комплексные числа в геометрии.

Содержание


Введение
Цель работы
Основные результаты работы
Краткая историческая справка
Структура работы
Самостоятельный компонент
Теоретическая часть
Практическая часть
Литература

комплексные числа в геометрии.

В конце XVIII – начале XIX веков появились первые геометрические истолкования комплексных чисел. Независимо друг от друга Г.Вессель, Ж. Арган и К. Гаусс предложили интерпретировать комплексное число z = a + ib как точку М(а, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют такие же операции над векторами. Для определенности выбрано положительное направление мнимой оси вверх, а действительной – вправо.
Какой выигрыш дает такая интерпретация? Теперь можно наглядно представить операции вычитания и сложения комплексных чисел. Изобразим комплексные числа x и y в виде векторов. Затем построим из них параллелограмм. Вектор, который соединяет начало координат с четвертой вершиной параллелограмма, в точности соответствует комплексному числу, равному сумме x + y. Для того чтобы представить разность комплексных чисел, нужно лишь заменить второй вектор противоположно направленным.
Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике. Важным применением комплексных чисел стали задачи неевклидовой геометрии [И.М.Яглом, стр.110], и, следовательно, общей теории относительности (ставшей уже сейчас, благодаря массовому использованию систем глобального позиционирования типа GPS или ГЛОНАСС, инженерной наукой).