Цилиндрические и конические поверхности

Описаны Цилиндрические и конические поверхности, и их характеристики ...

СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………..….3
1. Цилиндрические поверхности………...……………………………….4
1.1 Теорема о цилиндрических поверхностях…………………..…….….….4
1.2Типы цилиндров ………………………………………………………..…..5
2. Конические поверхности.Конические сечения……………………………..7
2.1Конические поверхности…….…………….…………………….…………7
2.2.Круговой конус……….…………………..……………………………......9
2.3.Сечения различными плоскостями…………………………………..….10
3.Практические задания…………………….………………………………….13
Заключение………………………………………………………………….…..16Список использованных источников…………………………………………...17

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.
Традиционно считается, что родоначальником геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объемов тел и превратило его в строгую научную дисциплину. Античные геометры составили первые систематические и доказательные труды по геометрии.
Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в ее истории стало открытие Декартом в XVIII координатного метода.
Точкам сопоставляются наборы числа, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнением.
Одними из базовых разделов аналитиче ской геометрии являются «цилиндрические и конические поверхности», обеспечивающая подготовку учащихся, учителя в школе, преподавателя в вузе.
Курсовая включает два раздела, составляющие единое целое в формировании знаний людей. Это : цилиндрическая и коническая поверхность. цилиндрическая поверхность-первый и основной раздел, с которого начинается изучение поверхностей второго порядка.
Цель курсовой работы - научить студентов самостоятельно и творчески работать, ознакомиться с цилиндрическими и коническими поверхностями более глубже, это позволит усвоить материал аналитической геометрии. Привить научные подходы и навыки исследовательской деятельности путем анализа и обобщения необходимой информации по выбранной теме.
Задачи курсовой работы:
1)систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний и практических навыков по специальности геометрия, уметь применять их на практике;
2)формирование умения ведения самостоятельной научной работы и овладение современной методикой исследования, постановкой задач, планированием и проведением научного и педагогического эксперимента

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих поверхностей второго порядка.
2. Конические поверхности. Конические сечения
2.1.Конические поверхности. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке  называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М, отличной от точки , эта поверхность содержит прямую M.
Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса. Отметим, что из определения конуса вовсе не следует, что он имеет единственную вершину. Например, плоскость является конической поверхностью, каждая точка которой может быть принята в качестве вершины.
Коническую поверхность можно получить следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию g и точку , не лежащую на линии g. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку  и через некоторую точку линии g, является конической поверхностью с вершиной . В этом случае линия g называется направляющей. На рисунке 7, б изображена коническая поверхность Ф с вершиной в начале прямоугольной системы координат Oijk , направляющей которой служит
Рис. 7
эллипс g:
+=1 z=c (1)
Найдем уравнение этой конической поверхности. Пусть точка М(x,y,z) отличная от 0, принадлежит конусу Ф. Тогда прямая ОМ пересечет направляющую g в некоторой точке N() . Так как ОМ 0 и векторы ON и OM коллинеарные, то найдется вещественное число t,что ON=tOM, или в координатах:
=, =, c=.
Отсюда, учитывая, что z  0, находим:
=, =. Подставив полученные выражения  в первое из равенств (1), после очевидных преобразований найдем:
+-=0 (2)
Заметим, что этому уравнению удовлетворяет и координаты точки О(0,0,0) - вершины конуса. Таким образом, координаты любой точки конуса Ф удовлетворяют уравнению (2).
Возьмем теперь какую-нибудь точку  () , не принадлежащую конусу Ф. Точка не совпадает с точкой О, поэтому если =0, то  0 или  0. Отсюда следует, что координаты точки  не удовлетворяют уравнению (2). Рассмотрим случай, когда  0. Прямая  пересечет плоскость z=с в некоторой точке (). Как и выше, мы находим
=, = (3)
По условию  не принадлежит Ф, и поэтому точка  не лежит на эллипсе g. Отсюда следует, что числа, , с не удовлетворяют системе (1), т.е.
+ 1. Подставляю сюда вместо , , их выражения по формулам (3), получим:
+-0.
Итак, если точка  не принадлежит конусу Ф, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2).
Я доказала, что уравнение (2) и есть уравнение конуса Ф. Это уравнение есть уравнение второй степени, поэтому конус Ф называется конусом второго порядка. Уравнение (2) называется каноническим уравнением поверхности второго порядка.
2.2.Круговой конус
В случае, когда направляющая (1) конической поверхности второго порядка является окружностью, т.е. когда а=b, уравнение (2) принимает вид:
+-/c=0.
Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом (рисунок 8). Как легко заметить, эта поверхность образована при вращении вокруг оси Oz прямой, лежащей в плоскости Oxz и заданной в системе координат Oik уравнением x=z. Все образующие круговой конической поверхности составляют один и тот же угол  с плоскостью Оху, где . (рисунок 8).
2.3.Сечения различными плоскостями
Рассмотрим сечение круговой конической поверхности (4) различными плоскостями. Возможны три случая.
1) Плоскость сечения параллельна координатной плоскости Оху или совпадает с ней. В этом случае она имеет уравнение z=h, поэтому по теореме о сечениях проекция сечения на плоскость Оxy определяется уравнением +/=0 или +=
Если h 0, то этим уравнением определяется окружность радиуса r с центром в начале координат, а если h=0 - начало координат (рисунок 8). Таким образом, любая плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает круговой конус (4) по окружности.
2) Плоскость сечения q0 проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол, где 0< <180. Из наглядно геометрических соображений ясно, что возможны три случая:
А) если  <0, то плоскость q0, кроме вершины, не имеет других общих точек с круговым конусом (рисунок 9, а)
б) если =0, то плоскость q0 и круговой конус имеют одну и только одну общую образующую. В этом случае говорят, что плоскость q0 касается конуса по образующей (рисунок 9, б)
в) если >0, то плоскость q0 и круговой конус имеют две общие образующие. (рисунок 9, в)
Итак, плоскость q не проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол , где 0< <180.Можно доказать, что в этом случае кривая g пересечения плоскости q с круговым конусом есть эллипс, парабола или гипербола.
Итак, плоскость q, проходящая через вершину конуса, либо не имеет ни одной общей точки с круговым конусом, кроме вершины, либо касается конуса, либо пересекает конус по двум образующим.
3) Плоскость сечения q не проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол а, где 0<а. Можно доказать, что в этом случае кривая g пересечения плоскости q с круговым конусом есть эллипс, парабола или гипербола (рис. 9, а, б и в).
Для доказательства этого утверждения впишем в конус сферу так, чтобы они касалась плоскости а. Пусть F - точка касания сферы с плоскостью о, а' - плос­кость, в которой лежит окружность касания сферы 10, a), a d прямая, по которой пересекаются плоскости а и а'. Так как плоскости а' и Оху параллельны, то угол между плоскостями она' равен а.
Возьмем на кривой у произвольную точку М и обозначим через М' точку перс сечения образующей ОМ с плоскостью о'. Пусть N - основание перпендикуляра, проведенного из точки М к прямой d, а Н - основание перпендикуляра, проведен­ного из точки М к плоскости а' (см. рис. 10, б). Очевидно,, поэтому MH/MM’=, MH/MN= Отсюда получаем: MM’/MN=. Но отрезки MF и MM’ равны (рисунок 10,а) как отрезки касательных к одной сфере из точки М. Таким образом MF/MN=.
Итак доказано, что отношение расстояния от каждой точки М кривой g до точки F к расстоянию от нее до прямой d равно , т.е. постоянно и не зависит от выбора точки М на кривой g.
Коническим сечением называется линия, по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью, не проходящей через его вершину. Таким образом, коническими сечениями являются эллипс, гипербола и парабола.
3.Практические задания.
ЗАДАЧА 1. Исследовать поверхность S, которая в прямоуголь­ной декартовой системе координат определяется уравнением
х2 + у2 + z2 - 9 = 0.
Решение. Если М (х, у, z) - произвольная точка, простран­ства, заданная в прямоугольной декартовой системе своими коорди­натами, то согласно теореме
ОМ2= х2 + у2 + z2
где О - начало координат. Таким образом, точка М будет принадле­жать поверхности S тогда и только тогда, когда ОМ2 - 9 = 0 или ОМ == 3. Мы видим, что все точки поверхности S отстоят от начала координат на расстоянии r = 3.
Обратно, если некоторая точка М пространства удалена от начала координат на расстояние r = 3, то для этой точки согласно теореме ОМ2= х2 + у2 + z2 имеем: = 3 или х2 + у2 + z2 = 9, т. е. эта точка принадлежит поверхности. Таким образом, данным уравнением опре­деляется сфера с центром в начале координат и радиусом, рав­ным трем