Реализация поиска оптимальных стратегий матричных ирг с нулевой суммой

Часть I. Пояснительная записка
Часть II. Графическая часть:
?Блок-схема вычислительной программы
?Графические материалы решения задачи и результатов исследования

Реализация поиска оптимальных стратегий матричных ирг с нулевой суммой

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
2
2
3
3
1
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
0
3
6
9
10
11
11
12
13
14
15
16
19
22
25
28
31
34
37
38
4
5
6
7
9
11
15
17
19
21
23
25
26
27
27
29
30
31
32
34
2
2
2
2
5
8
10
13
16
19
22
25
25
25
25
25
25
25
25
28
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
8
8
8
8
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
48
48
48
48
1
2
5
8
11
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
27
30
33
36
2
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
29
30
31
32
4
5/2
6/3
9/4
10/5
11/6
15/7
17/8
19/9
21/10
23/11
25/12
26/13
27/14
27/15
29/16
31/17
34/18
37/19
38/20
1
2/2
5/3
6/4
7/5
8/6
10/7
12/8
14/9
16/10
18/11
20/12
21/13
22/14
23/15
24/16
27/17
30/18
31/19
32/20
5/2
7/2
11/6
15/8
17/10
19/12
25/14
27/16
33/18
37/20
41/22
45/24
47/26
49/28
50/30
53/32
58/34
64/36
68/38
70/40
Из таблицы видно, что в 20-ти проигранных партиях стратегии 1, 2, 3 для второго игрока встречаются соответственно 2, 10, 8 раз, следовательно, их относительные частоты равны 2/20, 10/20, 8/20. Стратегии 1, 2, 3 для игрока 1 встречаются соответственно 8, 12, 0 раз, следовательно, их относительные частоты равны 8/20, 12/20, 0, а приближённое значение цены игры равно 70/40.
Таким образом, получили приближённое решение игры: x20=(1/10, 1/2, 2/5), y20=(2/5, 3/5, 0), =1,57.
Такой итеративный процесс ведёт игроков к цели медленно. Часто для получения оптимальных стратегий, дающих игрокам выигрыш, приходится проделывать сотни итераций. При этом скорость сходимости заметно ухудшается с ростом размерности матрицы и ростом числа стратегий игроков. Это также является следствием не монотонности последовательностей и . Поэтому, практическая ценность этого метода имеет место, когда вычисления проводятся на достаточно быстродействующих вычислительных машинах. Но наряду с таким недостатком можно выделить и достоинства метода итераций:
5. Этот метод даёт возможность найти ориентировочное значение цены игры и приближённо вычислить оптимальные стратегии игроков.
6. Сложность и объём вычислений сравнительно слабо возрастают по мере увеличения числа стратегий игроков (m и n).
7. Разработка програмного обеспечения
В корзине лежат два шара - белый и черный. Игроку требуется угадать сколько черных шаров лежит в корзине. Если игрок предлагает правильный ответ, то его выигрыш составляет 3. Если его ответ отличается от правильного на один или два, то выигрыш составляет 2 или 1 соответственно. Стоимость игры – 2.
Решение
Составляем платежную матрицу – матрицу выигрышей игрока 1.

1
2
αi
1
-1
-1
1
1
2
-1
1
-1
βj
1
1
1
1/0
Матричная игра сводится к задаче линейного программирования
Прежде всего, проверим, не имеет ли платежная матрица седлового элемента.
Находим ; .
Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий. Так как , то решением игры будут смешанные стратегии, а цена игры заключена в пределах . По матрице игры составляем задачи линейного программирования.
Для игрока 1
В результате решения этой задачи получим:
Значение игры
– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. называть число 0)
– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. называть число 2)
Оптимальные стратегии 1 и 3. Выигрыш игрока 1 будет составлять не менее 0, если он будет называть числа 0 и 2 с вероятностями 0,5.
Для игрока 2
В результате решения этой задачи получим:
Значение игры
– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. класть 0 черных шаров)
– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. класть 2 черных шара)
Оптимальные стратегии 1 и 3. Проигрыш игрока 2 будет составлять не более 0, если он будет класть 0 либо 2 черных шара с вероятностями 0,5.
Заключение
Как можно было заключить из вышеизложенного, математические методы имеют большую степень универсальности. Основой этой универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же проблеме совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать уже практически готовое решение, полученное ранее где-то в другой отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.
В то же время на применение математики в различных науках накладывают ограничения объективные законы, присущие той или иной форме движения. Изучение неживой материи стало предпосылкой для создания концепции континуума - непрерывного пространства-времени. Эта концепция стала базой для множества открытий и не теряет своей значимости и теперь. Но концепции непрерывности сопутствовали не только успехи. Одновременно возникла традиционность " непрерывного мышления", трудности преодоления которого мы начинаем понимать только теперь, с появлением и совершенствованием ЭВМ. Хотя еще и раньше детальное исследование неизбежно требовало перехода к дискретному описанию, чем демонстрировало недостаточность и ограниченность континуального мышления.