Практическое занятие:" Решение уравнений и неравенств нестандартными методами".

Работа содержит практическое руководство по решению различных уравнений и неравенств , встречающихся в тестах ЕГЭ решаемых нестандартными методами. ...

Работа содержит краткий исторический экскурс, а также огромное количество практического материала .

Работа большая предназначена для студентов педагогических вузов и начинающих педагогов и может быть использована при подготовке учащихся к ЕГЭ.

т. е. уравнение имеет корни
, , , , , .
Поскольку уравнение есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения .
Ответ: 
Метод основан на исследовании уравнения на промежутках действительной оси.
Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.
Пример 1 Решите уравнение
. ( С1 ЕГЭ 2013г.)
Решение. Перепишем уравнение в виде  или, используя формулу разности
,
в виде
.
Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение
 
решений не имеет.
Разобьем числовую ось на промежутки 
Для любого x из промежутка  имеем, что левая часть уравнения (положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.
Поскольку
 
,
то для любогох из промежутка  этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке  уравнение (17) также не имеет решений. 
Поскольку
 
,
то для любого x из промежутка  этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке  уравнение (17) не имеет решений. 
Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .
Ответ: 1.
Мы рассмотрели лишь некоторые методы решения уравнений, теперь остановимся на методах решения иррациональных уравнений.

НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Пример 1 ( С 3 из ЕГЭ 2013г.)

Для решения этого уравнения введем новую переменную: 
Ответ: 3
Пример 2
( С3 ЕГЭ 2013г.)
Это уравнение может быть решено двумя способами.
1 способ
2 способ
Введем новую
переменную 
Возведем в куб:
Проверкой убеждаемся, что  корни уравнения.
Пример 3 (С3 ЕГЭ 2013г.)
ОДЗ: 
То, что , должно навести учащихся на мысль о применении тригонометрической подстановки . Тогда:
Так как 
. Откуда 
Но , поэтому остается . Следовательно, .
Ответ:
 
Пример 4 (С3 ЕГЭ 2013г.)
.
Данное уравнение решим искусственным приемом – домножением на сопряженное выражение, но сначала определим , что .
Подставим х=0 в уравнение: .  - неверно => 0 – не корень (заметим, что если найденное значение является корнем, его не забыть записать в ответ!).
Пусть .
Ответ: 
Пример 5 (С3 ЕГЭ 2013г.)
И здесь домножим на сопряженное:
Второй сомножитель не обращается в 0, а .
Проверкой убеждаемся, что х=2 корень уравнения.
Ответ: 
Пример 6 ( С3 из ЕГЭ 2013 г.)
ОДЗ: 
Рассмотрим функцию .  - абсцисса вершины параболы, следовательно левая часть уравнения – сумма возрастающих на ОДЗ функций, правая часть уравнения – постоянная. Значит, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим . Проверка: , 2=2 – верно.
Ответ: 0

ОДЗ: 
1) Оценим левую часть.
Сложив неравенства (*) и (**), получим: 
2) Оценим правую часть.
3) Оценив левую и правую часть уравнения, приходим к выводу, что
.
Но, подставив найденное значение  в уравнение, получаем  - неверно, следовательно, корней нет.
Ответ: корней нет.
Пример 7 (С3 ЕГЭ 2013г.)
ОДЗ:
Дополнительное условие:
Рассмотрим более общее уравнение с параметром: , совпадающее с (*) при . Запишем (**) как квадратное относительно :
Разложим (**) на множители: 
 или 
Вернемся к 
 или 
 
 
 
 - не удовлетворяет дополнительному условию.
Ответ: 1.
Пример 8 (С 3 ЕГЭ 2013г.)
ОДЗ: 
1) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  является корнем:
2) 
3) Внесем  под знак корня.
а) При , , :
Пусть , тогда:
 Дополнительное условие: 
б) При , , :
Пусть , тогда:
Дополнительное условие: 
Ответ: 5; .
Вывод:
Для решения иррациональных уравнений можно применят различные нестандартные способы:
1. Введение новой переменной;
2. Домножение на сопряженное выражение;
3. Введение тригонометрической подстановки;
4. Использование монотонности функций; метод оценки левой и правой частей уравнения.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что не всегда нужно искать область допустимых значений переменной, иногда проще в конце решения сделать проверку или следить за равносильностью преобразований.

Рассмотренные методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных заданий из ЕГЭ 2013г.