РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ТРИГОНОМЕТРИИ

Курсовая работа, выполненная в 2009 на кафедре Теории и методики преподавания математики ...

СОДЕРЖАНИЕ 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ 5
1.1. Мышление: его закономерности и условия развития. 5
1.2. Математическое мышление. 14
1.2.1. Общая характеристика развивающегося математического мышления школьников. Роль математического мышления в процессе обучения 14
1.2.2. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся. Конкретное мышление 27
1.3. Развитие мышления при обучении математике. 38
1.3.1. Средства и условия развития мышления. 38
1.4. Развитие логического мышления при обучении математике. 43
1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся. 43
1.4.2. История проблемы развития логического мышления учащихся. 46
1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе. 47
1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся. 49
2. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 51
2.1. История развития тригонометрии 51
2.2. Место тригонометрии в школьном курсе математики 54
2.3. Особенности изучения первых понятий тригонометрии 55
Конспект урока №1 57
Конспект урока №2 64
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 73
Список литературы 74

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствие с основными направлениями реформы общеобразовательной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса математики.
В течение многих лет учащиеся усваивают сложную систему научных сведений, учатся их анализировать, сравнивать, обобщать, применять к решению учебных, практических задач.
Школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать им умственную активность: учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решение теоретических и практических задач.
Развитие умственной активности при усвоение знаний – важный источник формирования личност и ученика.
Тема курсовой работы: Развитие логического мышления на уроках Тригонометрии.
Актуальность курсовой работы заключается в том, что проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе тригонометрии в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваевомом содержании тригонометрического материала.
Объектом исследования является процесс обучения математики в школе.
Предметом – развитие логического мышления учащихся 11 класса на уроках, посвященных изучению темы «Тригонометрия».
Цель данной работы – определение, каким образом происходит развитие логического мышления старшеклассников при изучении вопросов, связанных с тригонометрией .
Для достижения поставленной цели в работе определены и решаются следующие задачи:
1) Выделить и изучить основные виды и формы мышления, основные закономерности и условия его развития.
2) Рассмотреть вопросы развития логического мышления при обучении математике.
3) Выделить особенности развития логического мышления и мышления в целом учеников старшего школьного возраста, рассмотреть проблемы развития логического мышления и пути их решения.
4) Разработать примеры конспектов, демонстрирующие развитие логического мышления учащихся на различных этапах уроков по тригонометрии.

Абстрактное мышление можно подразделить на:
1) аналитическое мышление;
2) логическое мышление;
3) пространственное мышление.
1. Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:
а) аналитический способ доказательства теорем и решения задач (чтобы узнать, надо знать);
б) решение задач методом уравнения;
в) исследование результата решения некоторой задачи и т.п.
В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше математической деятельности, учитель может способствовать развитию у учащихся аналитического мышления.
Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа .
2. Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обучения математике логическое мышление проявляется у учащихся, прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.
3. Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.
С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой – либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.
Интуитивное мышление
«Интуиция (лат. intuito – пристальное всматривание) – особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины. К области интуиции принято относить такие явления, как внезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быстрое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д.»
В современной педагогике специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмотреть Дж. Брунер. «Можно более конкретно охарактеризовать аналитическое и интуитивное мышление. Аналитическое мышление характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий может рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содержания, так и составляющих его операций.
В противоположность аналитическому, интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно имеет тенденцию основываться, прежде всего, на свернутом восприятии всей проблемы сразу. Человек достигает ответа, который может быть правильным или ошибочным, не осознавая при этом тот процесс, посредством которого он получил искомый ответ. Обычно интуитивное мышление основывается на знакомстве с основными знаниями в данной области и с их структурой, и это дает ему возможность осуществляться в виде скачков, быстрых переходов, с пропуском отдельных звеньев; эти особенности требуют проверки выводов аналитическими средствами – индуктивными или дедуктивными».
В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заученный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному результату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором – учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.
Часто преподавание математики строится именно так. Школьник учится не столько понимать математические отношения, сколько просто применять определенные схемы или правила без понимания их значения и связи. После такого неудачного начала обучения учащийся приходит к убеждению, что самое важное – быть «точным», хотя точность относится скорее к вычислениям, чем вообще к математике.
Правда, значение интуиции нельзя переоценивать. Конечно, человек с хорошо развитой способностью к интуитивному мышлению обычно обладает определенными математическими способностями, но сама по себе интуиция не может обеспечить хорошего зна­ния предмета.
Следует ли стимулировать учащихся к догадкам? Как создавать ситуации, требующие напряжения интеллектуальных процессов? Возможно, что имеются определенные условия, в которых догадки желательны и могут в некоторой степени способствовать нормированию интуитивного мышления. Такие догадки нужно заботливо развивать. Однако в школе выдвижение догадки часто тяжело наказывается и как-то ассоциируется с леностью учащихся. Конечно, никому бы не понравилось, если бы наши учащиеся не отмели совершать иных интеллектуальных операций, кроме догадок, как за догадками всегда должны следовать проверка и подтверждение в той мере, в какой это необходимо. Не лучше ли для учащихся строить догадки, чем лишаться дара речи, когда они не могут немедленно дать правильный ответ?
Поэтому в процессе обучения математике следует всячески поощрять у учащихся желание и способность к догадке. При этом следует каждый раз обращать внимание учащихся на то, что каждая гипотеза, выдвинутая при помощи догадки, нуждается в проверке на правдоподобность и в обосновании (если она не будет опровергнуты каким-либо примером).
Интуитивное мышление нередко проявляется в процессе умозаключений по аналогии.
Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики – идеи функции.
Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение и исследование конкретных ситуаций с ярко выраженным «функциональным Содержанием».
В общем случае решение такой задачи содержит в себе три момента:
1. В изучаемом явлении выделяют основные, существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного рода упрощения и допущения.
2. Связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с числами или геометрическими образами, переходят от зависимостей между этими объектами к математическим соотношениям – формулам, таблицам, графикам.
3. Полученные математические соотношения исследуют, пользуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления.
К сожалению, на практике из-за недостатка времени нередко приходится ограничиваться неполными задачами, содержащими только некоторые из перечисленных выше элементов. Какими именно, зависит от возраста учащихся и преследуемых учителем целей.
Нетрудно обнаружить, что разновидности математического мышления являются не чем иным, как специфическими формами - проявления диалектического мышления в процессе изучения математики.
Известно также, что наряду с задачей развития логического мышления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача – задача воспитания логической грамотности. Содержание понятия «логическая грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только соответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей культуры мышления.
Развитие же логического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие теоретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию логического мышления, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования материи. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сделаны самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя.
Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказанных типах мышления как о компонентах, присущих только математическому мышлению, было бы неверно.
Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонентов математического мышления возможно и даже целесообразно, т.е. целенаправленная работа учителя по формированию у школьников функционального, логического, интуитивного и т. д. мышления реализует задачу математического развития учащихся в целом.
Говоря о том, что в процессе обучения математике необходимо развивать абстрактное мышление школьников, мы, в частности, имеем в виду широкое использование методических приемов, аналогичных вышеприведенному.
В состав математического мышления включаются мыслительные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике выступают не столько как методы математической деятельности, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения учащимися математики и развития у них качеств, присущих математическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпирического и научно-теоретического мышления.
Формирование математического мышления школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.
В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных предмета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обучение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышления, которые с точки зрения математического образования считаются второстепенными.
Органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.
Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.
1.3. Развитие мышления при обучении математике.
1.3.1. Средства и условия развития мышления.
Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.
Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, – это процесс.
Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение – «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.
Внутренние закономерности мышления – это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.
Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.
Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождаются процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.
Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, согласно рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предполагает аналитико-синтетическую деятельность относительно решаемой и решенной задачи. Использование вспомогательной задачи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходимое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогательную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обобщенность результата решенной задачи.
Содержанием процесса переноса является анализ через синтез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.
Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концепции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получается?
Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова касаются всех сторон обучения. Это – создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, изменение форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктуется основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, согласно концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую закономерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теоретические обобщения возникают не путем простого сравнения предметов, а с помощью выявления генетической основы всех конкретных проявлений целостной системы.
Основная форма организации изучения материала в этой теории – постановка и решение учебных задач в рамках проблемного подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами концепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение понятия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений анализировать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.
Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения частных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решается для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной задачи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.
Эта ориентировочная основа является основанием для анализа условия, планирования, осуществляемых учеником при решении частных задач, для рефлексивных действий, для развития соответствующих особенностей мышления, которые являются показателями развитого мышления.
Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя исходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вторых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обучение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из затруднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.
Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обучения - в организованном процессе передачи старшим поколением младшему своего опыта.
Cоздание системы знаний, наличие этой системы является и условием, и средством, и показателем развития мышления.
Но знания важны не сами по себе. Важно функционирование знания в мышлении, выработка собственных практических решений под воздействием знаний. Необходимо заботиться не просто о системе знаний, а об интеграции знаний в такую систему, которая соответствует логике решения задач. Гибкость, подвижность, обобщенность, осознанность, систематизированность знаний приобретается и проявляется в применении знаний, в умениях применять знания.
Умение есть овладение «технологией» деятельности, т. е. процессом ее построения, контроля, коррекции и оценки. Многие педагоги и психологи под развитием личности субъекта понимают процесс становления его готовности к самостоятельной организации своей работы в соответствии с возникшими или поставленными задачами различного уровня сложности, в том числе выходящими за рамки ранее усвоенного. А готовность субъекта к самостоятельной деятельности напрямую зависит от сформированности умений.
Если исходить из классификации умений, разделяющей умения на организационные, практические и интеллектуальные, то последние можно разделить на общие и специальные.
В связи с нашим подходом к анализу процесса мышления среди общих интеллектуальных умений выделим умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности, и умения эвристического поиска.
Тогда к первой группе умений можно отнести умения обобщать, сравнивать, анализировать и т. д. Ко второй группе – уме­ние рассуждать доказательно, предъявляя аргументы для подтверждения каждого факта, правильно формулировать определения понятий, подводить под определение, распознавать свойства и признаки, и многое другое. К умениям вести эвристический поиск можно отнести умения видоизменять цель, разбивать задачи на подзадачи, рассматривать один и тот же объект с различных сторон, выделять частные случаи для получения общей закономерности и т.д.
Ко второй группе умений – специальных можно отнести уме­ния по использованию координатного, векторного метода реше­ния задач, умение решать задачи с помощью составления уравне­ний и т.д.
1.4. Развитие логического мышления при обучении математике.
1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся.
Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.