Модель геометрического броуновского движения как инструмент описания стоимости активов

Курсовая работа раскрывает суть одного из самых эффективных методов оценки стоимости финансовых активов и производных финансовых инструментов. Подробно рассмотрена математическая суть модели и наиболее распространенные ее варианты (модель Блэка-Шоулза-Мертона, модель стохастической волатильности и т.д.). Текст оригинальный, большинство первоисточников - англоязычные, до сих пор не переведенные на русский язык. Материал достаточно сложный, но интересный, успех на защите гарантирован)
Тема идеально подойдет студентам, специализирующимся на финансах, экономической кибернетике, инвестициях, прикладной математике и др. ...

Введение 3
Глава 1. Модель геометрического броуновского движения на примере модели Блэка-Шоулза-Мертона 4
§1.1. Понятие броуновского движения 4
§1.2. Модель геометрического броуновского движения для цены актива 7
§1.3. Модель Блэка-Шоулза-Мертона 11
Глава 2. Альтернативные модели ценообразования 17
§2.1. Модель дисперсии с постоянной эластичностью 18
§2.2. Модель скачкообразной диффузии Мертона 19
§2.3. Модель гамма-дисперсии 20
§2.4. Модель стохастической волатильности Халла-Уайта 22
Заключение 24
Список литературы 26

Введение

Броуновское движение — беспорядочное непрерывное движение микроскопических видимых, взвешенных в жидкости или газе частиц твердого вещества, вызываемое тепловым движением частиц жидкости или газа. Это явление было открыто в 1827 году английским ботаником Робертом Броуном при изучении через микроскоп спор растений, находящихся в жидкости. Это открытие имело большое значение для изучения строения вещества. Оно показало, что тела действительно состоят из отдельных частиц — молекул и что молекулы находятся в непрерывном беспорядочном движении.
Математическое описание явления было выведено из законов физики Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако первое математически четкое построение теории привел Норберт Винер в 1918 году, в связи с чем модель броуновского движения также называют в инеровским процессом.
Впоследствии эта теория начинает активно применяться в финансовом мире как модель ценообразования активов и производных финансовых инструментов. Рассмотрению этих теоретических моделей и посвящена данная работа.
В первой главе дано математическое описание броуновского движения как случайного процесса, рассмотрена модель геометрического броуновского движения для оценки акций и проведен анализ наиболее популярной модели Блэка-Шоулза-Мертона, за которую авторы удостоились нобелевской премии в 1997 году.
Во второй главе приведены некоторые альтернативные подходы к оцениванию финансовых активов, которые были призваны исправить недостатки модели Блэка-Шоулза-Мертона, которая, как будет показано ниже, исходит из предпосылок, не имеющих отношения к реальности

Пусть функция G = lnS. Тогда процесс, описывающий данную функцию, имеет вид dG=μ-σ22dt+σdW. Функция G = lnS подчиняется обобщенному винеровскому процессу, следовательноlnST- lnS0~Nμ-σ22T, σT lnST~NlnS0+μ-σ22T,σTЭто значит, что цена акции ST подчиняется логнормальному распределению, принимая значения от нуля до бесконечности.Логнормальное распределение цены акции можно использовать для вычисления непрерывно начисляемой ставки доходности акции r на временном интервале (0, T). Из равенства ST = S0erT следует, чтоr=1TlnSTS0В свою очередь, из свойства логнормальности распределения цены акции r~Nμ-σ22, σTДоходность акции μ зависит от ее рискованности (точнее той части риска, которую невозможно диверсифицировать) и уровня процентных ставок в экономике. Однако, поскольку стоимость дериватива, выраженная через цену базовой акции, как правило, не зависит от величины μ, нет необходимости ее тщательно определять.Параметр волатильности акции σ, напротив, имеет большую важность для оценки большинства деривативов. Исходя из предыдущей формулы, волатильность акции можно определить как стандартное отклонение доходности акции за год при ее непрерывном расчете. Обычно этот параметр находится в интервале от 15 до 60%. Оценить волатильность акции можно на основе ретроспективных данных о колебании цены акции за последние 90-180 дней, а также с применением более сложных методов на основе моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH и GARCH).§1.3. Модель Блэка-Шоулза-МертонаПри выводе дифференциального уравнения для оценки производной ценной бумаги, основанной на бездивидендной акции, использовались следующие предположения:Краткосрочная процентная ставка известна и неизменнаЦена акции подчиняется непрерывному случайному блужданию с дисперсией, пропорциональной квадрату стоимости акции. Поэтому, распределение возможных цен акций на протяжении любого конечного временного интервала является логарифмически нормальным.На протяжении срока дериватива дивиденды не выплачиваются.Оценивается «европейский» опцион, который может быть исполнен только в дату исполнения.Отсутствуют транзакционные издержки на покупку и продажу акций и опционовАрбитражные возможности, свободные от риска, отсутствуют.Существует возможность продавать ценные бумаги без покрытия и использовать вырученные суммы в полном объеме, все ценные бумаги допускают неограниченное деление; торговля происходит непрерывно.В основе модели лежит инвестиционный портфель, состоящий из позиции по деривативу и базовой акции. В отсутствие арбитражных возможностей его доходность должна быть равна безрисковой процентной ставке r. Поскольку колебания влияют как на цену акции, так и на стоимость деривативов, возможно создать свободный от риска инвестиционный портфель, компенсируя прибыли и убытки, обусловленные позицией по акции, прибылями и убытками по производной ценной бумаге, так что стоимость портфеля в конце короткого временного интервала является определенной величиной.Согласно второму предположению, цена акции описывается уравнением dS=μSdt+σSdW (1). Пусть f – цена европейского опциона «колл» или другого дериватива, основанного на акции с ценой S. Поскольку его цена зависит от переменных S и t, согласно лемме Итоdf= ∂f∂SμS+ ∂f∂t+ 12 ∂2f∂S2σ2S2dt+ ∂f∂SσSdW (2)Как было указано выше, функции S и f имеют один и тот же источник неопределенности dW, и это означает, что его можно исключить, правильно подобрав состав портфеля. В частности, таковым является портфель, владелец которого занимает короткую позицию по одному деривативу и длинную позицию по ∂f∂S акциям. Стоимость такого инвестиционного портфеляП=-f+∂f∂S∆S (3)Приращение его стоимости за период ∆t:∆П=-∆f+∂f∂S∆S (4)Подставляя уравнения 1 и 2, получаем∆П=-∂f∂S-12∂2f∂S2σ2S2∆t (5)Так как это уравнение не содержит величину dW, портфель является безрисковым в течение интервала времени ∆t. Следует заранее отметить, что данный инвестиционный портфель является безрисковым только на бесконечно малых промежутках времени, поэтому для сохранения портфеля свободным от риска требуется постоянно изменять пропорции акций и деривативов (т. е. применять стратегию динамического хеджирования).Предположение об отсутствии арбитражных возможностей означает, что этот портфель обеспечивает доходность на уровне безрисковой процентной ставки, следовательно∆П=rП∆t (6)Подставляя 3 и 5, получаем∂f∂S+12∂2f∂S2σ2S2∆t=rf-∂f∂SS∆t=>∂f∂t+rS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2=rf (7)Данное уравнение называется дифференциальным уравнением Блэка-Шоулза-Мертона. Для выделения конкретного дериватива из множества его решений используются краевые условия (boundary conditions) по переменным S и t. Для европейского опциона «колл» краевое условие – f = max(S – K,0) при t = T, для опциона «пут» - f = max(K – S,0) при t = T, где S – текущая цена акции, K – цена исполнения опциона.Формулы для вычисления цен европейских опционов «колл» с и «пут» p имеют вид:c=S0Nd1-Ke-rTNd2 (8)p=Ke-rTN-d2-S0N-d1 (9)d1=lnS0K+r2+σ22TσT d2=lnS0K+r2-σ22TσT=d1-σTN(x) – стандартное нормальное распределение, S0 – первоначальная цена акции, K – цена исполнения, r – безрисковая ставка, T – время до завершения срока действия опциона, деленное на количество операционных дней в году (252 дня).Для интерпретации представим формулу (8) в следующем виде: c=e-rT[S0Nd1erT-KNd2]KN(d2) – это цена исполнения, умноженная на вероятность исполнения опциона в риск-нейтральных условиях, величина S0N(d1)erT является ожидаемым значением переменной, которая в риск-нейтральных условиях равна ST при ST>K и нулю при ST<K.Поскольку дифференциальное уравнения Блэка-Шоулза (7) не содержит параметров, зависящих от рисковых предпочтений инвесторов, можно предположить, что все инвесторы являются безразличными к риску. Поэтому ожидаемую доходность μ принимают равной безрисковой ставке нулевого купона с погашением в момент T.Что касается волатильности цены акции σ, этот параметр не поддается непосредственному измерению. На практике используется так называемая подразумеваемая волатильность (implied volatility), величина которой обусловлена акциями, котирующимися на рынке. Для ее вычисления берут известные цены опциона «колл» и базовой акции, а также прочие параметры, используемые в формулах Блэка-Шоулза (цена исполнения K, ставка r, срок действия опциона T). Подразумеваемой волатильностью будет величина, удовлетворяющая формуле (8).Рассмотрим свойства формул Блэка-Шоулза при некоторых экстремальных ситуациях. Если цена акции S0 становится слишком высокой, опцион обязательно будет исполнен – этим он приобретает свойства форвардного контракта, цена которого равна S0 – Ke-rT. Фактически, это цена опциона на покупку, вычисленная по формуле (8), так как параметры d1 и d2 при росте S0 принимают большие значения, а вероятности N(d1) и N(d2) стремятся к единице. Цена опциона на продажу при росте цены акции, напротив, близка к нулю, поскольку вероятности N(-d1) и N(-d2)стремятся к нулю.При стремлении к нулю волатильности акции σ наблюдается следующий эффект. Так как акция является свободной от риска, ее цена растет со скоростью S0erT, а прибыль от опциона «колл» равна max(S0erT – K,0). Учитывая ставку дисконта r, получаем текущую стоимость опциона:e-rtmaxS0ert-K,0=max⁡(S0-Ke-rt,0)Этот результат соответствует формуле Блэка-Шоулза (8), поскольку если S0 > Ke-rT, то ln(S0/K) + rT >0, и при волатильности σ→0 d1 и d2→+∞ => N(d1) и N(d2) →1, и формула приобретает вид c = S0 – Ke-rt; в противном случае, т. е. S0 < Ke-rT, ln(S0/K) + rT <0, и при σ→0 d1 и d2→-∞ => N(d1) и N(d2) →0, тогда формула стоимость опциона «колл» по формуле (8) равна нулю. Аналогичными рассуждениями можно показать, что стоимость опциона «пут» равна max(Ke-rT – S0,0).Формулы для опционов на акции с известной дивидендной доходностью q можно получить, заменив в исходных формулах Блэка-Шоулза величину S0 на S0e-qT, а параметр доходности μ считать равным r – q.В данной работе рассмотрены только формулы Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов на покупку и продажу акций. Однако существуют также аналитические формулы для оценки опционов на валюту, фьючерсы и фондовые индексы, а также методы оценки американских опционов «колл» (аппроксимация Блэка). Обобщенная формула Блэка-Шоулза-Мертона для оценки опционов приведена в работе Эспена Хауга и выглядит следующим образом:c=S0eb-rTNd1-Ke-rTNd2p=Ke-rTN-d2-S0eb-rTN-d1d1=lnS0K+b+σ22TσT d2=d1-σTb = r дает цену опциона на бездивидендную акцию;b = r – q дает цену опциона на акцию с известной дивидендной доходностью;b = 0 дает цену опциона на фьючерс (модель Блэка);b = 0, r = 0 дает цену опциона на маржированный фьючерс [margined futures option; модель Асай (Asay)];b = r – rf дает цену опциона на валюту (модель Гармана и Колхагена).Глава 2. Альтернативные модели ценообразованияМодель Блэка-Шоулза-Мертона подвергается жесткой критике в финансовой литературе. На то есть ряд причин:Фактическое распределение изменений цен акций не является нормальным: оно имеет более высокий эксцесс и «толстые хвосты»;На финансовых рынках наблюдается эффект кластеризации волатильности, когда периоды высокой волатильности сменяются периодами низкой волатильности, что противоречит предположению модели Блэка-Шоулза-Мертона о постоянстве волатильности;Эффект «улыбки волатильности» по страйку (цене исполнения опциона).Было составлено множество моделей, ставящих целью преодолеть эти погрешности. Развитие моделей ценообразования шло преимущественно по следующим трем направлениям:Цена базового актива изменяется непрерывно, но не подчиняется законам геометрического броуновского движения [Модель дисперсии с постоянной эластичностью (constant elasticity of variance)].Цена базового актива в целом изменяется непрерывно, но в отдельные моменты времени испытывает скачки [модели диффузии со скачками (jump-diffusion models)].Изменения цены базового актива дискретны, цена постоянно испытывает скачки [скачкообразные модели (pure jump models)].В этой главе будут рассмотрены примеры моделей всех перечисленных типов.Кроме того, был создан ряд моделей, позволяющих более точно оценивать волатильность. Прежде всего, это уже упомянутые модели авторегрессионной условной гетероскедастичности и модели стохастической волатильности. Согласно последним, ожидаемая волатильность, как и цена базового актива, описывается случайным процессом. В качестве примера таких моделей далее приведена модель Халла-Уайта.§2.1. Модель дисперсии с постоянной эластичностьюМодель дисперсии с постоянной эластичностью [Constant Elasticity of Variance (CEV)] была впервые приведена в работе Джона Кокса и Стивена Росса 1976 года как обобщение формул Блэка-Шоулза. Она основана на предположении, что цена акции St изменяется согласно стохастическому дифференциальному уравнениюdSt=μStdt+σStβ2dWt t>0, β<2 (2.1)Величина μ считается равной разности безрисковой процентной ставки r и дивидендной доходности q: μ = r – q . При β = 2 уравнение 2.1 обращается модель геометрического броуновского движения, рассмотренную в первой главе. При параметре β < 2 с уменьшением цены акции ее волатильность растет, создавая распределение с тяжелым левым хвостом и менее тяжелым правым.