько морковок осталось у зайчика?», ученик выставляет на наборное полотно 9 морковок. «Это в задаче известно», – говорит он. Затем убирает 3 морковки: «Это тоже известно, эти морковки зайчик съел». Фактически ответ на вопрос задачи получен, так как оставшиеся на доске морковки ученик может пересчитать. Но теперь надо записать решение задачи. «Морковок стало меньше, чем было, значит, нужно вычитать», – произносит ребенок и записывает решение задачи.
Как видим, логика выполняемых учеником действий лишена всякого смысла. Сначала он ответил на вопрос задачи, затем сделал вывод, «что получилось меньше», и поэтому выбрал вычитание.
Если мы обратились к ученику с вопросом «Какое действие ты выберешь для решения задачи?», то у него уже должны быть определенные представления о тех действиях, из которых он будет осуществлять выбор. Но оказывается, что эти представления только формируются у младших школьников в процессе решения простых задач. А для выбора арифметических действий используются житейские представления детей, которые сориентированы в большинстве случаев на слова-действия в тексте задачи: подарили – взяли, было – осталось, пришли – ушли, улетели – прилетели – или на способность ребенка представить ситуацию, которая описывается в задаче. Но и с этим справляются не все дети, так как этому их не учили.
Поэтому возникает второй вопрос: может быть, целесообразно сначала разъяснить детям смысл действий сложения и вычитания, а потом уже приступить к решению простых задач?
Заметим, что сторонником этой точки зрения был прогрессивный русский методист Ф.А. Эрн, который считал, что у ученика сначала должны быть сформированы понятия об арифметических действиях, а лишь после этого – умение выбрать то или иное действие для решения данной простой задачи.
Как известно, процесс решения задачи связан с выделением посылок и построением умозаключений. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач, необходимо провести определенную работу по формированию у школьников основных приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение), использование которых является необходимым при анализе текста задачи.
Из приведенных выше размышлений следует, что решению текстовых задач должна предшествовать большая подготовительная работа, целью которой является формирование у младших школьников: а) навыков чтения; б) приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение); в) представлений о смысле арифметических действий, на которые они смогут опираться, осуществляя поиск решения задачи.
Рассматривая текстовую задачу как словесную модель ситуации (явления, события, процесса), а ее решение – как перевод словесной модели в символическую (математическую) – выражение, равенство, уравнение и т.д., целесообразно до решения текстовых задач создать учащимся условия для приобретения опыта в интерпретации той или иной ситуации на различных моделях. Средством создания этих условий может являться методика формирования у учащихся представлений о смысле арифметических действий, в основе которой лежит установление соответствия между словесными (вербальными), предметными, графическими (схематическими) и символическими моделями. Овладев этими умениями до решения текстовых задач, учащиеся смогут использовать приемы моделирования как общий способ деятельности, а не как частный прием для решения той или иной конкретной задачи14.
Данный методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач является ответом на вопрос, как научить младших школьников решать текстовые задачи.
Этот подход можно представить в виде двух этапов.
I этап – подготовительный. На нем младшие школьники овладевают навыками чтения; приемами умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения); усваивают смысл основных математических понятий: «сложение», «увеличить на», «вычитание», «уменьшить на», «разностное сравнение»; учатся использовать отрезки как средство моделирования этих понятий, овладевают умением складывать и вычитать отрезки, знакомятся со схемой.
II этап – основной. На нем учащиеся знакомятся со структурой задачи (условие, вопрос, известные, неизвестные), учатся анализировать ее текст (здесь уже не имеет значения, простая это задача или составная), переводить словесную модель в схематическую и (или) в символическую и овладевают умением записывать решение и ответ задачи.
Рассмотрим более подробно организацию деятельности учащихся на каждом этапе.
Так как предлагаемая методика обучения решению задач реализуется в курсе, направленном на систематическое формирование у детей приемов умственной деятельности, то работа в этом направлении осуществляется при изучении каждой темы, на каждом уроке математики, в каждом учебном задании, в процессе выполнения которых дети усваивают математическое содержание программы.
Безусловно, формирование навыков чтения не является основной задачей курса математики, поэтому словесные формулировки, сопровождающие в учебнике каждое задание, не следует рассматривать как материал для упражнений в чтении. Использование различных формулировок заданий позволяет детям осознать тот факт, что прежде, чем выполнять задание, его необходимо внимательно прочитать и понять. Тем самым учащиеся приучаются внимательно читать словесную инструкцию и анализировать условия выполнения предложенного задания. Этот навык является очень важным для решения задач15.
Для разъяснения смысла арифметических действий используется способ соотнесения различных моделей: предметной, вербальной, графической и символической. Покажем, как можно организовать такую деятельность учащихся на конкретном уроке по теме «Сложение».
Первый вариант урока
Учитель. Прочитайте слово, которое написано наверху страницы.
Дети. Сложение.
У. Может быть, кто-нибудь знает, что означает это слово?
Д. Это плюс, это прибавить. У зайчика одна морковка, а у белочки 3. Всего у них 4 морковки. Это сложение.
Помимо этих ответов, были и другие, но они в меньшей степени относились к содержанию этого понятия.
У. Сегодня на уроке мы постараемся разобраться, что же такое сложение. Кто может прочитать задание? (№ 152). Расскажи, что делают Миша и Маша?
Д. Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум, они сажают рыбок вместе. Маша запускает в аквариум трех рыбок, а Миша двух; рыбки будут плавать вместе и т.д.
Обратите внимание, сколько важных и нужных слов, характеризующих смысл действия «сложение», произнесли дети. При этом, заметьте, им не давалось никакого образца. Каждый из них работал на своем уровне и использовал только те слова, которые ему были понятны.
У. Я попробую изобразить на доске то, что нарисовано на картинке.
Учитель выкладывает на фланелеграфе трех рыбок.
– Все ли правильно я сделала?
Д. Вы показали рыбок только Маши, надо еще добавить рыбок Миши. У него две рыбки.
Учитель выкладывает на фланелеграфе еще двух рыбок.
Аналогичная работа проводится с верхней правой картинкой, которая дана в учебнике. Миша ставит в вазу четыре тюльпана, а Маша пять васильков. Они объединяют цветы вместе в одной вазе.
У. Вы очень хорошо рассказывали, что нарисовано на картинках. А теперь давайте попробуем то, что вы рассказывали словами, записать с помощью математических знаков. Посмотрите, под картинками даны в рамочках какие-то записи. Может быть, некоторые из вас могут их прочитать, а вот как они называются, вы, наверное, не знаете.
Некоторые дети пытаются угадать названия записей. Одни говорят – примеры, другие – неравенства, третьи даже – таблица умножения.
У. Нет, никто не угадал. Эти записи называются «математические выражения».
Д. А здесь это написано.
У. Верно, прочитай всем ребятам то, что написано в учебнике. (Действия Миши и Маши можно записать математическими выражениями.)
– А теперь внимательно рассмотрите эти выражения. Может быть, кто-то догадается, какие выражения относятся к верхней левой картинке.
Ориентируясь на числа, дети называют выражения 3 + 2 и 2 + 3 и объясняют, что обозначает каждое число в выражении: 3 – это количество рыбок, которых Маша запускает в аквариум, 2 – это количество рыбок, которых Миша запускает в аквариум.
У. Верно, выражения 3 + 2 и 2 + 3 обозначают, что рыбок объединили вместе.
Теперь подберите выражения к верхней правой картинке.
Дети легко справляются с заданием и объясняют, что обозначают на картинке числа 4 и 5.
У. А теперь попробуйте самостоятельно подобрать выражения к другим картинкам. У каждого из вас листочек, который разделен на четыре части. Вы должны записать выражения, которые подходят к левой нижней картинке и к правой нижней картинке.
Дети самостоятельно выполняют задание. Учитель наблюдает за их работой, ходит по классу, помогает некоторым детям. Затем он пишет на доске, которая разделена на четыре части, математические выражения.
На доске:
3 + 2
2 + 3
– Посмотрите на доску. Я записала два выражения, которые увидела у одного ученика в тетради. Все ли с ним согласны?
Д. Это надо записать к верхней картинке.
– Это неверно. Здесь надо записать 3 + 1 и 1 + 3, потому что у Маши 3 конфетки, а у Миши одна. Они складывают их в одну вазочку.
У. Ну, а если я запишу к нижней левой картинке выражение 2 + 2 – это будет верно?
Находятся ученики, которые с этим соглашаются, так как 2 + 2 это 4. Но другие возражают. Это неверно, ведь Маша кладет в вазочку три конфетки, а Миша одну.
У. А теперь догадайтесь, к какой картинке подходит запись 4 + 5 = 9?
Посмотрите, здесь появился новый знак, который называется «равно», а запись 4 + 5 = 9 называется «равенство».
Равенства могут быть верные и неверные. Что значит «верные равенства»?
Каждое из равенств, предложенных в учебнике, записывается на доске и проверяется на предметных моделях (это могут быть любые предметы).
4 + 5 = 9
Для проверки равенства дети пересчитывают или присчитывают предметы.
У. Давайте теперь прочитаем в учебнике, как предлагает проверять равенства Миша.
(Обсуждается рисунок числового луча, который учитель выносит на доску.)
Таким образом, для разъяснения действия сложения активно привлекается ранее изученный материал (счет, присчитывание, числовой луч). Простая задача заменяется способом соотнесения различных моделей: предметной (рисунки), вербальной (описание картинок), графической (рисунок на числовом луче), символической (запись выражения, равенства).
Второй вариант урока
На доске изображен числовой луч. Учитель вызывает к доске двух учеников. Дети поворачиваются спиной к классу, и учитель дает каждому из них какие-то предметы.
Учитель комментирует:
У. Я даю грибочки Лене и Вере. Они их сосчитают и скажут мне число на ушко. А я покажу вам на луче, сколько грибочков у каждой из них.
Учитель выполняет на доске рисунок:
Учитель комментирует свои действия:
У Лены столько грибочков (проводит первую дугу), а у Веры столько грибочков (проводит вторую дугу).
Кто угадал, сколько грибочков у Лены? Сколько грибочков у Веры? Сколько всего грибочков у Лены и у Веры?
У. Давайте проверим, правильно ли вы ответили на мои вопросы. Девочки выкладывают грибочки на фланелеграфе (4 больших и 4 маленьких).
А теперь я объединю большие и маленькие грибочки (проводит кривую замкнутую линию, внутри которой оказываются большие и маленькие грибочки). Кто сможет записать на языке математики то, что я сделала?
Дети записывают 4 + 4 и поясняют, что обозначает каждое число в данном выражении.
Как видим, на втором уроке учитель для разъяснения смысла сложения сначала воспользовался графической моделью, затем перешел к предметной, далее к словесной (дети описали, что они видят на картинке) и после этого познакомил их с символической моделью (выражение, равенство).
Аналогично, ориентируясь на страницу учебника, можно построить урок при знакомстве детей с вычитанием.
Таким образом, решение простых задач заменяется различными упражнениями (учебными заданиями), в процессе выполнения которых дети усваивают конкретный смысл действий сложение и вычитание. Приведем такие упражнения: (тетрадь с печатной основой № 1) № 63, 64–67, 68, 70, 79.
Для разъяснения понятия «разностное сравнение» – «На сколько больше? На сколько меньше?» – особое значение имеет выбор предметной модели. Дело в том, что если в качестве предметной модели используется рисунок, на котором предметы расположены друг под другом, то детям довольно трудно осознать, что ответ на вопрос «На сколько больше (меньше)?» связан с выполнением действия вычитание. Если же ребенок не осознает этой связи, а только запомнит правило: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее», – то при решении задач он будет ориентироваться только на внешний признак, а именно на слово «на сколько»16.
В качестве примера можно привести такую задачу: «На остановке из автобуса вышли 3 девочки и 7 мальчиков. На сколько человек в автобусе стало меньше?» (До 50% детей решают задачу вычитанием.)
Не представляя предметного смысла разностного сравнения, многие дети, отвечая на вопрос «На сколько меньше?», выбирают вычитание. А для ответа на вопрос «На сколько больше?» выбирают сложение.
Приведем примеры заданий, в процессе выполнения которых дети усваивают предметный смысл разностного сравнения: № 261, 267 (учебник для 1-го класса), № 18, 19, 24 (тетрадь с печатной основой № 2, 1-й класс).
Для формирования у детей умения представлять ситуацию, описанную словами, предлагаются задания на соотнесение вербальных и предметных моделей: № 393, 402 (учебник для 1-го класса).
В I четверти 2-го класса учащиеся знакомятся со схемой: № 41, 42, 49, 58 (учебник для 2-го класса).
Второй этап
Для формирования умения читать текст задачи (выделять условие, вопрос, известные, неизвестные), анализировать его с точки зрения математических понятий и отношений, устанавливать взаимосвязь между условием и вопросом используются различные методические приемы.
К решению задач учащиеся приступают во II четверти 2-го класса.
1) Сравнение текстов задач, выявление их сходства и различия:№ 131, 132,138, 149 (учебник для 2-го класса).
2) Составление задач по данным условиям и вопросу: № 35 (а), 36 (а) (тетрадь «Учимся решать задачи», 1–2-й классы).
3) Перевод словесной модели задачи или ее условия в схематическую модель: № 41 (а), 43 (а) (тетрадь «Учимся решать задачи», 1–2-й классы).
4) Выбор схемы № 44 (а) (тетрадь «Учимся решать задачи», 1–2-й классы).
5) Завершение начатой схемы, соответствующей данной задаче: № 49 (а), 59 (а), (б) (тетрадь «Учимся решать задачи», 1–2-й классы).
6) Объяснение выражений, составленных по условию задачи: № 179 (учебник для 2-го класса).
7) Выбор вопросов, соответствующих данному условию: № 191; на которые можно ответить, пользуясь данным условием: № 222 (учебник для 2-го класса).
8) Выбор условий, соответствующих данному вопросу: № 230 (учебник для 2-го класса).
9) Дополнение текста задачи в соответствии с данным решением: № 65 (тетрадь «Учимся решать задачи»).
10) Дополнение текста задачи в соответствии с данной схемой: № 42 (а), (б), № 72 (а), (б).
11) Выбор задачи, соответствующей данной схеме: № 77.
12) Выбор решения данной задачи: № 37 (тетрадь).
13) Постановка к данному условию различных вопросов и запись выражения, соответствующего каждому вопросу: № 34 (тетрадь).
14) Обозначение на схеме известных и неизвестных в задаче величин: № 51 (а), (б), 69 (а), (б) (тетрадь).
Для проверки сформированности умения решать задачи учитель предлагает детям самостоятельно записать решение различных задач. Если у детей возникают затруднения, то учитель может использовать любые сочетания методических приемов в зависимости от содержания задачи.
Уроки математики
2-й класс
Тема. «Решение задач»
Цель. Формирование умений анализировать текст задачи и интерпретировать его на схематической модели (перевод вербальной модели в схематическую).
Учитель. Мы продолжаем сегодня на уроке учиться решать задачи. В этом нам помогут задания из тетради «Учимся решать задачи»1. Откройте задание № 48. Прочитайте задание (а) про себя, затем вслух.
– Теперь прочитайте задание (б).
– Попробуем выполнить задание самостоятельно. Это поможет вам сделать вывод о том, поняли ли вы текст условия задачи или нет.
Дети работают самостоятельно (пользуются простым карандашом). Все справляются с заданием, выбирая схему 4 и обозначая на ней известные в условии задачи величины. Учитель открывает на доске заранее нарисованные такие же, как в тетради с печатной основой, схемы.
Учитель. Кто хочет нарисовать схему на доске?
Желающих много. К доске выходят два ученика и быстро «оживляют» схему 4:
Учитель. Читаем задание в). Прежде чем отвечать на вопросы, давайте их обозначим на выбранной схеме.
Дети выполняют задание самостоятельно в тетради, учитель наблюдает за их работой и вызывает к доске тех, кто испытывает затруднения. К доске выходят по очереди трое детей. Каждый обозначает на схеме один вопрос.
Схема на доске принимает следующий вид:
У. Теперь вы можете самостоятельно ответить на каждый вопрос, записав арифметические действия.
С первым вопросом быстро справляются все дети: 7 + 2 = 9 (л.). Второй вопрос также не вызывает затруднений. У всех в тетрадях запись: 9 + 3 = 12 (л.). Дети внимательно изучают схему, сверяя ее с уже выполненными действиями. Учитель фиксирует варианты ответов детей на доске и предлагает обсудить их:
12 – 9 = 3 (г.)
12 – 7 = 5 (л.)
3 + 2 = 5 (л.)