ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ ГРУЗООБОРОТА ОТ ДЛИНЫ ДОРОГИ

Защита декабрь 2013 года, оценка 5.
В курсовой работе приведены расчеты влияния длины дороги (х) на грузооборот (у). ...

Оглавление
Введение 4
Исходные данные 5
1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии 6
1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии 6
1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии 8
1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии 11
2. Дисперсионный анализ линейной функции регрессии 14
3. Оценка тесноты связи длины дороги и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации 18
4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии 19
5. Сравнительная оценка силы связи грузооборота и длины дороги с помощью среднего коэффициента эластичности 22
6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования 23
7. Расчет прогнозного значения импорта по линейной модели при увеличении экспорта товаров 25
8. Реализация решенных задач на компьютере 26
8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН» 26
8.2 Реализация процедуры «Анализ данных» 27
8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД» 30
Выводы 31
Список литературы 3

Основные задачи:
1. Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.
2. Оценить тесноту связи грузооборота от длины дорогис помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Выполнить дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.
4. Провести сравнительную оценку силы связи фактора (длина дороги) с результатом (грузооборот) с помощью среднего коэффициента эластичности.
5. Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии грузооборота от длины дороги.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.
7. Рассчитать прогнозное значение грузооборота в предположении увеличения значения длины дороги на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный и нтервал прогноза для уровня значимости 0,05

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 1.3.Таблица1.3.№ п/пхух2у2x*yуxiy-уxi(y-уxi)21101474,957410296160924,576350303,2375331676,005-2410095808534026293374,84968717956923,518745280,7494235974,221-1652442730565250371675,00565136588925,056135875,172294792,4936506,50742334633,6466594,55454434228120,743630328,504576568,226-40716,21657811049560615,10883673572126,099430964,160459551,88468904,124747777262661914,80833832848123,120129768,386762896,2041421,7962021504,66760044,96183604801624,619829790,850358142,17633444,821118556276856344,87543174195623,769427467,921449768,56225287,44639454531948464,88062348371623,820123651,314735737,26140222,7416178687351049674,96032467108924,604724637,854937601,69553664,3128798576321143084,69281855886422,022620216,708628504,931120793,07432351713,81243634,57881903576920,965419977,302729171,52678742,47376430839,171338244,79611462297623,002718340,321823258,160439274,8415425130281435674,89641272348923,974317465,299520876,855757892,1433515003701531614,6676999192121,786914754,409117601,829628918,17836260577,21611172,703312476897,30783019,576477455,3152-6950,3248306880,92176623,13394382449,82112074,614086157,6464-4796,6523007817,14Сумма8801578,4313553477279368,8087423916,3841175734,9900-73644104407045607,8Среднее значение5177,35294,61363255748721,694624936,2579--6141590918,110C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:B = / Sx2 = (24936,2579 – 4,61365177,3529)/(32557487 – 517,3529*517,3529) = 0,00018;A = – B = 4,6136 – 0,000185177,3529 = 3,6686.Таким образом, получено уравнениеŶ = 3,6686 + 0,00018x,или после потенцированияŷx = 4662,08* (1,0004) x.На Рис. 1.3. выполнено построение показательной функции регрессии.Рис. 1.3.На Рис. 1.4 выполнено построение функций регрессии.Рис. 1.42. Дисперсионный анализ линейной функции регрессииЦентральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:, (*)где – общая сумма квадратов отклонений; – объясненная (факторная) сумма квадратов; – остаточная сумма квадратов.Результаты расчетов сведены в табл. 2.1.Таблица 2.1 № п/пyiyi – (yi – )2ŷxiŷxi –(ŷxi –)2yi – ŷxi (yi – ŷxi)219066725838,12667608323,5108358,8743529,991894859807-17691,86979313002256,82707305901,11834823189,48101263,9436435,61327513531-30533,94144932321579,9310129936470,12133006948182256,5417427,66303723278,519042,45921362615252,9435852-28976,9839659710,977806,8812978168428475,3-41954,882021760212125512845663627,12404841010072568,97740,0259907840,2855887,102133123368184664318-510,882261000,778573707,598878,7178831450,9-9389,5900888164401,8679158726758,1271599686072069,637240,7452428356,0919517,37486380927921,587505610227,12104593935,468828,733999,8515998796,726227,2680638778867,4997596011131,12123901780,161926,51-2902,388423792,30414033,49466196938972,3109126626437,12698921189,562986,37-1842,523394870,15428279,63499799737755,11149298-15530,9241208306,757214,07-7614,8157985345,1-7916,07144962664187,191237914-26914,9724410892,157695,83-7133,0650880495,16-19781,82584391320633,71362533-2295,885271075,77952974,63-11854,251405232339558,36722291362383,94147876913940,1219432688050723,53-14105,36198961081,228045,47412786548618,61546520-18308,933521517347167,3-17661,58311931401,7-647,3025331419000,569416505-64323,9413756184129263,56-35565,331264892339-28758,5574827054623,9171361-63467,9402817209025278,14-39550,751564261641-23917,13469572029331,6Сумма1102091-18230411830--7502945734-10727466096На основании выполненных расчетов имеем: 18230411830 = 7502945734 + 10727466096. Равенство (*) выполняется. Если коэффициент b увеличить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = 22147,1706+1,1·8,243·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.2). Таблица 2.2№ п/пyi yi – (yi – )2ŷxi ŷxi –(ŷxi –)2 yi – ŷxi (yi – ŷxi)219066725838,12667608323,54117246,8052417,922747638134-26579,80706485789,92707305901,1234823189,48109442,3844613,501990364103-38712,381498648305310129936470,121330069481,1988534,2423705,36561943910,312764,76162939136435852-28976,88839659710,9083639,6118810,73353843619,8-47787,612283656038512845663627,124048410100,0777877,8313048,95170275068,750578,172558151149664318-510,88261000,7879130,3914301,51204533199-14812,39219406978,379158726758,12715996860,0177328,6312499,75156243723,514258,37203301078,287505610227,12104593935,3773763,658934,7779830050,981292,351670171,69497596011131,12123901780,0766171,201342,321801815,3699788,8095820614,9109126626437,12698921189,4867337,052508,166290880,62323928,95572594880,11149298-15530,88241208306,6660987,52-3841,3614756047,57-11689,521366449301237914-26914,88724410892,0761517,45-3311,4310965570,54-23603,45557122949,51362533-2295,885271075,7856324,14-8504,7472330647,676208,8638549946,28147876913940,12194326880,0153847,92-10980,96120581487,924921,08621060123,31546520-18308,88335215173,0149936,08-14892,81221795668,4-3416,0811669578,1416505-64323,884137561840,9630241,96-34586,931196255420-29736,96884286598,6171361-63467,884028172090,3725857,99-38970,891518730311-24496,99600102606,9Сумма1102091-182304118301179184,84-9428179658-11152110874Из таблицы следует: 18230411830 ≠ 9428179658 + 1115210874, т.е. .На Рис. 2.1 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически. Дисперсионный анализ линейной регрессииРис. 2.13. Оценка тесноты связи длины дороги и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминацииУравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие: rxy = b (Sx / Sy) = Mxy /(Sx / Sy) = ( – )/ SxSy.Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах –1 ≤ rxy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ rxy ≤ 1, и наоборот, при b < 0 –1 ≤ rxy ≤ 0.Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: rxy = b (Sx/Sy) = 8,7592* (2398,4377/32747,1704) = 0,64.Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением длины дороги грузооборот увеличивается.Так же учитывая, что значение коэффициента корреляции = 0,64 говорит о том, что связь умеренная, т.е. грузооборот в равной степени зависит как от длины дороги, так и от других факторов.Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) грузооборота товаров ŷx, объясняемую зависимостью от длины дороги x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.Соответственно величина 1 – rxy2 характеризует долю дисперсии грузооборота товаров y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.Определим коэффициент детерминации: ryx2 = ( 0,64 )2 = 0,41.Следовательно, изменение грузооборота на 41% объясняется изменением длины дороги.4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессииИз графиков и приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение грузооборота товаров y отличается от теоретического значения ŷx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (y – ŷx) для каждого опыта представляет собой ошибку аппроксимации функции, связывающей грузооборот товаров и длину дороги. В данном случае число таких опытов равно семнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а абсолютные значения разностей опытного и теоретического результативных признаков, отнесенные к опытному признаку и выраженные в процентах, то есть:Аi = | (yi – ŷxi) / yi |100% .Таблица 4.1№ п/пЛинейная регрессияСтепенная регрессияПоказательная регрессия|yi – ŷxi||yi – ŷxi||yi – ŷxi|117691,8720%113821,84126%241009266%230533,9443%103651,12147%165244234%319042,4619%3796,744%65076%441954,88117%55445,61155%40716114%555887,1044%52208,5441%6890454%69389,5915%15091,0623%14222%719517,3721%16706,4318%3344537%86227,278%8760,4612%2528734%914033,4918%26276,2535%4022353%1028279,6331%39180,1543%5366459%117916,0716%9636,3720%2079342%1219781,8352%2722,697%874223%139558,3715%30962,4550%3927563%1428045,4736%51135,4365%5789273%15647,301%24593,5353%2891862%1628758,565695%2487,74493%69501376%1723917,131757%261,7119%4797352%Ср. зн.21246,02465%32749,3077%49635168%Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации – средняя арифметическая Аi:А = (А1 + А2 + … + А17 ) / 17.Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между длиной дороги и грузооборотом: А = 7908/ 17 = 465 %.Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 1308/17 = 77% и для показательной функции: А = 2850/17 = 168%.Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации находится в недопустимых для практического использования пределах, следовательно, должен быть продолжен поиск более качественной модели. 5. Сравнительная оценка силы связи грузооборота и длины дороги с помощью среднего коэффициента эластичностиСредний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится импорт товаров ŷx от своей величины при изменении экспорта товаровx на 1% от своего значения. Для произвольной величины x он может быть вычислен по следующей формуле:Э = yx' (x)· / ŷx.С учетом приведенной формулы коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии ŷx = 8,7592 · x +19479,5636 примет следующий вид: Э = ŷx' (x) · / ŷx= b · / (a + b) .Таким образом, коэффициент эластичности для линейной функции регрессии равен 0,7.Коэффициент эластичности для степенной функции регрессии имеет вид:Э=b,из чего следует, что коэффициент эластичности для степенной функции регрессии равен 8,7592.Коэффициент эластичности для показательной модели рассчитывается по формуле:Э= х · lnbи равен 2,18.Таким образом, можно сделать вывод, что при изменении длины дороги на 1% грузооборот по линейной модели изменится на 0,7, по степенной модели на 8,7592 и по показательной модели 2,18. 6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделированияОценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будет производиться с помощью F-критерия Фишера. При этом принята нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть длина дороги не оказывает влияния на грузооборот. Альтернативная гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:Fфакт = Sфакт2 / Sост2,где Sфакт2 – факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:Sфакт2 = ((ŷx1 – )2 + (ŷx2 – )2 + ...+ (ŷx17 – )2) / 1, которая в данном случае будет равна 7502945734.Sост2 – остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:Sост2 = ( (y1 – ŷx1)2 + (y2 – ŷx2)2 + ...+ (y12 – ŷx17)2 )/ n – 2.Sост2= 715164406,4.Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значение F-критерия Фишера – это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0,05.Если Fтабл< Fфакт, то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы к1 = 1, к2 = 15 получаем Fтабл = 4,54. Выполнив расчет, получим Fфакт = 7502945734/715164406,4= 10,49.Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии.7. Расчет прогнозного значения импорта по линейной модели при увеличении экспорта товаровПолученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение грузооборота, если прогнозное значение длины дороги увеличится на 10% от среднего значения всей длины дороги. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05. Если прогнозное значение длины дорогиxp = 1,1 · = 1,1 ·5177,35 =5695,09,то прогнозное точечное значение грузооборота можно вычислить по соотношению:ŷxp = 22147,17 + 8,243 · xp = 22147,17 + 8,243 · 5695,09= 69363,81.Для определения доверительного интервала прогноза грузооборота необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:mŷp = Sост·(1 + 1 / 12 + ( xp – )2/( (x1 – )2 + (x2 – )2 + ... + (x7 –– )2))1/2 = 28623,26Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:∆ŷp = tтабл · mŷp = 2,13· 28623,26= 61010,48.Здесь tтабл – табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n – 2 = 15 и уровне значимости 0,05.Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза грузооборота при прогнозируемом увеличении длины дороги на 10% можно вычислить по формулам:ŷxp min = ŷxp – ∆ŷp = 69363,81 – 61010,48= 8353,33;ŷxp max = ŷxp + ∆ŷp = 69363,81 + 61010,48= 130374,3.