Матрицы и определители. Операции над матрицами.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МАТРИЦ
1.1. Основные сведения о матрицах
1.2. Операции над матрицами и их свойства
1.3. Блочные матрицы
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1. Определение определителя
2.2. Свойства определителей
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Матрицы и определители. Операции над матрицами.

R = L + Q = λA + λB .
Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что
gij = λfij = λ (aij + bij) = λaij + λbij = lij + qij = rij
для всех i =1, 2, .., m и j =1, 2, .., n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что G = R, т. е. λ (A + B) = λA + λB.
5. (λ + µ)A = λA + µA - свойство дистрибутивности при умножении суммы чисел на матрицу.
Очевидно, что размер матрицы (λ + µ)A совпадает с размером матрицы λA + µA (см. доказательство предыдущего свойства). Докажем, что все элементы матрицы (λ + µ)A равны соответствующим элементам матрицы λA + µA. Введем обозначения
(λ + µ)A = F, λA = L, µA = Q
и определим новую матрицу:
R = L + Q = λA + µA.
Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что
fij = (λ+ µ) aij = λaij + µaij = lij + qij = rij
для всех i =1, 2, .., m и j =1, 2, .., n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что F = R, т. е. (λ + µ)A = λA + µA.
Умножение матриц
Умножение матрицы A на матрицу B определено, лишь когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй.
Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой cij равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т. е. [16, 156].
для всех i =1, 2, .., m и j =1, 2, .., n.
Необходимо обратить внимание на размеры матрицы C: число строк матрицы - произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов - с числом столбцов второй из перемножаемых матриц:
Операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел [20, 46]:
1. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц ВА может и не существовать.
2. Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
3. В случае, когда оба произведения АВ и ВА существуют и оба - матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. А·В ≠В·А.
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:
АЕ = ЕА = А
Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
4. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрицы, т.е. из того, что А·В=0, не следует, что А=0, или В=0.
Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е.
Необходимо отметить, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.
По определению полагают A0=E, AT=A. Нетрудно показать, что Am·Ak=Am+k, (Am)k=Amk.
Необходимо обратить внимание на то, что из равенства Аm =0 еще не следует, что матрица А=0.
Транспонирование матрицы
Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:
.
Из определения следует, что если матрица А имеет размер m×n, то транспонированная матрица А' имеет размер n×m.
Свойства операции транспонирования:
(А')' = А.
(λA)' = λА'.
(А + В)' = А' + В'.
(АВ)' = В'А'.
1.3. Блочные матрицы
Пусть матрица A при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае A рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки Aαβ указанной матрицы (Aαβ – элементы матрицы, поэтому A заглавное).
Здесь α – номер блочной строки, β – столбца. Например:
, ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки [21, 34].
Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число.
Аналогично, если A и B имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме A+B отвечает блочная матрица : .
Для умножения на Bn,p необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока Aαβ равно числу строк блока Bβγ.
Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц C, A и B.
Пусть
Глава 2. Определители
2.1. Определение определителя
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка, элементы которой для удобства обозначим через a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3:
. (1)
Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом:
и определяемое равенством:
. (2)
Числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами a1, b2, c3, называется главной, а диагональ, образованная элементами а3, b2, c1 – побочной [21, 52].
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правило треугольников:
«+» «-»
Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить данный определитель.
2.2. Свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером [21, 58].
.
Для доказательства свойства достаточно применить к определителям, стоящим в левой и правой частях равенства, формулу (2) и убедиться в равенстве полученных выражений.
Свойство 1° устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.
2. Перестановка двух столбцов или двух строк меняет знак определителя на противоположный.
.
3. Если в определителе есть две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.
В самом деле, при перестановке двух одинаковых столбцов определитель ∆ не изменится, а согласно свойству 2 его знак изменится. Следовательно, ∆= -∆, т. е. 2∆=0, или ∆=0.
4. Умножение всех элементов некоторого столбца или строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.
.
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что по формуле (2) определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит множителем один элемент из каждой строки и из каждого столбца.
5. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего свойства (при λ = 0).
6. Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, если элементы двух столбцов определителя пропорциональны, то согласно свойству 4° общий множитель элементов этих столбцов можно вынести за знак определителя, в результате остается определитель с двумя одинаковыми столбцами, равный нулю согласно свойству 3°.
7. Если каждый элемент i-ого столбца или i-ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i - ом столбце или i - ой строке имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые; элементы, стоящие на остальных местах у всех определителей одни и те же.
.
Для доказательства этого свойства достаточно применить к определителям, стоящим в левой и правой частях равенства, формулу (2) и убедиться в равенстве полученных выражений.
8. Значение определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любой общий множитель λ.
В самом деле, полученный в результате такого прибавления определитель согласно свойству 7° можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет два пропорциональных столбца и в силу свойства 6° равен нулю.
Для формулировки следующего свойства определителя необходимо дать определения понятиям алгебраического дополнения и минора.
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента а1, определителя ∆является определитель второго порядка:
, минором элемента b1 – определитель второго порядка и т.д.