"Измерение двумерной системы.Оценка параметров распределения некоррелированных величин."

Курсовая работа была сдана в январе этого года. Тема работы "Оценка параметров распределения некоррелированных величин." За работу получил отметку "Отлично". ...

Вычисляем коэффициент ковариации.
Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:
cov(X,Y) = 1

n
n
Σ
k = 1
(xk-Mx)(yk-My) ( 1.1 ), где:
Mx = 1

n
n
Σ
k = 1
xk , My = 1

n
n
Σ
k = 1
yk ( 1.2 ), - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.
То есть, ковариация, это математическое ожидание произведения центрирован-ных случайных величин


1.1. Вычислим оценку математического ожидания случайной величины Х.

1.1.1. Сложим последовательно все элементы выборки X

x1 + x2 + … + x50 = 42.81000 + 34.12000 + ... + 36.41000 = 1803.340000

1.1.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки

1803.34000 / 50 = 36.06680

Mx = 36.066800

Известно, что система представляет двумерную случайную величину, распределённую по нормальному закону с неизвестными параметрами.
Задание: по выборке оценить параметры распределения, найти уравнения регрессии, построить распределения и найти характеристики некоррелированных величин.

07467 + 1.28489 + ... + 0.90605 = -1110.2665001.5.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки -1110.266500 / 50=-22.20533ОТВЕТ:      cov(X,Y) = -22.2053302. Вычисляем коэффициент корреляции.Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:Rx,y = cov( X,Y )σxσy     ( 2.1 ),    где:cov( X,Y ) - ковариация случайных величин Х и Y σx2 = 1nnΣk = 1(xk-Mx)2  ,  σy2 = 1nnΣk = 1(yk-My)2     ( 2.2 ),    - оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.Mx = 1nnΣk = 1xk  ,  My = 1nnΣk = 1yk     ( 2.3 ),    - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.или по формулеRx,y = Mxy - MxMySxSy     ( 2.4 ),    где:Mx = 1nnΣk = 1xk ,  My = 1nnΣk = 1yk ,  Mxy = 1nnΣk = 1xkyk     ( 2.5 )Sx2 = 1nnΣk = 1xk2 - Mx2 ,  Sy2 = 1nnΣk = 1yk2 - My2     ( 2.6 )На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 2.4 ) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу ( 2.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.2.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ) для этого воспользуемся результатами представленными в таблице 1, дополнив последнюю двумя новыми столбцами в которые запишем (предварительно вычислив) значения квадратов центрированных случайных величин (xk-Mx)2 и (yk-My)2. Получим таблицу 2.Таблица 2 k  xk  yk  ( хk-Mx )  ( хk-Mx )2  ( yk-My )  ( yk-My )2 1234567 1  42.81  19.64   6.74320   45.47075   -4.46000   19.89160  2  34.12  23.44   -1.94680   3.79003   -0.66000   0.43560  3  25.96  31.07  -10.10680  102.14741   6.97000   48.58090  4  43.41  22.92   7.34320   53.92259   -1.18000   1.39240  5  31.41  27.19   -4.65680   21.68579   3.09000   9.54810  6  43.73  20.89   7.66320   58.72463   -3.21000   10.30410  7  49.7  15.63   13.63320  185.86414   -8.47000   71.74090  8  20.86  30.65  -15.20680  231.24677   6.55000   42.90250  9  31.18  26.88   -4.88680   23.88081   2.78000   7.72840  10  45.45  20.84   9.38320   88.04444   -3.26000   10.62760  11  25.91  26.42  -10.15680  103.16059   2.32000   5.38240  12  30.44  27.21   -5.62680   31.66088   3.11000   9.67210  13  40.38  23.33   4.31320   18.60369   -0.77000   0.59290  14  33.29  25.9   -2.77680   7.71062   1.80000   3.24000  15  33.51  19.9   -2.55680   6.53723   -4.20000   17.64000  16  43.58  22.16   7.51320   56.44817   -1.94000   3.76360  17  42.27  16.38   6.20320   38.47969   -7.72000   59.59840  18  33.47  21.93   -2.59680   6.74337   -2.17000   4.70890  19  37.18  20.83   1.11320   1.23921   -3.27000   10.69290  20  45.6  18.58   9.53320   90.88190   -5.52000   30.47040  21  24.82  35.45  -11.24680  126.49051   11.35000  128.82250  22  37.49  26.65   1.42320   2.02550   2.55000   6.50250  23  26.08  28.49   -9.98680   99.73617   4.39000   19.27210  24  38.09  26.91   2.02320   4.09334   2.81000   7.89610  25  32.55  28.99   -3.51680   12.36788   4.89000   23.91210  26  42.75  19.5   6.68320   44.66516   -4.60000   21.16000  27  29.49  28.06   -6.57680   43.25430   3.96000   15.68160  28  44.35  20.78   8.28320   68.61140   -3.32000   11.02240  29  33.1  26.49   -2.96680   8.80190   2.39000   5.71210  30  28.56  22.82   -7.50680   56.35205   -1.28000   1.63840  31  31.72  27.24   -4.34680   18.89467   3.14000   9.85960  32  38.19  27.24   2.12320   4.50798   3.14000   9.85960  33  44.74  16.13   8.67320   75.22440   -7.97000   63.52090  34  37.61  22.08   1.54320   2.38147   -2.02000   4.08040  35  39.04  14.66   2.97320   8.83992   -9.44000   89.11360  36  39.87  22.32   3.80320   14.46433   -1.78000   3.16840  37  42.72  24.39   6.65320   44.26507   0.29000   0.08410  38  38.77  20.27   2.70320   7.30729   -3.83000   14.66890  39  44.8  20.89   8.73320   76.26878   -3.21000   10.30410  40  31.05  25.92   -5.01680   25.16828   1.82000   3.31240  41  34.44  23.7   -1.62680   2.64648   -0.40000   0.16000  42  43.59  23.81   7.52320   56.59854   -0.29000   0.08410  43  35.31  29.56   -0.75680   0.57275   5.46000   29.81160  44  27.11  29.66   -8.95680   80.22427   5.56000   30.91360  45  24.14  26.83  -11.92680  142.24856   2.73000   7.45290  46  33.3  24.53   -2.76680   7.65518   0.43000   0.18490  47  40.64  19.63   4.57320   20.91416   -4.47000   19.98090  48  41.45  25.85   5.38320   28.97884   1.75000   3.06250  49  26.9  27.62   -9.16680   84.03022   3.52000   12.39040  50  36.41  26.74   0.34320   0.11779   2.64000   6.96960 2.2. Вычислим σx2 как среднее значение элементов 5-го столбца таблицы 2.2.2.1. Сложим последовательно все элементы 5-го столбца  45.47075 + 3.79003 + ... + 0.11779 = 2343.9498882.2.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки σx2 = 2343.94989 / 50 = 46.8789982.3. Вычислим σy2 как среднее значение элементов 7-го столбца таблицы 2.2.3.1. Сложим последовательно все элементы 7-го столбца  19.89160 + 0.43560 + ... + 6.96960 = 929.5160002.3.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки σy2 = 929.516000 / 50 = 18.5903202.4. Вычислим произведение σx2σy2.σx2σy2 = 46.878998•18.590320 = 871.4955702.5. Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение σxσy.σxσy = 29.5211042.5.Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ).Rx,y = cov( X,Y )σxσy = -22.205330 / 29.521104 = -0.752185ОТВЕТ:      Rx,y  = -0.7521853. Проверяем значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощьюt-критерия:t =Rx,y√n - 2√1 - R2x,y     ( 3.1 )Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (tкр.α) при заданном уровне значимости α. Если вычисленное по формуле ( 3.1 ) t по модулю окажется меньше чем tкр.α, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.3.1. Вычислим значение t-критерия по формуле ( 3.1 ) получим:t =-0.75218√50 - 2√1 - ( -0.75218)2 =  -7.908453.2. Определим по таблице t-распределения критическое значение параметра tкр.αИскомое значение tкр.α располагается на пересечении строки соответствующей числу степеней свободы и столбца соответствующего заданному уровню значимости α.В нашем случае число степеней свободы есть n - 2 = 50 - 2 = 48 и α = 0.05 , что соответствует критическому значению критерия tкр.α  = 2.021 (см. табл.