Математические методы исследования в экономике-

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1.1.Общие принципы формирования моделей
1.2.Краткая характеристика математических методов при исследовании экономических систем
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ КОМПЛЕКСОВ РАБОТ.
2.1. Построение системно - логического представления развивающихся объектов.
2.2. Анализ параметров СМ типа С/N/Д/Д
Литература

Математические методы исследования в экономике-

(2.1)
или
;
; (2.2)
.
Предполагается, что переменные положительны:
. (2.3)
Задана также целевая функция, характеризующая деятельность экономической системы или протекания производственного процесса:
. (2.4)
При этом коэффициенты в уравнениях и целевой функции – действительные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Задача заключается в определении максимального или минимального значения целевой функции в пространстве переменных с учетом ограничений. В векторно-матричной форме эта задача записывается следующим образом: обеспечение экстремальности при ограничениях и/или и Здесь приняты следующие обозначения: – векторы соответствующей размерности; – матрица. Следует отметить, что задача минимизации может быть приведена к задаче максимизации путем преобразования – умножения коэффициентов целевой функции на . Критериальная функция и система ограничительных неравенств формируются конкретно для каждой решаемой задачи. Например, формирование годовой производственной программы предполагает установление номенклатуры выпускаемой продукции и объема выпуска по каждой номенклатурной позиции. При этом программа выпуска может формироваться по различным критериальным признакам: максимизация объема выпуска в стоимостном выражении, максимизация получаемой от реализации прибыли, максимальное удовлетворение общества в продукции предприятия. В качестве ограничительных условий могут быть использованы не только ресурсные показатели, но и показатели, характеризующие выпуск продукции в стоимостном выражении, допустимое отклонение выпуска продукции от средней величины и т. д.
Математическое представление комплекса работ (КР) принято называть сетевой моделью (СМ) КР, которая отображает свойства как отдельных работ, входящих в КР, так и свойства всего КР, взятого как единое целое (системные свойства КР). Обычной формой СМ КР является ориентированный взвешенный граф с различными типами структуры и параметров. СМ КР являются математической основой функционирования специальных подсистем автоматизированных систем управления - подсистем сетевого планирования и управления (СПУ). В рамках подсистем СПУ могут решаться все основные задачи управления КР - прогнозирования, перспективного, текущего и оперативного планирования и управления НТК. Это обстоятельство приводит ко все большему распространению и развитию методов и систем СПУ во всем мире.
Первые версии методов СРМ (Critical Path Method), PERT (Programm Evaluation and Review Technique) основывались на СМ с детерминированной структурой сети (при этом в методе СРМ параметры работ также детермированы, а в методе PERT - случайные величины).
Позднее был разработан метод GERT (Grafical Evaluation and Review Technique), специально ориентированный на СМ со случайной структурой и новыми типами связей между работами.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ КОМПЛЕКСОВ РАБОТ.
Структура СМ КР может быть в разной степени удобной для анализа и решения управленческих задач. Желательными свойствами ее являются: инвариантность по отношению к предметной области данного класса объектов новой техники (ОНТ); полнота отражения процессов создания и использования ОНТ; полнота отражения вариантов достижения конечных продуктов ЦНТП; полнота отражения структуры ОНТ.
Эти свойства обеспечиваются использованием основных процедур системного анализа ОНТ и НТК как развивающихся объектов (РО).
2.1. Построение системно - логического представления развивающихся объектов.
Под развивающимся объектом обычно понимают объект, рассматриваемый на всем периоде его существования, включающем возникновение, функционирование и исчезновение объекта. Указанный период существования получил название жизненный цикл (ЖЦ). Понятие РО является более широким по отношению к понятию динамического объекта, в котором рассматривается лишь функционирующий объект, опуская его возникновение и исчезновение. КР ЦНТП есть детализация именно этих частей ЖЦ ОНТ (исчезновение объекта происходит вследствие возникновения заменяющего его объекта нового поколения). Рассмотрение последовательных поколений объектов осуществляется понятием потока новой техники (ПНТ).
Между понятиями «стадия ЖЦ РО» и «работа» может быть установлено взаимно однозначное соответствие: СЛП стадии фиксирует содержание работы (научное, техническое, производственное) и может рассматриваться как часть ее описания (лингвистическая переменная). Понятие работа помимо фиксации содержания некоторой трудовой деятельности фиксирует более детально обеспечивающие компоненты (ингредиенты) этой деятельности, включающие энергию (Е), материалы (предметы труда) (М), оборудование (средства труда) (Eq), кадры (субъект труда) (Sb), информацию (I) (рабочая документация), организационный механизм (Mg). Эти компоненты представляют объект, который может быть назван «комплексным обеспечением» способа (F) функционирования ОС. ИЛМ комплексного обеспечения, как РО, обычно имеет шесть уровней описания (приведены четыре промежуточных уровня):
r = 2 : установлены требования к содержанию компоненты;
r = 3 : определены признаки (показатели и факторы);
r = 4 : установлены шкалы для измерения признаков;
r = 5 : установлены допустимые области значений признаков (математическое описание работы приведено в гл.2).
Таким образом, структура комплекса ОС с учетом СЛП комплексного обеспечения изоморфна структуре КР. Комплекс рассматривается в виде сетевой модели, являющейся отображением элементов комплекса и связей между ними. Графический образ СМ именуется сетью, графом сети или сетевым графиком комплекса. СМ имеет две группы свойств : топологические (структурные) и параметрические (количественные характеристики отдельных работ и их совокупностей).
Существуют три типа работ: действительные (или просто) работы (требуют временных и материальных ресурсов), ожидания (не требуют материальных ресурсов), фиктивные или связи (не требуют ни временных ни материальных ресурсов) (на графе изображаются штриховой стрелкой). Наряду с понятием «работа» определено понятие событие как факта (но не процесса) начала и/или окончания одной или нескольких работ.
Имеются два основных способа задания СМ в виде графа GI : X - множество работ, U - множество связей между работами. Это СМ типа «вершины-работы», так называемые сети предшествования. GII : X - множество событий, U - множество работ, связывающих события. Это СМ типа «вершины-события» наиболее распространены.
СМ могут быть одно- или многоцелевыми. В первом случае в графе сети должна быть единственная вершина без входящих в нее дуг (начальная, исходная вершина) и единственная вершина без выходящих дуг (конечная, завершающая вершина). Во втором случае может быть несколько начальных и завершающих вершин.
Структура СМ (и самого комплекса работ) может быть детерминированной (все работы безусловно выполняются) и не­определенной нечеткой (по крайней мере одна работа выполня­ется в зависимости от некоторых априорно не заданных усло­вий). Обозначение типа структуры СМ имеет вид:x/у/z , где х- буква р (если вершины графа - работы), с (если со­бытие); у - (натуральное) число целей КР; z - буквы Д (де­терминированная), Н (недетерминированная) или С (стохасти­ческая). Например, тип P/1/С означает одноцелевую сеть со стохастической структурой.
2.2. Анализ параметров СМ типа С/N/Д/Д
Пусть N=1: в СМ имеется (п+ 1) событие с номерами от 0 (для I ) до п (для С): N(x)= номера внутренних событий x є Х.
Исходными данными является взвешенный граф G(X,U) ( правильно построенный ), где и є U имеет вектор детерминированных параметров = {, }; - продолжительность; - стоимостное выражение затрат всех видов ресурсов, необходимых для выполнения работы. Нужно найти векторы расчетных параметров событий, работ и тем самым найти параметры КР в целом. Наряду с , и используется обозначение , , , где u=<x,y>.
Ранним сроком (x) свершения события х є X называется срок (считая от момента свершения начального события), раньше которого не могут быть окончены все предшествующие данному событию работы. Математическая запись данного определения выглядит так:
(x) = {t[L(I,x)]} = t[L*(I,x)] (13)
В этой записи использован тот факт, что время выполнения всех предшествующих данному событию х работ равно длительности наиболее продолжительного (помечен *) из предшествующих дан­ному событию путей L (I, x).
Критическим сроком (временем) выполнения всего КР называется срок, раньше которого не могут быть выполнены все работы комплекса. Из определения (x) следует, что
= (C) = t[L*(I, x)] (14)
Поздним сроком (x) свершения события х є Х называется срок, позже которого не могут быть начаты работы, следующие за данным событием при условии выполнения всех работ комплекса за критическое время:
(x) = - t[L*(x, C)] (15)
Очевидно, что (C) = = (С).
Резервом времени R(x) события x є Х называется запас времени, на который может быть отсрочено наступление собы­тия по отношению к раннему сроку при условии выполнения всех работ комплекса за .
Из определений (13-15) следует, что
R(x) = (x) - (x) = - t[L*(I,x, C)] (16)
Иными словами, запас времени события равен разности продолжительностей полных путей максимальной длины во всем КР и путей, проходящих через данное событие. Из данного положе­ния непосредственно следует свойство
R(x) >= 0, для  x є X
Полный путь максимальной продолжительности называется кри­тическим путем - . Из определений (13), (14) следует
= t[] = t[L*(I,C)] (17)
{} = - образуют множество временных параметров событий СМ.
Вычисляются эти параметры следующим образом. Пусть {} есть множество вершин в G(X,U), непосредственно предшествующих вершине х, т.е. таких, что <, x> є U, аналогично {} есть множество вершин G(X,U), непосредственно следующих за вершиной x, т.е. таких, что <x, > є U, тогда любой путь L(I,x) обязательно содержит хотя бы одну вершину из {}, а любой путь L(x,C) обязательно содержит хотя бы одну вершину из {}. Следовательно,
t[L*(I, x)] = {t[L*(I, )] + }
или
(x) = {()] + }
Аналогично для поздних сроков:
t[L*(x, C)] = { + t[L*(, C)]}
или
- (x) = { + - ()} = + { - ()},
откуда
(x) = {() - }
Поскольку сеть правильно заиндексирована, то для расчета временных параметров событий удобно перебирать их в порядке возрастания номеров при расчете (х) и в порядке убывания номеров при расчете (x), т. е.
(j) = {(i) + } и tn(i)=min{tn(j)-tij}
Расчет небольших сетей рекомендуется проводить прямо на графе, для чего круг, изображающий событие, делится на четыре сектора, в которые записываются результаты анализа в следующем виде:
где N(x) - номер события x.
Сроки свершения событий могут в общем случае не совпадать со сроками начала и окончания инцидентных им работ. Поэтому вводятся самостоятельные временные параметры работ.
Сроком раннего начала работы u є U называется срок, считая от момента свершения начального события, рань­ше которого не могут быть окончены все работы, предшествую­щие данной работе и:
= {t[L(I, u)]} = t[L*(I, u)]
Сроком раннего окончания работы u є U называет­ся срок, раньше которого работа и не может быть окончена, т.е. = + . Формулируя надлежащим образом условия начала и окончания работ, вводятся понятия срока позднего начала и срока позднего окончания , математические записи которых выглядят следующим образом:
= - t[L* (u, C)] и = -
Для характеристики запасов времени, на которые может быть задержено начало работы или растянуто ее выполнение, вводятся четыре типа резервов времени работы и. Каждый тип резерва по своему связан с временными параметрами работ, предшествующих или следующих за данной.
Полный резерв времени работы и:
= - t[L*(I,u,C)] = - = -
Частный резерв времени I рода (ранний резерв) работы u: = + ‑ , где работа непосредственно следует за и.
Частный резерв времени II рода (поздний резерв) работы и: = - , где работа непосредственно предшествует u.
Независимый резерв времени работы и:
= max{ - - } = max[, 0]
Управленческий смысл резервов состоит в следующем. Использование работой и полного резерва ставит в жесткие рамки выполнение как предшествующих ей работ (они должны выполняться в свои ранние сроки), так и следующих за ней работ (они должны выполняться в свои поздние сроки). Использование частных резервов накладывает ограничение только на работы, предшествующие данной (), либо на работы, следующие за данной (). Если использован , то последующие работы могут начинаться в свои ранние сроки, а если использован , то предыдущие работы могут закончиться в свои поздние сроки. Использование не накладывает ограничений ни на предшествующие, ни на последующие работы. Однако разность ( - - ), обозначаемая , может быть и отрицательна, в этих случаях по определению полагают равным нулю.
Расчет временных параметров работ проводится по следующим рекуррентным соотношениям, справедливость которых устанавливается исходя из определений этих параметров:
= {}; = + ;
= {};
= {}; = -
Так как сеть правильно пронумерована, то перебор всех работ и = <х, у> удобно вести в порядке возрастания номеров начальных событий х, а при равных x в порядке возрастания номеров конечных событий работ у.
С управленческой точки зрения важно выделить события и работы, принадлежащие Lкр, так как именно на них следует концентрировать внимание руководства всем КР. Критерии принадлежности события x и работы и=<x, у> устанавливаются утверждением:
х є Lкр <=> R(x)=0 ;
u є Lкр <=> =0 .