Изотропные тензоры 4-го ранга

Курсовая работа по Тензорному анализу.
Специальность Математическое моделирование ...

Оглавление
Изотропные тензоры
Изотропные тензоры 4 ранга и их свойства
Изотропные функции
Список литературы

Ортогональные тензоры О, при воздействии на ненулевой тензор
(1.1)
в общем случае изменяют его, но если ненулевой тензор удовлетворяет равенству:
(1.2)
то он называется изотропным и его группа симметрии .

Т.е. изотропных тензоров четвертого ранга не существует. Пусть теперь р – четное число. При равенство означает, что главная ось преобразуется в его главную ось; если , то - такой тензор, главные оси которого при любом ортогональном преобразовании преобразуются в главные же оси. Это возможно только тогда, когда для каждое направление в является главным, т.е. когда - шаровой тензор .При произвольном четном линейно независимые изотропные тензоры могут быть получены перестановкой базисных векторов в записи: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)причем следует учесть очевидное .Изотропные тензоры 4 ранга и их свойстваПусть , тогда из GOTOBUTTON ZEqnNum820654 \* MERGEFORMATREF ZEqnNum820654 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (1.3) получается три тензора:Изотропность, к примеру, можно показать:, ,, - т.к. для данного тензора каждое направление в является главным . Изотропность двух других тензоров доказывается аналогично.Общий вид изотропного тензора в : MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)Данные тензоры обладают следующими свойствами:где - произвольный тензор второго ранга.Изотропные функцииФункция называется скалярозначной, если ее значение принадлежит множеству действительных чисел.