Хеджирование портфеля ценных бумаг

Введение
1. Хеджирование как инструмент снижения риска
2. Хеджирование позиций по базисным активам с помощью фьючерсных контрактов
3. Хеджирование портфелей облигаций против процентного риска
4. Фондовые индексы. Фьючерсные контракты на фондовые индексы
5. Хеджирование с помощью опционов
5.1.Дельта-хеджирование
5.2.Гамма-хеджирование
Заключение
Список использованной литературы

Хеджирование портфеля ценных бумаг

Коэффициент бета портфеля акций определяется следующим образом:
,
где
– доходность портфеля акций;
– доходность фондового индекса;
– дисперсия доходности фондового индекса.
При этом коэффициент бета портфеля акций является средневзвешенной суммой коэффициентов бета акций, составляющих этот портфель. Весовыми коэффициентами являются доли средств, инвестированных в тот или иной вид акций.
Пример 3. Инвестор собирается хеджировать имеющийся у него портфель акций, с помощью фьючерсов на фондовый индекс S&P 500. Исходная информация приведена в табл. 2:
Таблица 2
Акции
Количество акций в портфеле
Коэффициент бета акции
Начальная цена акции, долл.
Начальное фьючерсное значение индекса SP-500
1
900
1,25
8,75
225,75
2
700
0,80
21,25
3
1400
0,75
14,75
4
2000
0,95
33,50
5
1600
1,05
68,25
Начальная стоимость портфеля акций находится следующим образом:
Р = 8,75*900+21,25*700+14,75*1400+33,50*2000+68,25*1600 = 219600 долл.
Найдем коэффициент бета портфеля акций:
Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портфеля акций, определим с помощью формулы (10):
Если через месяц, когда инвестор закрывает свою позицию, цены акций окажутся равными 8,25 долл.; 20,75 долл.; 15,50 долл.; 32,50 долл.; 65,25 долл. соответственно, а фьючерсное значение индекса S&P 500 – 221,50, то доход инвестора составил бы без хеджирования:
(8,25–8,75)*900 + (20,75–21,25) *700 + (15,50–14,75)*1400 + (32,50–33,50)*2000 +
+ (65,25–68,25)*1600 = –6550 долл.,
а при хеджировании:
–6550 +2*500*(225,75–221,50) = –2300 долл.
5. Хеджирование с помощью опционов
5.1.Дельта-хеджирование
Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот или иной опцион, то он подвергается рыночному риску, так как за опцион он получает фиксированную сумму, премию за опцион, а его доход (убыток) зависит от спот-цены базисных активов на момент исполнения опциона.5 Например, в случае продажи европейского опциона «колл» прибыль финансового института на момент исполнения этого опциона оценивается следующим образом
Зависимость прибыли от спот-цены активов изображена на рис. 1.
Рис.1 Прибыль от продажи опциона "колл"
Таким образом, продавая опцион финансовый институт может понести очень большие убытки и, поэтому, заинтересован в снижении этого рыночного риска.
Финансовый институт может полностью исключить какой бы то ни было рыночный риск, купив аналогичный биржевой опцион. Однако часто опцион создается специально, исходя из запросов конкретного клиента, и купить такой опцион на бирже не удается. Именно в таком случае может использоваться дельта-хеджирование рыночного риска.
Рассмотрим финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов. Стоимость этого инструмента в текущий момент времени t зависит от спот-цены активов в этот момент времени и от многих других факторов.
Коэффициентом дельта (delta) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная стоимости этого инструмента по спот-цене базисных активов, т. е.
.
Основное свойство коэффициента дельта
Если спот-цена базисных активов мгновенно изменяется на величину дS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового инструмента, останутся неизменными, то приращение стоимости этого инструмента можно приближенно оценить следующим образом:
(11)
При этом, чем меньше (по абсолютной величине), тем меньше погрешность равенства (11).
Имеют место следующие утверждения:
1. Коэффициент дельта базисных активов всегда равен 1.
2. Коэффициент дельта фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью можно найти по формуле:
,
где – постоянная дивидендная доходность при непрерывном начислении,
– безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении,
Т – дата поставки активов.
3. Коэффициенты дельта европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью определяется равенством:
; ,
где .
Пример 4. Рассмотрим 5-месячный европейский опцион «пут» на бездивидендную акцию с ценой исполнения 100 долл., когда текущая спот-цена акции равна 100 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 8%.
В данном случае,
S = 100 долл.; X = 100 долл.; у = 0,4
Следовательно,
Из приближенного равенства (11) следует, что, если цена базисной акции мгновенно вырастет на 1 долл., то цена опциона «пут» на эту акцию уменьшится на 0,397 долл. (точное значение снижение стоимости опциона составляет 0,392 долл.).
4. Коэффициенты дельта американских опционов можно найти приближенно на основе n-этапной биномиальной модели
, ,
где - текущая цена базисных активов;
- волатильность базисных активов, ;
- стоимость американского опциона “колл” (“пут”) в момент времени при условии, что поднялась цена базисных активов;
- стоимость американского опциона “колл” (“пут”) в момент времени , если цена базисных активов упала.
5. Коэффициент дельта портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбинацией коэффициентов дельта этих финансовых инструментов.
Пример 5. Рассмотрим портфель состоящий из покупки 10 000 английских фунтов стерлингов, из короткой позиции по 9-месячному фьючерному контракту на 5 000 фунтов стерлингов и из длинной позиции по 6-месячному европейскому опциону «пут» на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл. Найдем коэффициент дельта портфеля, когда текущий обменный курс 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10% и 13% соответственно.
Найдем коэффициент дельта фьючерсного контракта на один фунт стерлингов. Так как , , , то:
Вычислим коэффициент дельта опциона “пут” на один фунт стерлингов. Так как
S=1,62 долл.; X=1,60 долл.;
То
Тогда
Следовательно, коэффициент дельта рассматриваемого портфеля можно найти следующим образом:
10 000*1 – 5 000*0,9778 + 2 000*(-0,4573) = 4196,4.
Из приближенного равенства (2.57), в частности, следует, что при падении обменного курса на 0,01 долл. стоимость всего портфеля снизится на 41,96 долл.
Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, называют дельта-нейтральным (delta-neutral), если коэффициент дельта этого портфеля равен 0.6
Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансовому инструменту, то, занимая соответствующую позицию по каком-то другому финансовому инструменту на те же базисные активы, он может образовывать дельта-нейтральный портфель, т. е. дельта-нейтрализовать свою первоначальную позицию.
Пример 6. Финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион «пут» на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл., когда текущий обменный курс 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10% и 13%, соответственно.
Выясним, сколько фунтов стерлингов следует купить (или продать), чтобы дельта-нейтрализовать базисную позицию.
Коэффициент дельта европейского опциона “пут” равен -0,4573 (см. пример 5). Обозначим через х – количество фунтов стерлингов, покупаемых для дельта-нейтрализации. Тогда:
х - 2 000 (-0,4573)=0.
Откуда найдем, что х = –914,6. Таким образом, для дельта-нейтрализации базисной позиции требуется произвести короткую продажу 914,6 фунтов стерлингов.
Предположим, что инвестор занимает определенную позицию по финансовому инструменту, производному от данных базисных активов. Дельта-хеджирование риска, связанного с изменением цены базисных активов на рынке, сводится к следующему:
1. выбирается некоторый биржевой инструмент, производный от тех же базисных активов 2. покупая или продавая выбранный инструмент, базисная позиция дельта-нейтрализуется 3. инвестиционный портфель периодически «ребалансируется», т. е. при помощи операций с выбранным инструментом восставливается дельта-нейтральность этого порфеля, утрачиваемая из-за изменения цены базисных активов и течения времени.
По существу, при дельта-хеджировании искусственным образом воспроизводится позиция противоположная базисной, т. е. строится синтетический финансовый инструмент.
Пример 6. Финансовый институт продал 5-недельный европейский опцион «колл» на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 50 долл., когда текущая цена акции равна 49 долл., волатильность акции составляет 20%, а безрисковая процентная ставка равна 5%.
Для хеджирования своей позиции финансовый институт решает использовать операции с базисной акцией и ребалансировать свою позицию еженедельно. Ниже, в табл. 3 приведен сценарий изменения цены базисной акции и расчет издержек финансового института на дельта-хеджирование.
Таблица 3
Дельта-хеджирование портфеля акций
Номер недели
i
Цена акции
Коэффи-циент дельта
Количество покупаемых (продаваемых) акций
Стоимость покупае- мых акций
Накопленные издержки
49,000
0,4140
41.400
2.028.600
2.028.600
1
48,125
0,2769
– 13.710
– 659.794
1.370.757
2
47,375
0,1495
– 12.740
– 603.557
768.519
3
50,250
0,5776
42.810
2.151.202
2.920.460
4