Математические методы и модели в экономике контрольная работа Вариант 9

Контрольная работа по предмету Математические методы и модели в экономике контрольная работа, Вариант 9. Автор методички Т. К. Пазюк ...

Задача1. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая партия – 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включая 4 детали 1-го вида, 3 детали 2-го вида и 2 детали 3- го вида. Лист фанеры каждой партии может раскрываться различными способами.
Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице1. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.
Задача2. Графический метод решения задачи линейного программирования.
Задача4.Транспортная задача.
и т.д.

Задача1. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая партия – 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включая 4 детали 1-го вида, 3 детали 2-го вида и 2 детали 3- го вида. Лист фанеры каждой партии может раскрываться различными способами.
Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице1. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.
Задача2. Графический метод решения задачи линейного программирования.
Задача4.Транспортная задача.
и т.д.

Предварительный этап решения транспортной задачи сводится к определению ее типа, открытой она является или закрытой. Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 30+10+20+10 = 70∑b = 30+10+40+70= 150Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 80 (150—7). Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением Вф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза Сiф=0.Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза , т. е. min Сiф.Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: хiф=Аii-Опорный планВ1=30 тыс.тВ2=10 тыс.тВ3=20 тыс.тВ4=10 тыс.тВфUiА1=30 тыс.т1,2301,61,71,5001,5А2=10 тыс.т1,41101,21,501А3=40 тыс.т1,61,41,2201,40201,2А4=70 тыс.т1,51,201,41,2100601,2Vj1,21,21,21,206. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как 4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки.7. Оптимизируем план, используя метод потенциалов.Сij= Ui+ Vj, где Ui– потенциал строки; Vj– потенциал столбца.Пусть V4=0. пересчитаем все остальные Ui и Vj и зафиксируем их в опорном плане. U4=1,2; Vф =0; V4 =0-1,2=-1,2; Vф=0-1,2=-1,2; U3 =0-(-1,2)=1,2; V3=1,2-1,2=0; U1 =1,5-0=1,5; V1 =1,2-1,5=-0,3; V2 =0; U2 =1-0=1.8. Определяем характеристики свободных клеток: Еij= Сij-(Ui+ Vj)≥0.Е12=1,6-0-1,5=0,1; Е13=1,7-0-1,5=0,2; Е1ф=1,2-1,5=-0,3; Е21=1,4+0,3-1=0,7; Е23=1,2-1=0,2; Е24=1,5-1=0,5; Е2ф=0+1,2-1=0,2; Е31=1,6+0,3-1,2=0,7; Е32=1,4-0-1,2=0,2; Е34=1,4-0-1,2=0,2; Е41=1,5+0,3-1,2=0,5; Е43=1,4-0-1,2=0,2.9. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения.х1ф= min{0; 60}=600 - +010 +60 -10 60Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения.В1=30 тыс.тВ2=10 тыс.тВ3=20 тыс.тВ4=10 тыс.тВфUiА1=30 тыс.т1,2301,61,71,5001,5А2=10 тыс.т1,41101,21,501А3=40 тыс.т1,61,41,2201,40201,2А4=70 тыс.т1,51,201,41,2100601,2Vj1,21,21,21,20Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным.Задача решена. Определим значение целевой функции: F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)Задача5.Универсальный метод транспортной задачи.Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.Представлена грузоподъемность транспорта Р1=10т; Р2=5т; Р3=10т; Р4=15т.АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n1=20; n2=30; n3=30; n4=20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В1= 120 тыс.р.; В2= 50 тыс.р.; В3= 80 тыс.р.; В4= 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:Т=Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.С=Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.Решение1. Определяем мощность Аi=d t S nid– количество рабочих дней (d=25) в месяце;t – количество часов в смене (t=8);S– количество смен (S=2) в суткиni– количество машин i-го типа.А1=25*8*2*20=8000 маш.ч.; А2=25*8*2*30=12000 маш.ч.; А3=12000 маш.ч.; А4=8000 маш.ч.2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λij=Pi/tij.λ=3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: kij= λij/ Сij.K=4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по max kij. Это клетки Х31и Х43.Расчетная матрицаВ1= 120 тыс.р.В2= 50 тыс.р.В3= 80 тыс.р.В4= 100 тыс.р.UiА1=8 тыс.р.3 3,384 2,55 46 2,53А2=12 тыс.р.5 16 0,87 14 1,25124А3=12 тыс.р.2 512 3 3,334 2,53 2,52А4=8 тыс.р.5 3,74 52 582 3,752Аф0 133,30 1500 1400 1850Vj 00005. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с Сiф=0 и λiф=1. произведем расчет фиктивных поставок.6. Проверяем план на вырожденность:5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.Оптимизируем опорный план.Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению: Сij= Ui+Vj λij, откуда Ui= Сij-Vj λij; Vj= (Сij -Ui)/ λijЗададимся потенциалом фиктивной троки: Uф=0. Тогда: V3=V2= V1= V4=0; U4=4-5∙0=4; U3=2-0=2; U2=4-0=4; U1=3-0=3Определяем характеристики свободных клеток по формуле: Еij= Сij-(Ui+ λij Vj);Е12 =4-3-0>0; Е13=5-3-0>0; Е14=6-3-0>0; Е21=5-4-0>0; Е22=6-4>0; Е23=7-4>0; Е32=3-2>0; Е33=4-2>0; Е34=3-2>0; Е41=5-2>0; Е42 =4-2>0; Е44=2-2=0.Так как все Еij≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е44=0)Целевая функция затрат на перевозку:F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)Задача6. Игровая задача.Для обслужевания потрибителей предприятие может выделить три вида трансопрта – А1, А2, А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них. Спрос с свою очередь, может принимать одно из четырех состояний: В1, В2, В3, В4. В матрице 1 элементы aik характерезуют прибыль, которую получает предприятие при использовании транспорта Аi и состоянии спроса Bk (значения aik смотреть таблицу ниже)АikВikВ1В2В3В4А11332А24202А33101Определите оптимальную пропорцую транспортных средств (считая, что доля средств характеризуюется вероятностью использования i-го вида транспорта), предлогая при этом, что состояние спроса является полностью неопределнным. Прибыль должна гарнтироваться при любом состоянии спроса.С этой целью необходимо представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие - спрос) с нулевой суммой, исключить заведомо невыгодные стратегии играков (упростить задачу), найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования, определить оптимальную структуру транспортных средств.РешениеОпределим верхнюю и нижнюю цену игры.217170010010775А=Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.Z=Аналогично для второго игрока (спрос)Приведем данные уравнения к форме без переменной V: (*)Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х1,х2,…,хm) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:Решаем задачу симплексным методом.итерация0базисd1d2d3d4d5d6d7bibi / ad4143100011/3d5321010011d630000101d7221000111ψ-1-1-1000001d31/34/311/30001/31d58/32/30-1/31002/31/4d6300001011/3d75/32/30-1/30012/32/5Ψ-2/31/301/30001/32d301,2510,375-0,125000,25d110,250-0,1250,375000,25d60-0,7500,375-1,125100,25d700,250-0,125-0,625010,25Ψ00,500,250,25000,5Базисное решение Б1 (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2. Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х1=0,5; х2=0; х3=0,5; х4=0; х5=0; х6=0,5; х7=0,5.Задача 7. Задача на экстремум.На плоскости х1,х2 построить допустимую область, определяемую заданной системой ограничений. Найти в этой области оптимальные решения задач максимизации и минимизации целевой функции Z.На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на предприятии, равны 4х12 р.