Теория портфельных инвестиций Гарри Марковица.

Оглавление


Введение
Глава 1. Современная портфельная теория: становление и развитие
Глава 2. Модель Г. Марковица
Глава 3. Критика и перспективы метода Г.Марковица
Заключение
Список литературы

Теория портфельных инвестиций Гарри Марковица.

Диверсификация – это принципиальный метод уменьшения уровня риска без снижения ставки дохода. Диверсификация инвестиций в объекты, доходы от которых не взаимосвязаны, снижает общие изменения ставки дохода портфеля. Ставки дохода одних активов уменьшаются, а других растут, что сглаживает общую ставку. Задача в том, чтобы сформулировать набор объектов, ставки от которых находятся в корреляции. При формировании портфеля выбирают, принять ли более высокий уровень риска в поисках более высоких доходов или нет.
Чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данныйфакт лежит в основе стратегии хеджирования.
Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.
Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов.
Второй уровень анализа предполагает оптимальное сочетание активов, обеспечивающих наиболее эффективное соотношение между уровнем риска и ставкой дохода. Процесс сводится к определению тех классов активов, которые дадут самый высокий доход при приемлемом для инвестора уровне риска или минимальный ожидаемый риск для планируемой ставки дохода. Например, прибыль от инвестиций в европейскую недвижимость находится в противофазе доходам от американской собственности и обеспечивает отрицательную или положительную, но низкую корреляцию с доходами по американскому имуществу. Объединение таких активов увеличит стабильность портфеля.
Поскольку предложение и спрос на активы в разных странах разные, то можно формировать портфели разнообразных активов, обеспечивающие приемлемое соотношение «риск-доход» по портфелю в целом.
Одним из существенных моментов, на которых построена вся теория Гарри Марковица, является предположение в работах по эффективным наборам о том, что мера риска включает в себя только негативные результаты. Под негативными результатами в данном случае подразумевается, что стандартные отклонения ниже ожидаемой доходности портфеля. В силу того, что Марковиц в дальнейших своих исследованиях предполагает, что при определении негативных результатов можно рассматривать стандартное отклонение, чтобы упростить вычисления, он не принимает во внимание тот факт, что существуют положительные результаты, которые также необходимо вычислять. Кроме того, в исследованиях Марковица упоминается только о нормальном распределении.
В случае нормального распределения, который рассматривает Марковиц, вероятность того, что положительный результат находится на заданном расстоянии от центра распределения, так же велика, что и вероятность того, что отрицательный результат находится на равном расстоянии от центра в противоположном направлении.
Марковиц впервые сформулировал идеи, составившие основу современной портфельной теории, использующей несколько основных статистических показателей для обоснования портфельной стратегии. Современная «портфельная теория» основывается на допущении, что инвесторы имеют возможность распределять богатство среди множества доступных направлений инвестирования, то есть формировать инвестиционный портфель. Причем критериями оценки эффективности решений являются только два параметра: ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности, характеризующее риск принимаемого решения.
Результаты Марковица были развиты и дополнены не менее известными работами Джеймса Тобина, Вильяма Шарпа и других исследователей.9
Важность этих разработок для развития современной экономики и финансов подчеркивает Нобелевская премия по экономике, которой были удостоены Гарри Марковиц, Джеймс Тобин и Вильям Шарп, в первую очередь, за развитие современной портфельной теории.
Глава 2. Модель Г. Марковица
Исторически первым математическую модель формирования оптимального портфеля в статическом случае как задачу исследования операций и теории игр сформулировал Г. Марковиц. Публикации ученого вызвали большой поток научных работ по финансовой теории и теории исследования операций. Также он был основателем определения эффективности множества портфеля.
Любой человек, владеющий свободными денежными средствами, заинтересован в их рациональном использовании. Деньги могут и должны «работать». Существует несколько наиболее привлекательных сфер вложения капитала. Критерии привлекательности для каждого инвестора могут быть разными, но существуют два основных параметра, по которым принимается окончательное решение, – это риск и доходность инвестиций. Сравнивая и оценивая эти показатели, потенциальный инвестор делает выводы о привлекательности того или иного сектора экономики, сферы бизнеса, финансово-кредитных институтов, предлагающих свои услуги в этой области.
Если с банковской системой все просто: известны кредитный рейтинг, величина уставного капитала, список крупных корпоративных клиентов, процентные ставки по вкладам, иные показатели, характеризующие устойчивость и степень доверия к данному финансово-кредитному институту, то с относительно новым видом вложения капитала для российского инвестора, каким является фондовый рынок, возникает множество вопросов при оценке этих двух принципиально важных показателей.
Современное состояние рынка ценных бумаг в РФ предопределяет очень большой объем научно-прикладных исследований. Несмотря на более чем десятилетнею историю, говорить о реальном развитии можно лишь с конца 1998 года. Система государственных краткосрочных облигаций и федеральных займов, приносивших баснословные прибыли при минимуме риска, способствовала мобилизации на этом рынке практически всех финансовых ресурсов. Нестабильная политическая ситуация в стране в 90-х годах ХХ века, высокая инфляция, несовершенство, а иногда и отсутствие некоторых норм в законодательстве, регламентирующих инвестиционную деятельность, самым отрицательным образом отразились на российском фондовом рынке.
Известный экономический закон, говорящий о том, что капитал всегда перетекает в наиболее доходную сферу бизнеса, лишний раз подтверждается российской действительностью. После краха пирамиды государственных краткосрочных облигаций, в связи с утерей доминантного источника прибыли, инвесторы вынуждены были расширять сферу своих интересов. Постепенно капитал стал перетекать на фондовую биржу, появились динамика, объем торгов и, как следствие, основа для научно-исследовательской деятельности.
Более чем вековая история западных, и особенно американского, фондовых рынков способствовала широкому развитию научных и квазинаучных исследований в этой области. Огромное количество различных исследований, проведенных учеными и финансовыми компаниями, выявили определенные закономерности в динамике фондового рынка и позволили создать многочисленные теории, описывающие и объясняющие механизм взаимоотношений, а также философию поведения инвестора на рынке. Все эти теории и модели призваны служить в качестве опоры при принятии решений. Так как целью любого инвестора является максимальная прибыль при минимуме риска, то следует предположить, что, эмпирически оценив применимость (или неприменимость) западных моделей к отечественному фондовому рынку, можно выявить особенности и возможно «характер» российского рынка ценных бумаг, снизив тем самым риск потери капитала.
Из всего разнообразия различных теорий выделена модель, созданная в 1950 году нобелевским лауреатом Гарри Марковицем и получившая название «модель Марковица», поскольку ее несомненным достоинством является строгая математическая формулировка, что обеспечивает максимальную объективность результатов. Модель лежит в основе инвестиционного планирования в условиях неопределенности, являясь существенным элементом теории рынка капитала, особенно такой ее формы, как модель оценки финансовых активов (САРМ).
В своей работе Марковиц впервые обосновал ключевые понятия по теории портфеля и доказал границы множества портфеля.
В этой теории портфель активов характеризуется двумя величинами:
1. ожидаемой доходностью;
2. риском.
В качестве меры риска обычно используется стандартное отклонение доходности, или его квадрат – дисперсия доходности.
Ожидаемая доходность портфеля определяется как сумма ожидаемых доходностей отдельных активов [R – return (доходность), W – weight (вес), P – probability (вероятность)]: 10
RPort = ΣMk=1 WkRk, (2)
где Wk - вес актива k в портфеле, содержащем M активов.
Ожидаемая доходность актива k:
Rk = ΣNj=1 PjRkj, ΣNj=1 Pj = 1, (3)
где Pj - вероятность того, что доходность актива k составит Rkj (вероятности нормированы - их сумма равна единице), суммирование ведется по всем N возможным сценариям. Rk (ожидаемая доходность) в дальнейших формулах используется в качестве средней величины.
Ожидаемая дисперсия, или квадрат стандартного отклонения доходности актива k:
σk2 = [ ΣNj=1 Pj * ( Rkj - Rk )2 ] (4)
Тогда дисперсия, или квадрат стандартного отклонения доходности портфеля, как было показано Марковицем, вычисляется по формуле:
σPort2 = ΣMk=1 Wk2 σk2 + ΣMk=1 ΣMi=1 WkWiCOVik, (5)
где ожидаемая ковариация
COVik = [ ΣNj=1 Pj * ( Rkj - Rk ) * (Rij - Ri ) ] = rikσiσk, (6)
где rik - коэффициент корреляции.
Таким образом, дисперсия портфеля является функцией дисперсий (вариаций) индивидуальных активов и попарных ковариаций между ними. Легко видеть, что для портфеля, содержащего большое количество активов, формула дисперсии сокращается до:
σPort2 = ΣMk=1 ΣMi=1 WkWiCOVik (7)
В самом деле, добавление еще одного актива к большому портфелю, содержащему М активов, в формулу для расчета дисперсии портфеля добавит один член, пропорциональный дисперсии дополнительного актива, и M членов, соответствующим ковариациям дополнительного актива со всеми активами, уже содержащимися в портфеле. При большом M членами, пропорциональными дисперсиям индивидуальных активов, можно пренебречь – вносимая этим погрешность быстро падает с ростом M. Поэтому при включении дополнительного актива в большой портфель дисперсия (и стандартное отклонение) его доходности практически не играет роли – важна только средняя ковариация доходности этого актива с доходностью других активов портфеля.
Подсчитаем дисперсию для модельного портфеля, каждый компонент которого имеет стандартное отклонение, равное 80%, и все компоненты имеют равный вес. Средний коэффициент корреляции примем =0,5.
σPort2 = σ2 / N + r * σ2 * ( N - 1 ) / N (8)
График зависимости стандартного отклонения доходности такого портфеля от числа входящих в него активов приведен на рис.1.2.1 Видно, что риск портфеля довольно быстро стремится к асимптотическому значению, равному корню квадратному из средней ковариации.11
Рис. 1.2.1 Зависимость стандартного отклонения портфеля от числа входящих в него активов.
 
Как показывают исследования, такой модельный портфель является хорошим приближением для реальных портфелей, содержащих достаточно большое число активов – дисперсия их доходности быстро стремится к средней ковариации. Для условий фондового рынка США было показано, что 90% диверсифицируемого риска устраняется для реальных портфелей, содержащих от 12 до 18 активов. Увеличение числа активов в портфеле увеличивает издержки управления, поэтому для каждого инвестора существует некий предел количества активов в портфеле, превышать который нецелесообразно.
Недиверсифицируемый риск для реальных портфелей всегда остается и именуется систематическим. Систематический риск (риск полностью диверсифицированного портфеля, или рынка в целом) определяется стабильностью в экономике (стабильностью макроэкономических параметров). Чем выше стабильность, тем ниже систематический риск.
Выбор эффективного портфеля зависит от склонности инвестора к риску. Склонность к риску принято характеризовать так называемой «функцией полезности» (utility function). Эта функция строится в предположении, что с ростом риска инвестор требует все большего и большего роста доходности (такое поведение инвесторов подтверждается эмпирическими наблюдениями). На плоскости «доходность-риск» функция полезности каждого инвестора отображается семейством кривых второго порядка, каждая из которых состоит из точек, равно «полезных», а «полезность» увеличивается при смещении кривых влево-вверх.
Рис. 1.2.2 Выбор оптимального портфеля на эффективной границе при помощи функции полезности инвестора.
 
У эффективной границы по мере увеличения риска наклон уменьшается – происходит насыщение. В самом деле, рискованность актива может расти хоть до бесконечности – поскольку инвесторы избегают риска, такие активы всегда найдутся. А вот за высокой доходностью инвесторы охотятся, и активы с аномально высокой доходностью до рынка просто не доходят. Таким образом, реализуется положение, показанное на рис. 1.2.2, где приведены эффективная граница и семейства функций полезности для двух инвесторов. Кривые U олицетворяют предпочтения инвестора, несклонного к риску – они круто уходят вверх (за прирост риска инвестор требует гораздо большего прироста доходности). Кривые V относятся к инвестору, более терпимому к риску.12
Кривые с индексом 1 пересекают эффективную границу в двух точках, стало быть, каждому инвестору можно сформировать два портфеля, субъективно равноценных – больший риск второго портфеля будет полностью компенсироваться большей доходностью. Однако более высокую полезность (или удовлетворенность) каждый инвестор может осуществить при некоем среднем портфеле, а именно там, где функция полезности касается эффективной границы (кривые с индексом 2) – такая точка только одна для каждого инвестора (характеризуемого своей функцией полезности). Еще большую удовлетворенность инвесторы чувствовали бы на кривых с индексом 3, но увы – они не пересекаются с эффективной границей, и портфелей с такой «полезностью» сформировать нельзя. Следовательно, оптимальным портфелем будет тот, для которого функция полезности касается эффективной границы – он одновременно является и эффективным, и наиболее «полезным» для данного инвестора.
Коэффициент корреляции rij – это статистическая мера направления и степени линейной зависимости между двумя случайными переменными (меняется от –1 до +1). Для разных значений коэффициента корреляции на рис. 1.2.3 приведены соответствующие диаграммы рассеяния. При нулевой корреляции переменные X и Y никак не связаны – Y меняется полностью случайно, вне зависимости от изменений X.13