кор-ки С-8174

Исходные данные для проектирования
Введение
Анализ системы автоматического управления
Исследование заданной системы на устойчивость двумя критериями
Проверка результатов синтеза
Определение запасов устойчивости скорректированной САУ
Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом
Заключение
Список литературы

кор-ки С-8174

Устойчивость с использованием логарифмического критерия позволяет, построив совмещено ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, судить об устойчивости замкнутой системы.
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если при соответствующая ЛФЧХ проходит таким образом, что фаза не превосходит значения .
1) система устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчивой и в замкнутом, если точка А ЛФЧХ определяемая фазой соответствует области отрицательных значений логарифмической амплитуды ;
2) САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива в замкнутой, если при изменении от 0 до разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение лежащих в области положительных равна половине числа корней , где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Частотную ПФ необходимо представить в показательном виде
,
где A(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) разомкнутой САР;
φ(ω) – фазово-частотная характеристика (ФЧХ) разомкнутой САР.
АЧХ и ФЧХ связаны с частотной ПФ следующими зависимостями
Эти функции позволяют изобразить АЧХ и ФЧХ в натуральном масштабе. Искомые ЛАЧХ и ЛФЧХ получают логарифмированием координат A и ω, значения которые могут изменяться в широком диапазоне. Ординаты точек ЛАЧХ рассчитывают по формуле
L(ω) = 20lgA(ω).
Абсциссы точек ЛАЧХ рассчитывают по формуле
где ωср – частота среза;
ωi – "текущая" частота, принадлежащая выбранному диапазону частот ωмин ≤ ωi ≤ ωмакс, в котором необходимо построить искомые ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Фазовые углы φ откладывают по оси ординат ФЧХ в натуральном масштабе.
Искомые ЛАЧХ L(ω) и ЛФЧХ φ(ω) исследуемой САР могут быть построены вручную или в автоматическом режиме с помощью функции margin пакета расширения Control System Toolbox согласно SCRIPT 11. Результат показан на рисунке 6, изображающем частотные характерис­тики L(ω) и φ(ω) в графическом окне Bode Diagram.
SCRIPT 11:
>> W=tf(0.8,[0.1 1.1 1.1 1]);
>> margin(W)
Частотный диапазон (Frequency) ограничен значениями ωмин = 102 рад/с и ωмакс = 103 рад/с.  Его ширина равна 5 декадам. Диапазон изменения амплитуды (Magnitude) A составляет при этом минус 200 дБ, а фазовый угол (Phase) изменяется в пределах от 0 до минус 270°.
В графическом окне Bode Diagram возвращаются также запас устойчивости по амплитуде ΔL = 22,8 дБ (Gm = 22,8 dB) и запас устойчи­вости по фазе Δφ = ∞ (Pm = Inf), где Inf означает бесконечный (infinite).
В технике автоматического регулирования запас устойчивости САР нормируется следующими значениями
Рисунок 6 – Логарифмические частотные характеристики
Следовательно, САР обладает достаточным запасом устойчивости.
Проверка результатов синтеза
Определение запасов устойчивости скорректированной САУ
Под запасом устойчивости САР понимают степень удален­ности системы от границы устойчивости. Наибольшее распространение получила методика оценки запаса устойчивости САР на основании критерия устойчивости Найквиста. В качестве меры запаса устойчивости приняты вытекающие из критерия Найквиста две величины:
– запас устойчивости по фазе Δφ;
– запас устойчивости по амплитуде ΔL.
Названные величины наиболее просто определяют с помощью логарифмических частотных характеристик разомкнутой САР. ПФ разомкнутой САР

В этом выражении осуществляют замену операторов согласно равенству s = jω, (здесь ω – частота задающего воздействия). В результате получают функцию комплексного аргумента jω (частотную ПФ)
.
Направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание: 1) рациональной структуры системы и 2) установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев.
При множестве возможных решений, должен быть выбран критерий оптимизации - цена, точность, надежность, быстродействие, затраты энергии
При инженерном синтезе ставятся задачи:
1. Достижение требуемой точности.
2. Обеспечение приемлемого характера переходных процессов (задача демпфирования).
Решение первой задачи заключено в выборе средств повышающих точность системы (усилительных, изодромных блоков; каналов КУ; не 1ОС), т.е. фактически вида регулирования.
Решение второй задачи заключено в выборе оптимальных корректирующих средств.
Метод логарифмических амплитудных характеристик
Процесс синтеза включает в себя следующие операции:
1. Построение располагаемой ЛАЧХ исходной системы Wo, состоящей из регулируемого объекта без регулятора и без корректирующего устройства.
2. Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ на основе предъявленных требований точности.
3. Определение вида и параметров регулятора K, Ki, ...:
Wрег(s) = WНЧ.ж.(s) / Wo(s);
Lрег() = LНЧ.ж.() - Lo( ) .
4. Уточнение ВЧ части желаемой ЛАЧХ на основе требований к запасу устойчивости - LНЧ&ВЧ.ж.().
5. Определение вида и параметров последовательного корректирующего устройства:
WПЗ кор = WНЧ&ВЧ.ж. / [Wрег Wo];
LПЗ кор = LНЧ&ВЧ.ж. - Lрег - Lo .
6. Техническая реализация корректирующих устройств. В случае необходимости - перерасчет на эквивалентные параллельное звено или ОС.
7. Поверочный расчет и построение переходного процесса.
Требования к НЧ части желаемой ЛАЧХ
Оценка точности САР по воспроизведению гармонического сигнала
Если: g(t) = Gmsin(kt), то амплитуда Xm = |x(jk)| Gm = Gm / |1+W(jk)|.
Поскольку Xm должна быть << Gm, то W(jk) >> 1, следовательно Xm  Gm / |W(jk)|.
Те, чтобы система воспроизводила сигнал с ошибкой, непревышающей Xm, ЛАЧХ системы должна проходить не ниже контрольной точки Ak с координатами:  = k, L(k) = 20lg |W(jk)| = 20lg Gm/Xm.
Формирование запретной НЧ области для желаемой ЛАЧХ
Способ №1
Дано:
Xm - максимальная амплитуда ошибки;
Vm - максимальная скорость слежения;
Em - максимальное ускорение слежения.
Найдем связывающие отношения между амплитудой, скоростью и ускорением синусоидального сигнала:
g(t) = Gmsin(kt)
g'(t) = Gmkcos(kt)
g''(t) = -Gmk2sin(kt)
=>
Vm = Gmk
Em = Gmk2
=>
k = Em / Vm
Gm = Vm2 / Em
Если зафиксировать Vm в сигнале и уменьшать  от k, то Gm будет увеличиваться на 20 дБ за декаду (в 10 раз).
Если зафиксировать Em в сигнале и увеличивать  от k, то Gm будет уменьшаться на 40 дБ за декаду (в 100 раз).
Запретная область соответствует ЛАЧХ вида 1-2, т.е. системе с астатизмом 1-ого порядка добротности которой:
- по скорости
- по ускорению
Способ №2
Дано:
k - контрольная частота;
 - фазовая ошибка слежения;
 - относительная амплитудная составляющая ошибки.
- определяет вид запретной области (Kv и T1 - неизвестны).
Построим векторную диаграмму гармонических координат системы:
где:
;
Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ
В следящих системах с астатизмом 2-ого порядка, положение первой низкочастотной асимптоты всегда однозначно. Настройкой параметров регулятора (K, Ki1, Ki2) ее нужно подстроить по правой границе запретной области для НЧ.
В системах с астатизмом первого порядка надо определить положение 2-х асимптот. Возможные варианты определены положением постоянной времени объекта T1, относительно контрольной частоты:
a. K > K треб, но: затруднено демпфирование и увеличиваются ВЧ шум.
b. Kv > Kv треб, но: увеличиваются НЧ шум.
c. Истинная ЛАЧХ должна быть поднята на 3 дБ, для компенсации ослабления в 1,4142 раза в зоне частоты сопряжения.
Требования к ВЧ части желаемой ЛАЧХ
Формировать ВЧ участок ЛАЧХ удобно при использовании показателя колебательности M, линии уровня которого, при скольжении вектора A, с фазой  по окружностям M, можно нанести на ЛФЧХ.
В качестве типовых в НЧ части используются ЛАЧХ с наклоном не более -40 дБ/дек, которому соответствует нулевой запас по фазе, поэтому необходимо в области частоты среза формировать участок с наклоном -20 дБ/дек, т.е. сводить типовые ЛАЧХ к одному из 2-х видов:
1-2-1-2-3
0-1-2-1-2-4
1-2-3
0-1-2-3-4
Запретные зоны на ЛАЧХ определяют:
Для ЛАЧХ вида 2-1-2: а) начало корректирующего участка - Т2; и б) его длину - h = Т2/Тi, где i = [3, 4, ...), и 3 = 2h или ср = 2M/(M-1) или 3 = срMM.
Для ЛАЧХ вида 1-2 максимальное значение суммы постоянных времени равно Тi, где i = [1, 2, ...).
Если выше частоты среза имеется пик от колебательного звена, то его амплитуда не должна приблизиться к окружности с заданной колебательностью M, т.е. не должна достичь уровня на ЛАЧХ 20lg M/(M+1); а постоянная времени, при определении h, должна войти в сумму как 2T.
Построение ВЧ части желаемой ЛАЧХ
Исходные данные: 0 и T1 - определены при построении НЧ части желаемой ЛАЧХ.
Для систем с астатизмом 2-ого порядка:
Задаются перерегулированием  и определяют M:
, %
13,8
26,5
37,2
44,6
M
1,1
1,3
1,5
1,7
Зная M, определяют положение постоянной времени T2 (начало корректирующего участка):, где ; и его длину:.
Проверяют, чтобы резонансные пики высокочастотных колебательных звеньев не достигали вновь уровня 20lg M/(M+1).
Для систем с астатизмом 1-ого порядка проверяют возможность сведения желаемой ЛАЧХ к виду 1-2 или модификациям, путем уменьшения постоянных времени до значения:
, где (M<1,3).
Если это невозможно, то формируют участок -20 дБ/дек аналогично методике для систем с астатизмом 2-ого порядка.
Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом
Под качеством процесса регулирования понимают меру соответствия его определенным требованиям. Другими словами, качество характеризует степень пригодности САР осуществлять регулирование выходной величины y(t). Переходный процесс в САР зависит не только от свойств САР, но и от характера внешних воздействий, которые в общем случае могут быть сложными функциями времени. Поведение системы регулирования рассматривают при типовых воздействиях. Наиболее важным считают переходный процесс, возникающий при быстром изменении задающего воздействия g(t) или возмущения z(t) от одного значения до другого. Поэтому одной из оценок качества регулирования служит оценка качества переходной характеристики САР относительно задающего воздействия g(t). Считают, что, чем лучше переходная характеристика h(t), тем лучше САР будет отрабатывать задающее воздействие произвольного вида. Оценку, полученную при анализе переходной характеристики САР h(t), называют прямой.
Количественно процесс регулирования оценивают с помощью показателей качества, которыми характеризуют точность, быстродей­ствие и затухание процесса регулирования.
К показателям качества, характеризующим точность САР, относят:
1) максимальное значение регулируемой величины yмакс1;
2) перерегулирование σ,
3) установившееся значение регулируемой величины yуст;
4) статическую ошибку (отклонение) ε(∞).
К показателям качества, характеризующим быстродействие САР, относят:
1) время регулирования tр, под которой понимают длительность переходного процесса;
2) время достижения регулируемой величиной y(t) первого максимума tмакс;
3) время нарастания переходной характеристики tн.
К показателям качества, характеризующим затухание процесса регулирования, относят:
1) декремент затухания ;
2) степень затухания ψ;
3) колебательность n;
4) период затухающих колебаний Т;
5) угловую частоту затухающих колебаний ω.
Согласно рисунку 7 без вычислений определяют максимальное значение регулируемой величины yмакс1 = 0,584; время достижения максимального значения tмакс = 2,66; установившееся значение регули­руемой величины yуст = 0,444; время нарастания переходной характерис­тики от 0,1yуст до 0,9yуст tн = 1,05; период затухающих колебаний Т = 5,0. Найденные значения используют для расчета перерегулирования σ (динамической ошибки), статической ошибки ε(), частоты колебаний ω и других показателей качества регулирования.
Рисунок 7 – Переходная характеристика САР
Перерегулирование σ называют также динамической ошибкой и рассчитывают по формуле

Согласно формуле перерегулирование является относительным отклонением регулируемой величины от установившегося значения. Оно характеризует точность САУ в динамическом режиме.