"Золотое сечение"

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ПОНЯТИЯ «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»
1.1. Первые сведения о золотом сечении
1.2. Золотое сечение в средние века и эпоху Возрождения
1.3. «Новое» открытие золотого сечения в XIX – XX вв.
ГЛАВА 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ КАК ЭТАЛОН КРАСОТЫ
2.1. «Божественная пропорция» Пачоли
2.2. Споры о критериях красоты
ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
3.1. Общий принцип золотого сечения
3.2. Числовой ряд Фибоначчи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

"Золотое сечение"

Во-вторых, изображение может собирать воедино наблюдения над целым рядом единичных предметов, этот путь ведет к обобщающей красоте и к «идеальному изображению». Это – путь, который избрали греки.
Обобщающую красоту и идеальное изображение можно получить при воспроизведении прекрасных тел, красоты природы и души человека, причем выражение «великой души далеко превосходит изображение прекрасной натуры». Чтобы достигнуть в изображении выражения великой души, художник должен почувствовать в себе самом ту силу духа, которую он запечатлевает.
Идеальное состояние в развитии искусства Винкельман оценивает как царство «обобщающей красоты». Отклонением от этого он считает подчинение красоты символической (знаковой) репрезентации (что наблюдается, по его мнению, у примитивных художников), а такжеперегруженность, излишество «красот и украшений», свойственных в частности вычурному искусству барокко.
Постановка и решение семантических проблем в эстетике Винкельмана, хотя и связано с разнообразными философскими учениями (в том числе и неоплатонизмом), обнаруживают тенденции, связанные с выдвижением на первый план деятельности художника как создателя прекрасных телесных образов.
Иоганн Иоахим Винкельман оказал влияние на формирование немецкого и французского классицизма с его идеалами гармонии и красоты, прообразы которых он, а вслед за ним «веймарские классицисты» и немецкие классические идеалисты видели в благородной простоте и спокойном величии греческого искусства. Концепция исторического развития искусства древности, выдвинутая Винкельманом, тяготела к утверждению нормативности античного эстетического идеала.
Почему античное искусство оказалось столь притягательным в качестве всеобщего критерия последующего художественного разви­тия? Потому что античное художественное сознание выступало как синкретичное, т.е. целостное по своей природе. Винкельман в своей истории ис­кусств рассматривал античность как классическую нормативную форму, дающую жизнь всем последующим художественным вариан­там. Движение строилось таким образом: поначалу из правильного (ан­тичность) вырастало неправильное (средневековье с его искаженны­ми формами и пропорциями), а затем из этого неправильного вновь рождалось правильное (Возрождение). За Возрождением следует ба­рокко (вновь неправильное), конкурирующее и провоцирующее пра­вильность классицизма, и т.д. Винкельман подметил один из верных принципов: история искусств зачастую движется по пути отрицания отрицания, одна художественная эпоха возникает как отрицание дру­гой.1
Возможно, и «золотое сечение» есть частный случай ритма, который, в свою очередь, придает или сообщает правильность и регулярность функционированию самых разных объектов, будучи законом в способе организации также живых существ и их бытия. Ритм означает правильное чередование смещений при членении временных или пространственных протяженностей, и этот возврат фиксируется как повторяемость, периодичность определенных структурных схем; это дает впечатление постоянства и устойчивости при одновременном психологическом ощущении изменения и новизны, которая в данном контексте не пугает неизвестностью, но подсознательно ожидается. Очевидно, в этом один из секретов положительного восприятия «золотого сечения», когда осуществляется возврат к одной и той же пропорции в рамках одного предмета, одного объема, одного целого; ощущение и новизны, и узнаваемости возникает в законченности и сгущенности переживания ритма. Этот ритм внутреннего движения делает золотое сечение похожим на своеобразную рифму в поэзии.
Апологет античного ис­кусства, И. Винкельман считал, что идеал красоты выража­ется линией, контурами. Он объяснял сущность прекрасного природными свойствами вещей, их ритмом, цветом, симметрией. Для Винкельмана красота – цель и центр искусства. Изящное познается чувством изящно­го, которое развивается воспитанием и образованием.
Р. Менгс связывал красоту с «кривой линией», Ломаццо – со змееобразной формой (forma serpentinata), Xoгарт – с «волнообразной линией». Краузе писал, что именно эллипс отличается более глубокой красотой (намеренно не говорю – «эллипс красивее», потому что у красоты нет ступеней), нежели круг, но ему присуща некая неполнота, ввиду чего кривая линия может быть более совершенным подобием универсума красоты. Винкельман сделал обобщение, что, в конце концов, все эти идеалы есть всего лишь особое проявление одной и той же божественной сущности, которая различными способами выражается в них. В Боге, считал Винкельман, заключена высшая красота, или, точнее говоря, только в Боге заключена красота.
И. Г. Гердер (1729-1781) сформулировал универсальный закон природы: свойства предмета, его внутреннее совершенство и красота зависят от пропорции действующих в нем сил, а нарушенная пропорция стремится быть восстановленной. Это­му закону подчиняется природный предмет, он — целая система действу­ющих сил. Такую систему представляет собой и человек, и человеческое общество, и каждая нация, наконец, все человечество.
В настоящее время и в науке, и в эстетике, и в философии придерживаются той точки зрения, красота имеет четко определенные критерии. При этом не обязательно это принцип золотого сечения. Ученые утверждают, что существуют некие объективные связи между формами красоты. Сила красоты в том, что принципы ее построения как объективны, так и универсальны, т.е. в них отражены самые общие, органичные и непреложные законы всякого структурообразования, всякого процесса возникновения или построения форм, оказывающихся наиболее жизнеспособными. Поэтому красота – прежде всего способ организации (предметов, процессов и явлений), когда можно выделить некоторые определенные и устойчивые особенности, обусловливающие наличие у предмета тех качеств, которые позволяют ему наиболее успешно функционировать в окружающей среде, оставаясь в рамках самого себя единым целым, имеющим определенную форму и структуру.
Поэтому можно сказать, что красота не просто способ организации, но особый ее способ, так как и сам смысл, и сами функции предмета выявляются через логику его построения, имеющую объективный характер, поскольку в нем наиболее целостно выражена вся сумма условий и требований окружающего мира, Таким образом, красота становится вопросом не только формы, но самого качества предмета.1
Таким образом, мы можем сделать вывод, что золотое сечение не является единственным эталоном красоты.
Глава 3. Математическое выражение золотого сечения
3.1. Общий принцип золотого сечения
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Золотое сечение – это, по сути, гармоническая пропорция.
В математике пропорцией называют равенство двух отношений:
a : b = c : d.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.1
Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:
- на две равные части АВ : АC = АВ : ВC;
- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
- таким образом, когда АВ : АC = АC : ВC.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
a : b = b : c или с : b = b : а.
говорят, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если
АС : АВ = СВ : АС
В геометрии золотое сечение называют также делением отрезка в крайнем и среднем отношении.
Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину отрезка АС – через х, то длина отрезка СВ будет а – х (рис. 1), и пропорция примет следующий вид:
х : а = (а – х) : х
А х С а - х В
а
Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части.1
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382.. .Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.
Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.
Есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.
Золотой кубоид – это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Рис. 2. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863 – 1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Симметрия является таким же, что и золотое сечение, универсальным эстетическим принципом организации. Это повсеместно распространенное явление, когда с помощью своего рода дублирования основного структурного «рисунка» обеспечивается устойчивость (или ощущение устойчивости) всей системы в целом. Именно симметрия формы во многом определяет ее оценку как правильной: она рациональна, привычна, равновесна и потому приятна для глаза. Однако сообщая системе стабильность, симметрия как бы сопротивляется введению в структуру динамических изменений. Поэтому симметрия используется преимущественно там, где необходимо сообщить объекту фундаментальность, прочность, уравновешенность и надежность конструкции.
Асимметрия построения используется для создания впечатления мобильности, подвижности, гибкости, символизируя принцип возможности (и ожидания) движения, изменения. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия.
3.2. Числовой ряд Фибоначчи
Золотая пропорция, или золотое сечение – это деление отрезка на две неравные части, известное еще древним грекам. При таком делении отношение большей части к меньшей будет равняться отношению всего отрезка к большей части, то есть точка деления будет заметно смещена от середины (доли получаются такие: 0,618 и 0,382). Такое смещение придает завершенность, законченность, полную гармонию многим произведениям искусства - скульптурам, воспевающим красоту идеально сложенного человеческого тела, композициям в картинах художников, архитектурным сооружениям.1
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Леонардо Фибоначчи (1180-1240) был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Таблица 1
Ряд чисел Фибоначчи
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
и т.д.
Пары кроликов
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
и т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.
Ряд Фибоначчи – это числовая последовательность, в которой в неявном виде содержится золотая пропорция. Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи. В данной числовой последовательности каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.1
Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Особенность последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Таким образом, при делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.
Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.
Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Kеплеp назвал это соотношение одним из сокровищ геометрии. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой «фи».1
Ф = 1.618
Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.