Матричные,кооперативные игры и игры с природой.

Введение
Глава 1. Матричные игры
1) Решение матричных игр в чистых стратегиях.
2) Смешанное расширение матричной игры
Вывод главы 1
Глава 2. Кооперативные игры
Вывод главы 2
Глава 3. Игры с природой
Вывод главы 3
Заключение
Список литературы

Матричные,кооперативные игры и игры с природой.

Первый игрок стремится максимально увеличить свой средний выигрыш Е(А,х,y) за счёт изменения своих смешанных стратегий х. Второй игрок стремится максимально уменьшить Е(А,х,y) за счёт изменения своих смешанных стратегий y.
Верхняя цена игры и нижняя цена игры равны соответственно и .
Оптимальные смешанные стратегии игроков 1 и 2 – такие наборы х0 и у0 соответственно, что удовлетворяют равенству
,
где Е(А,х0,y0) – цена игры.
Решение матричной игры – это оптимальные смешанные стратегии и цена игры.
Для матричной игры с любой матрицей А величины и существуют и равны между собой (теорема (о минимаксе)) 1.
Вывод главы 1
В этой главе дано определение матричной игре, конечной игре и игре с нулевой суммой. Рассмотрено решение матричных игр в чистых стратегиях. Даны понятия чистойстратегии, нижней и верхней чистых цен игры, седловой точки в чистых стратегиях, решения игры. Приведены два примера, в которых ищутся решения матричных игр. В первом примере найдена седловая точка, а во втором примере седловой точки не существует.
Рассмотрено смешанное расширение матричной игры. Даны определения смешанной стратегии игрока, оптимальной смешанной стратегии. Приведена теорема о минимаксе.
Глава 2. Кооперативные игры
Кооперативная игра – игра, в которой игроки могут вступать в коалиции. В этих играх коалиции наперёд определены2.
Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать коалиции. Пусть N – множество всех игроков, N ={1, 2, ..., n}, а K – любое его подмножество. Допустим, что игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r , то есть , а число всевозможных коалиций равно
= 2n – 1.
Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования кооперативных игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, а выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.
Характеристическая функция игры – функция , ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш (K). Например, для бескоалиционной игры n игроков (K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).
Простая характеристическая функция – характеристическая функция , которая принимает только два значения: 0 и 1.
Выигрывающие коалиции – коалиции K, для которых (K)=1.
Проигрывающие коалиции – коалиции K, для которых (K)=0.
Простейшая характеристическая функция – характеристическая функция R, в которой выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R.
Простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).
Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.
Простейшая характеристическая функция появляется тогда, когда в голосующем коллективе имеется некоторое «ядро», голосующее с соблюдением правила «вето», а голоса остальных участников оказываются несущественными.
Обозначим через G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами :
1) персональность
G() = 0.
Это означает, что коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;
2) супераддитивность
G(KL)  G(K) + G(L), если K, L  N, KL  .
Это означает, что общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;
3) дополнительность
G(K) + (N\K) = (N).
Это означает, что для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков.
Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через xi выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности
xi  ( i ), для i N
Это означает, что любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности
= (N).
Это означает, что сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем (N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем (N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).
Дележ игры – вектор x = (x1, ..., xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности в условиях характеристической функции.
Классическая кооперативная игра – система {N, }, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих условиям индивидуальной и коллективной рациональности в условиях характеристической функции.
Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство