МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Курсовая по высшей математике ...

Все вариации действия над матрицами и системы алгебраических уравнений

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Основные понятия
Прямоугольной матрицей размерностью n на m называется прямоугольная таблица, состоя-щая из n строк и m столбцов.
Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).
Если число строк равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной порядка, равного числу строк (столбцов).

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.
Пример. Найдем обратную матрицу для матрицы
Решение.
Вычисления произведем в соответствии с описанной схемой.
1. Значит, A* существует.
2.
3.
4.
5.
Обратная матрица найдена верно.
Так же можно записать нахождение обратной матрицы следующим образом:
Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А*.
 
Пример. Дана матрица А = , найти А*.
Решение.

Таким образом, А* = .
Но такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков.
Пример. Найдем обратную матрицу к матрице A
Решение.
Определитель нулю не равен, значит обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть
Но нам известно, что А**А = Е. Необходимо проверить:
Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.
Пример. Найти обратную матрицу
Решение.
следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:
Составим
и найдем обратную матрицу:
Необходима проверка
Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Общие сведения о системах линейных уравнений
Система линейных уравнений имеет вид
Здесь x1, x2,...xm - неизвестные. Коэффициенты aij и свободные члены Ii- известные числа. Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.
Систему линейных уравнений (1), например, для трех уравнений с тремя неизвестными, можно записать так:
Если матрицу коэффициентов обозначить через А, столбец неизвестных через Х, столбец свободных членов через L, то система примет вид
Так может быть представлена любая система (1).
Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система линейных уравнений может иметь:
- единственное решение (система совместна и определена);
- более одного решения (система совместна и неопределена);
- не иметь решений (система несовместна).
Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов А этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Если к матрице коэффициентов добавить столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы
Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когда
Число r называется рангом системы (1).
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (r =m), то система является определенной (единственное решение).
Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. В такой системе будет r базисных неизвестных и m-r свободных неизвестных. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система (1) в этом случае имеет бесчисленное множество решений.
Система может и не иметь решений (система несовместна) в случае
Пример.
Решение. Составим матрицу системы и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов):
Составим расширенную матрицу системы:
Определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:
Как видим, ранг обычной матрицы не равен рангу расширенной, следовательно системы несовместна, т.е. не имеет ни одно решения.
Пример.
Решение. Составим матрицу системы и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов):
Составим расширенную матрицу системы:
Определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:
Как видим, ранг обычной матрицы равен рангу расширенной, следовательно системы совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение.
Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.
Например, однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение x1 = x2 = ... = xm = 0. Это решение не всегда единственно.
Методы решения систем линейных уравнений
Матричный метод
Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).
Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена.
* Теорема Кронекера – Капелли
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. *
Решение системы можно получить так:
Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы
Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.
Пример. Решить систему матричным методом.
Решение.
Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0, то A* существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем решение системы
Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Проверка: Система решена верно.
Пример.
Решение.
матрица системы
Найдем ее определитель, для того чтобы узнать, не является ли матрица А вырожденной.
| А| =1·[-1·4 – 1·2] – 1·[2·4 – 2·4] + 2·[2·1 – 4·(-1)] = -6 + 12 = 6
Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица
А11 = (+1)·[-1·4 – 1·2] = -6
А12 = (-1)·[2·4 – 2·4] = 0
А13 = (+1)·[2·1 – 4·(-1)] = 6
А21 =(-1)·[1·4 – 1·2] = -2
А22 = [1·4 – 2·4] = -4
А23 = (-1)·[1·1 – 4·1] = 3
А31 = [1·2 – (-1)·2] = 4
А32 = [(-1)·1·2 – 2·2] = 2
А33 = [1·(-1) – 2·1] = -3

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.
Вектор Х удовлетворяет системе.
Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.
Метод Крамера
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
Xi = Di/D, где
D - определитель матрицы A(detA), а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =
Пример.
A = ; D1= ; D2= ; D3= ;
x1 = D1/detA;       x2 = D2/detA;        x3 = D3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
Решение.
D =   = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
D1 =   = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
x1 = D1/D = 1;
D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
x2 = D2/D = 2;
D3 =   = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = D3/D = 3.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.