Задачи потребительского выбора - модель

Введение
1. Задача потребительского выбора.
2. Построение модели.
3. Пример
4. Использование построенной модели на практике
Заключение.
Список литературы.

Задачи потребительского выбора - модель

Таблица 1.
B1
B2
B3
B4
B5
ui
A1
2
17
4
3
6
8
3
15
35
A2
9
7
1
2
3
19
6
20
3
A3
7
3
10
1
20
9
4
30
-1
17
14
20
19
15
85
vj
2
4
2
3
Чтобы план был оптимален, необходимо, чтобы в каждой занятой клетке сумма потенциалов была равна тарифу перевозки:

rang A=m+n-1=5+3-1=7 – занятых клеток, неизвестных -8(одна свободная). Полагая находим значения потенциалов.

Для каждой незанятой клетки должно выполняться условия:

Проверяем условие оптимальности для незанятых клеток:

Существует клетка, в которой нарушается критерий оптимальности. Необходимо улучшить составленный допустимый план. Для этого клетка, в которой нарушен критерий оптимальности, отмечается знаком (+). Затем для неё строится цикл – набор вершин и соединяющих их отрезков, так, что вершины цикла располагаются только в ненулевых клетках, а отрезки лежат вдоль строк или столбцов. Таким образом, в каждом столбце и в каждой строке может быть ровно две вершины. Начиная с клетки помеченной (+), помечаются (-)(+) все вершины цикла. Из вершин, отмеченных знаком (-) выбирается наименьшая и обозначается . Из всех вершин, отмеченных (-) вычитается, а ко всем, отмеченным (+) - прибавляется.
Составление нового допустимого плана:
=1
Таблица 2.
B1
B2
B3
B4
B5
ui
A1
2
17
4
3
6
8
3
15
A2
9
7
2
1
3
19
6
A3
7
3
11
1
19
9
4
-1
vj
2
4
2
3
3
Значения потенциалов для последующих планов рассчитываются аналогично расчету для первого допустимого плана.
Проверяется условие оптимальности для незанятых клеток:

Неравенство соблюдается во всех свободных клетках. План оптимальный и единственный, так как для всех ограничений неравенство строгое.
Для расчета общей стоимости перевозок необходимо посчитать значение целевой функции на данном плане:
Экономическая интерпретация двойственных переменных – условные цены у поставщиков () и у потребителей (). В оптимальный план вошли те переменные, где стоимость продукции у потребителя больше стоимости поставщика на тариф перевозки.
Задача 2
Предприятие производит два вида продукции Р1 и Р2, используя три вида ресурса S1,S2,S3. Известны запасы ресурсов, удельные затраты каждого вида ресурса на производство каждого продукта, а также цена единицы произведенной продукции (табл.1).
Требуется найти такой план выпуска продукции из имеющихся ресурсов, при котором общая стоимость произведенной продукции была бы наибольшей.
1. Составить математическую модель задачи.
2. Решить полученную задачу двумя способами: графически и симплекс-методом.
3. Для данной задачи составить двойственную.
4. Из последней симплекс-таблицы выписать оптимальные решения обеих задач.
5. Сделать проверку при помощи критерия оптимальности планов двойственных задач.
6. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Таблица 1.
Ресурсы
Затраты ресурсов на единицу продукции
Запасы ресурсов
Р1
Р2
S1
4
17
68
S2
5
3
45
S3
5
6
30
Цена ед. продукции
3
4
Обозначим через х1, х2 – объемы выпуска каждого вида продукции.
Тогда общая стоимость при заданных ценах, т. е. целевая функция примет вид:
Так как при производстве продукции не может быть использовано ресурсов больше чем их есть в запасе, то при заданных затратах на изготовление продукции можно выразить систему ограничений:
Графическое решение задачи состоит в нахождении области определения целевой функции, заданной системой ограничений, расчете значений целевой функции в точках экстремума и выборе необходимого максимального или минимального значения. Наглядность этого метода решения реализуется только в том случае, если количество переменных не превышает двух.
Прямые ограничивают плоскость ОАВС. Точки наибольшего значения линейной целевой функции на линейно заданной области определения следует искать в угловых точках области.
Координаты точек О,А,С найдены при построении.
Наибольшее значение функции, т.е. наибольшая стоимость продукции, достигается в , соответствующей выпуску продукции ;
Двойственная задача:
Для решения задачи при помощи симплекс таблицы необходимо привести задачи к каноническому виду:
Между переменными прямой и двойственной задачи устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое сохраняется до конца решения задачи, причем базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные в двойственной, и наоборот:

При решении прямой задачи симплекс методом, параллельно решается и двойственная.
Её решения содержатся в последней симплекс-таблице
Симплекс-таблица 1.
4
15