Конусы в упорядоченных векторных пространствах

Данная курсовая работа посвящена изучению конусов в упорядоченных векторных пространствах, понятиям, связанным с ними. В работе рассматриваются различные виды конусов. В целом изучается роль конусов в выпуклом и функциональном анализах. ...

1) Введение.
2) Основная часть.
1. Упорядоченные векторные пространства.
-Определение конуса
-Предпорядок
-Упорядочивающий или острый конус
2. Выпуклые конусы
3. Касательные конусы
-Определение конуса
-Нижний конус
-Конус Кларка
-Асимптотический конус
-Касательный верхний конус (контингентный)
-Касательный верхний асимптотический
3) Заключение.
4) Список использованной литературы.

Данная курсовая работа посвящена изучению конусов в упорядоченных векторных пространствах, понятиям, связанным с ними. В работе рассматриваются различные виды конусов. В целом изучается роль конусов в выпуклом и функциональном анализах.

Имеем(p, x) ≤(p, a0) для всех x ∈ K. (т.1)Докажем, что (p, a0) = 0. Доказывать будем методом от противного.Пусть (p, a0) < 0. Возьмем точку z ∈ K и последовательность αj > 0, αj → 0 при j → ∞. Так как точки αjz ∈ K, то для всех j справедливы неравенства (p, αjz) ≤ (p, a0). Переходя в последнем неравенстве к пределу при j → ∞, получаем (p, a0) > 0, что противоречит предположению (p, a0) < 0.Пусть (p,a0) > 0. Если бы для всех x ∈ K выполнялось неравенство (p,x) < 0, имело бы место и неравенство (p,a0) ≤ 0. Значит, существует точка a ∈ K такая, что (p,a) > 0.Рассмотрим последовательность αj→ ∞ при j → ∞. Тогда αja ∈ K и поэтому для всех j (p, αja) ≤ (p, a0). Так как limj⟶∞(p, αja) = ∞, то при достаточно больших j выполняется неравенство (p, αj a) > (p, a0), что противоречит (т.1). Теорема доказана.3.Касательные конусыОпределение 3.1. В линейном пространстве Е конусом называется всякое непустое множество К Е, у которого для каждого элемента х К справедливо включение λх К при всех λ > 0.В частности, если конус К является выпуклым множеством, то его называют выпуклым конусом, причем в этом случае для любых точек х, у К и чисел λ > 0, µ > 0 справедливо включение λх +µу К, т. е. справедливы равенства К + К = К и К ∸ К = К (последнее равенство докажем в лемме 3.4).Далее в этом параграфе считаем, что мы рассматриваем множества в банаховом пространстве Е.Простейший пример выпуклого конуса, связанного с множеством А, дает коническая оболочка множества А, т.е. множество видаcon А = {х Е| х = i=1mλixi, λi≥0, xi∈A, mN}Лемма 3.1. Коническая оболочка множества А удовлетворяет равенствуconA=μ≥0μ co AДоказательство. Из определений конической и выпуклой оболочек сразу следует включениеμ co A C con A, для любого μ≥0Пусть теперь х con А. По определению это значит, что существуют число m N, числа λi≥0 и точки xi∈ А, где i∈1,m такие, что i=1mλixi. Определим число μ0=i=1mλi . Если μi=0, то х = 0, т.е. μ≥0μ co A.Пусть μ0 > 0. Определим числа μi=λiμ0 и точку у = i=1mμixi. Очевидно, что все μi≥0 и i=1mμi=1, откуда получаем, что y ∈co A.Кроме того, имеем, что x=μ0y, т.е. x∈μ≥0μ co A. Отметим следующее простое свойство конической оболочки. Лемма 3.2. Пусть выпуклые множества Аk С Е, где k ∈1,m, таковы, что 0∈k=1mAk.Тогда справедливо равенство k=1mconAk= con (k=1mAk)Доказательство. Пусть x con (k=1mAk)тогда по лемме 3.1 существуют число у > 0 и точка y∈k=1mAk такие, чтоx=μу. Так как для любого к имеем у ∈Ak, то отсюда и x∈con Ak, т.е. x ∈k=1mconAk.Пусть теперь x ∈k=1mconAk . Это значит, что существуют числа μk>0 и точки yk∈Ak такие, что х =μkyk , при всех k=1,m, т.е.1μkx∈Ak. Определим число μ0=maxk∈1,mμk. Тогда в силу выпуклости множества Ak для любого числа λ[0,1) имеемλμkx = (1-λ)0+λ1μkx∈Ak .Выбирая λ =μkμ0 , получаем включение 1μ0x. В итоге 1μ0x∈ k=1mAk, т.е. x con (k=1mAk).Отметим еще одно очевидное свойство выпуклых конусов.Лемма 3.3. Пусть K1,K2 — выпуклые конусы из линейного пространства Е. Тогда справедливо равенствоK1+К2 = со (K1U К2).Доказательство очевидно.Напомним, что в банаховом пространстве Е расстояние от точки х Е до множества A C Е мы определяем по формуле σ(х, А) = inf {║x-y║|y ∈A}.Большой интерес к конусам связан с понятием касательного конуса, т. е. конуса, образованного из касательных векторов.Вектор v Е называется касательным ко множеству А Е в точке а ∈ A, если существуют число ε > 0 и отображение r: [0,ε]⟶Е такие, что справедливо включение а + λv + r (λ) ∈A при всех λ(0,ε], причем limλ⟶0║r(λ)║λ=0.Нетрудно проверить, что совокупность всех касательных векторов к множеству А в некоторой точке а совпадает со следующим конусом.Определение 3.2. Нижним касательным конусом ко множеству А Е в точке а ∈A называется множество видаTH(А;а) = {v Е| limλ⟶0σ(v, λ-1(A-a))=0} (3.2.)Приведенное определение нижнего касательного конуса можно переписать в более естественном виде.Предложение 3.1. Вектор v принадлежит конусу TH(А;а) тогда и только тогда, когда для любой последовательности положительных чисел {λk}, сходящейся к нулю, найдется последовательность точек {vk} сходящаяся к точке v и такая, что справедливо включениеa+λkvkϵA для любого k∈N. Доказательство следует из определения.В случае, когда множество А является выпуклым множеством, легко показать, что для точки а ∈A конус TH(А;а) является выпуклым замкнутым множеством, и справедливо равенство (доказательство которого будет содержаться далее в доказательстве предложения 2.6)Th(А; а) = con (А — а).Для выпуклых множеств A1 и A2таких, что a ∈A1С A2, очевидно, справедливо включение TH(A1; а) С TH(A2; а).Таким образом, для выпуклых множеств понятие касательного конуса определяется достаточно просто и однозначно.В случае, когда множество А не является выпуклым, для него кроме понятий конической оболочки множества А — а и нижнего касательного конуса TH(А;а) известны другие понятия конусов, также называемых касательными.Определение 3.3. Верхним касательным конусом (иначе контингентным конусом ко множеству A C E точке а ∈A называется множество видаТВ(А; а) = {v Е |limλ⟶+0infσv, λ-1A-a=0} .(3.3)Предложение 3.2. Вектор v принадлежит конусу Тв(А;а) тогда и только тогда, когда существуют последовательность положительных чисел {λk}, сходящаяся к нулю, и последовательность точек {vk} С Е, сходящаяся к точке v, такие, что справедливовключениеa+λkvk∈A для любого k ∈N.Определение 3.4. Касательным конусом Кларка ко множеству А С Е в точке а ∈A называется множество видаTCA;a={v∈E׀ limλ⟶±0, x⟶aσv, λ-1A-x=0} (3.4.)где стремление х ⟶ а совершается по множеству А, т. е. х А.Предложение 3.3. Вектор v принадлежит конусу TC(А; а) тогда и только тогда, когда для любой последовательности положительных чисел {λk}, сходящейся к нулю, и любой последовательности точек {хк} С А, сходящейся к точке а, существует последовательность точек {vk} С Е, сходящаяся к точке и, такая, что справедливо включениеxk+λkvk∈A для любого k∈N.Легко убедиться в том, что каждый из полученных выше конусов является замкнутым множеством, причем, очевидно, справедливы включенияТС(А; а) С ТН(Л; а) С ТВ(А; а) С con(A-a) .(3.5)Легко показать, что, если множество А выпукло, то имеет место равенство всех указанных конусов , но если множество А не выпукло, то все касательные конусы могут быть различными (покажем далее на примере). Если а А, то очевидно, что Тс(А; а) = Е.Предложение 3.4. Касательный конус Кларка Тс(А;а) является выпуклым замкнутым конусом.Доказательство. Пусть точки v и и принадлежат конусу Тс (А; а). Для доказательства предложения достаточно доказать, что v + u принадлежат этому же конусу. В силу предложения 3.3 рассмотрим любую последовательность положительных чисел {λk}, сходящуюся к нулю, и любую последовательность точек {хк} С А, сходящуюся к точке а. Требуется показать, что существует последовательность точек {wk}, сходящаяся к v + и и такая, что справедливо включениеxk+λkwk∈A для любого k∈N(3.6)Так как v Тс(А;a), то существует последовательность {vk}, сходящаяся к v и такая, что справедливо включение xk+λkwk∈A для любого k∈N. В свою очередь так как последовательность ук = хк + λkvk также сходится к точке а, а и Тс(А; а), то существует последовательность {uk}, сходящаяся к u такая, что справедливо включение ук + λkvk∈A. Отсюда получаем включение (3.6), в котором wk = vk ик. Замечание 3.1. Полученное выше свойство выпуклости касательного конуса Кларка очень удобно, так как приближение невыпуклого множества в окрестности некоторой его точки выпуклым касательным конусом позволяет использовать все преимущества выпуклого анализа для невыпуклых множеств. Остальные касательные конусы могут оказаться невыпуклыми. Однако касательный конус Кларка может представлять собой очень малую часть верхнего (и даже нижнего) касательного конуса и тем самым слабо отражать свойства исходного множества.Пример 3.1. Рассмотрим множество А: {(х,у) R2 | у = |x|, х (—, +)}. Очевидно, что справедливы равенства Тн(A;0) = TH(A;0) = A и Tc(A; 0) = {0}.Мы укажем простой алгоритм, по которому во всяком конусе можно выбрать выпуклый под конус, отличный в общем случае от касательного конуса Кларка. Это позволит построить другие классы выпуклых касательных конусов.Лемма 3.4. Для всякого конуса К множество К К является его выпуклым подконусом. В случае, когда сам конус К является выпуклым, справедливо равенство К =К ∸ К.Доказательство. Выберем любую точку х К∸К. По определению геометрической разности это значит, что х + К C К. Так как 0 ∈K, то получаем, что x∈K, т.е. К ∸ К C К. Кроме того, для любого числа λ > 0 получаем λx+λK C λK, откуда в силу равенства λK=K получаем, что λx ∈K∸K т. е. множество является конусом. Докажем его выпуклость. Для любых точек x,y ∈K∸K имеем включения x+K C K и у + K C K, откуда получаем x+y+ K= x+ (y+K) C x+K C K, т.е. x+y ∈K∸KПусть теперь конус K является выпуклым. Это значит, что для любых x,y∈K справедливо включение x+y ∈K, т.е. x+K C K , откуда следует, что x ∈K∸K т.е. равенство K=K∸ K.Лемма 3.5.