Построение интерполяционного многочлена второй степени

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1Основные понятия.
1.1Парабола
1.2Построение параболы по трем точкам
1.3Задача интерполяции
2Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.1Основные формулы
2.2Пример 1
2.3Выводы
3Квадратичная регрессия
3.1Постановка задачи
3.2Основные формулы
3.3Пример 2
3.4Пример 3
3.5Пример 4
3.6Пример 5
3.7Выводы
4Заключение
5Список литературы

Построение интерполяционного многочлена второй степени

9
10
y
0,7055
0,3334
0,5795
0,2896
0,3019
0,7747
0,0140
0,7607
0,8145
0,7090
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по указанным точка: (1, 2, 3); (2,3,4); (3,4,5) и т. д.
Точки 3 и 4 соединяем параболой, построенной по точкам (2, 3,4).
Точки 4 и 5 соединяем параболой, построенной по точкам (3, 4, 5).
Точки 5 и 6 соединяем параболой, построенной по точкам (4, 5, 6).
И т. д.
Получаем результаты интерполяции, показанные на графике, рис. 1.
Рис. 1. Интерполяция по точкам
Согласно результатам интерполяции и графику, можно дать недолгосрочный прогноз, например, по точке 11 (примерно, 0.45).
2.3 Выводы
Точечная интерполяция многочленами второй степени имеет существенные недостатки:
кривая, которая соединяет эти точки, оказывается негладкой;
такая интерполяция требует, чтобы значения x в узлах интерполяции не были попарно равны.
Если в результате эксперимента получены значения как x, так и y, и среди значений x есть попарно равные, то такой способ интерполяции недопустим.
Первый недостаток можно существенно сгладить интерполяцией кубическими сплайнами. Такая интерполяция имеет достаточно широкую область применения, однако, выходит за рамки настоящей курсовой работы.
3 Квадратичная регрессия
Интерполяцию многочленом второго порядка можно существенно упростить, если не требовать совпадения значений многочлена в узлах интерполяции, как в п. 2.
В данном случае интерполяционный многочлен находится по методу наименьших квадратов.
Среди всех многочленов второго порядка находится такой, чтобы сумма квадратов разности между опытными и интерполируемыми значениями была бы наименьшей.
Построение такого многочлена называется квадратичной регрессией, которая имеет значительно бо'льшую область применения, чем описанная в п. 2 интерполяция многочленом Лагранжа.
Такая интерполяция не требует попарного неравенства значений аргументов x и не привязывает аргументы к какой-либо сетке.
3.1 Постановка задачи
Пусть заданы произвольные значения, полученные в результате эксперимента (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn).
Найти такой многочлен y = ax2+ bx + c , чтобы сумма квадратов невязок была бы минимальной.
3.2 Основные формулы
a, b, c должны удовлетворять системе трех уравнений с тремя неизвестными.
3.3 Пример 2
Рассмотрим пример п. 2.2.
Пусть в результате какого-либо опыта получены следующие значения.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0,7055
0,3334
0,5795
0,2896
0,3019
0,7747
0,0140
0,7607
0,8145
0,7090
Тогда уравнения для коэффициентов интерполяционного многочлена второй степени a, b, c запишутся так:
Получаем: a = -0,016005; b = -0,15211; c = 0,74869
Результат интерполяции (рис. 2):
Рис. 2. Квадратичная регрессия, пример 2.
Прогноз по этой интерполяции: x = 11, y = 1,012
Из графика видно, что параболическая зависимость между двумя процессами не имеет место или зависимость очень слабая.
3.4 Пример 3
Рассмотрим пример, когда имеют место два процесса x и y, и требуется определить степень зависимости одного процесса от другого (рис. 3).
x
0,5767
0,8681
0,2421
0,1107
0,6633
0,4854
0,3385
0,3425
0,7822
0,6995
y
0,9573
0,4400
0,3414
0,8745
0,9843
0,8492
0,9969
0,5604