Методика изучения тригонометрических неравенств

Тригонометрические неравенства занимают одно из главных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению огромного количества задач.

В школьном курсе математике с изучением тригонометрических неравенств связаны такие направления:

• решение неравенств;
• решение систем неравенств;
• доказательство неравенств.

Рассматривая научно-методической литературу, видим, что много внимания обращено к первому и второму направлениям.

Еще обратим внимание, что решение тригонометрических неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, способы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.). [1]

Актуальность исследования: анализ материала по изучению тригонометрических неравенств в разнообразных учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» различных авторов, говорит о том, что перед преподавателем стоит задача – формировать у учащихся умения решать неравенства любого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Цель данной работы: Разработать методику изучения тригонометрических неравенств.

Объект данной работы: процесс обучения математике.

Предмет данной работы: методика изучения тригонометрических неравенств.

Задачи:

• провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по теме работы;
• выявить роль тригонометрических неравенств в изучении математики;
• выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических неравенств;
• классифицировать способы решения тригонометрических неравенств;
• разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Данная работа состоит из введения, 4 пунктов с подпунктами, заключения и списка литературы, включающего 30 источников, приложения, в котором представлен конспект урока.

1 История развития тригонометрии

Тригонометрия возникла еще в древности. Ее возникновение тесно связано с земледелием, астрономией и строительным делом. Огромен вклад в развитие тригонометрии Л. Эйлера, он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначать стороны малыми буквами и противолежащие углы — соответствующими большими буквами упростило все формулы, внесло в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль смотреть на тригонометрические функции как на отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он взял за единицу. Эйлер получил много новых соотношений, установил связь между тригонометрическими и показательными функциями, ввел правило знаков функций для всех четвертей, вывел обобщённую формулу приведения, нашел в тригонометрии много ошибок, которые допускались, можно сказать, во всех европейских учебниках математики.

...

2 Анализ учебников

Рассмотрим учебники «Алгебра и начала анализа. 10-11» Мордковича А.Г. и Колмогорова А.Н.

В учебнике Мордковича А.Г. 8 глав. В конце каждой главы выделены основные результаты данной главы. Курс математики в 10 классе начинается с первой главы «Тригонометрические функции». Здесь автор рассматривает понятие тригонометрической окружности на координатной плоскости, определения синуса и косинуса, основные тригонометрические соотношения, связанные с ними, показывает решения простейших тригонометрических уравнений по окружности. Знакомство с формулами приведения происходит только после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Затем изучаются свойства и графики тригонометрических функций. В следующей главе «Тригонометрические уравнения» детально показано решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на базе ранее введенных определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Тут же показаны такие способы решения, как разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие способы решения показаны только после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

Схема изучения показана следующим образом: функция → уравнения → преобразования.

...

3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов в современных учебниках алгебры и начала анализа предлагают начинать данную тему с решения простейших тригонометрических неравенств. Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных, но и различных тригонометрических углов.

...

3.2 Метод интервалов

Многолетний опыт учителей математики показывает, что учащиеся, хорошо решающие тригонометрические уравнения, часто испытывают большие сложности при решении тригонометрических неравенств, делая большое количество ошибок в окончательном отборе решений, после того как сделана основная часть работы. Ошибки появляются от невнимательности или когда учащиеся не до конца поняли каких-либо специфических особенностей неравенства. Нет помощи и от проверки. Она бывает достаточна, для того чтобы найти ошибку. Также если в ответе один-два интервала проверка утомительна, а при наличии нескольких интервалов техническая сложность проверки очень сильно возрастает.

Из-за этого разработан особый методический подход к последнему этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно показать учащимся с помощью специального алгоритма.

1) Привести неравенство к виду, когда в одной из его частей (например, в правой) был ноль.

...

4 Методика изучения тригонометрических неравенств

Целью подготовительного этапа является необходимость сформировать у школьников умения использовать тригонометрическую окружность или график для решения неравенств, а именно:

...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив психолого-педагогическую и методическую литературу по данной теме, стало ясно, что умение и навыки решать тригонометрические неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными и их развитие требует достаточно больших усилий со стороны учителя математики.

...

ПРИЛОЖЕНИЕ

Конспект урока алгебры в 10-м классе по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

(по учебнику алгебры и начала анализа Мордковича А.Г.)

Задача урока: закрепление умений и навыков решения простейших тригонометрических неравенств, в которых содержатся функции синус и косинус, научится решать более сложные неравенства.

Цели урока:

- Запоминание тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

...