Математическое моделирование поведения монополиста

Экономико-математическое моделирование является перспективным направлением развития науки на стыке экономики и математики, перед которым раскрывается большое будущее.
В сфере теории производства изучению производственной функции отводится основная роль. Изучение данного раздела позволит оптимизировать процессы производства фирмы, предприятия; рассчитать основные производственные характеристики. В результате можно получить ответ на вопрос: какую величину выпуска необходимо производить при различных технически эффективных способах производства?
Ответ на вопрос о характере, величине издержек при данном выпуске содержится в третьем разделе – теории издержек.
В рамках курсовой работы проведено исследование основных понятий экономико-математического моделирования, изучены особенности построения ...

Введение 3
I. Понятие экономико-математического моделирования 6
1.1 Экономическое моделирование и его этапы 6
1.2 Моделирование производственной деятельности 11
1.3 Производственная функция 12
1.4 Моделирование оптимальной цены товаров фирмы-монополиста 14
II. Современное состояние рынка программного обеспечения. Рынок программного обеспечения – рынок инноваций 17
2.1 Рынок программного обеспечения. Рынок операционных систем 17
2.2 Современные подходы к моделированию рынка программного обеспечения 18
III. Экономико-математическое моделирование поведения монополиста на примере рынка программного обеспечения 22
3.1 Основные положения модели 22
3.2 Моделирование монополии единственного производителя только коммерческого программного обеспечения 26
Заключение 29
Источники и литература 30
 

Деятельность экономиста в современных условиях хозяйствования тесно связана с вопросами экономической теории и математической экономикой. Реальный объект моделирования в экономике по своей сложности превосходит многие объекты физической природы. Вместе с тем проверка адекватности экономико-математических моделей с помощью единственного критерия истины – практики затруднена, поскольку практический эксперимент зачастую связан с колоссальными затратами и поэтому не всегда возможен.
Реальные экономические процессы, протекающие в современном промышленном производстве, столь сложны и многогранны, что для их изучения необходимо привлекать целый комплекс наук – от международной экономики до кибернетики. Математическое моделирование микроэкономических явлений – мощное средство исследования.
Реальны е явления (процессы, объекты) сложны, вот почему для исследований используются их модели. Модель это упрощенная копия явления, отражающая его наиболее существенные стороны. Создание моделей называется моделированием. Моделирование широко используется во всех отраслях человеческого знания, в том числе и в экономике.
В процессе выбора решения с помощью вычислительной техники на основе оценки его нескольких вариантов и у хозяйственника, и у исследователя возникают следующие вопросы. Просмотрены ли все интересные варианты решений? Какие соображения положены в основу оценки последствий возможных вариантов решения? Как сформулировать показатели, характеризующие эффективность функционирования системы, относительно которой принимаются решения? Как выбрать наиболее подходящее решение?
Для того чтобы ответить на эти вопросы, анализируемую проблему необходимо описать точно. Языком, наиболее подходящим для этого, является язык математики. Описание изучаемой системы на языке математики – это и есть ее математическая модель. Кроме средств описания, математика предоставляет средства анализа модели, которые позволяют исследовать ее свойства и выбрать наиболее подходящее решение.
Таким образом, процесс внедрения в экономическую практику вычислительной техники как средства обработки информации неизбежно приводит к принципиально новому этапу – построению математических моделей экономических объектов и их анализу.
В экономическом знании очень важное место занимает математическое моделирование, так как создание других видов моделей в реальной экономике часто является нецелесообразным. Экономико-математическое моделирование представляет собой формализацию модели экономического явления, т.е. перевод ее на язык математических соотношений.
Сформулированные экономико-математические модели позволяют изучать и анализировать экономические явления, а для некоторых явлений выполнять прогноз их развития на будущее.
В последнее время существенно расширилось применение математических методов в экономическом и финансовом анализе, принятии решений, управлении производством. В связи с этим возросла роль математических дисциплин для подготовки специалистов по экономическим специальностям,возникает потребность в исследовании, дающем представление о содержательном смысле экономико-математических моделей и о возможностях их использования для принятия экономических решений, чем обусловлена высокая актуальность проводимого исследования.
Целью настоящейкурсовой работы выступало, во-первых, изучение основных понятий экономико-математического моделирования; во-вторых, во вторых, особенности экономического анализа поведения монополиста с использованием этих моделей. В качестве примера и практической базы для изучения данного вопроса был избран рынок программного обеспечения.
Чем обоснован этот выбор? Во-первых, рынок программного обеспечения все еще относительно молод, и обладает изрядной новизной, а, стало быть, недостаточной степенью освещенности в экономической литературе.
Во-вторых, эффективность и конкурентоспособность экономики страны, ее независимость от экономического положения в других странах существенно зависят от развития инновационных отраслей и рынка интеллектуальной собственности. В частности, одной из важнейших задач, поставленных в Стратегии развития информационного общества в Российской Федерации, является развитие экономики России на основе использования информационных и телекоммуникационных технологий. Вот почему этот рынок вызвал определенный интерес автора данной работы.
Кроме того, на рынке операционных систем естественным образом сформировалась монополия компании Microsoftи операционных систем класса Windows на рынке коммерческих продуктов – с одной стороны, с другой стороны, на рынке некоммерческого программного обеспечения безраздельно царит система Linux, что еще больше повышает привлекательность выбраннойсферы исследования.
Соответственно, в рамках поставленной цели были выделены следующие задачи:
• дать определение математического моделирования и основных понятий, с ним связанных;
• изучить современное состояние рынка программного обеспечения;
• исследовать особенности моделирования поведения монополиста на примере рынка программного обеспечения.
 

Поэтому в первую очередь производятся верификация (проверка правильности структуры) и валидация (проверка соответствия данных, полученных на основе модели, реальному процессу) модели по тем свойствам, которые были выбраны в качестве существенных.В случае отрицательного ответа требуется вернуться на несколько этапов назад и уточнить или изменить модель. В случае положительного ответа полученные результаты интерпретируются с экономической точки зрения и используются для анализа и прогнозирования экономических явлений и процессов и управления ими.Четвертый этап состоит в совершенствовании модели вследствие накопления новых наблюдений и дальнейшего развития теории.Для перечисленных этапов экономико-математического моделирования характерны прямая и обратная взаимосвязи этапов. Прямая взаимосвязь этапов при построении экономико-математической модели заключается в последовательном переходе от этапа к этапу.Обратная взаимосвязь этапов состоит в возврате к предыдущим этапам при выполнении одного из промежуточных. Наиболее часто необходимость возврата к предыдущим этапам возникает:1)при формализации модели, если выясняется, что исходная постановка задачи или слишком сложна или противоречива;2)подготовке исходной информации, если выясняется, что необходимая информация или отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики;3)анализе численных результатов, если выясняется, что полученные результаты не соответствуют реальному процессу.Во всех перечисленных случаях требуется корректировка математической модели, а в некоторых случаях - уточнение постановки исходной задачи.По своему определению любая экономико-математическая модель не полна, так как учитывает только наиболее существенные факторы функционирования реального экономического объекта. Влияние каждого из неучтенных факторов предполагается малым, но совокупность всех неучтенных факторов может определять существенное отклонение в поведении объекта.В этом случае также предполагается, что совокупность всех факторов, не учитываемых явно в экономико-математической модели, оказывает на объект относительно малое результирующее воздействие с точки зрения решаемой экономической проблемы.Состав учитываемых в модели факторов, тип и структура экономикоматематической модели могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.1.2 Моделирование производственной деятельностиОсновная цель производственной сферы экономики - обеспечение общества предметами потребления (товарами и услугами). Производители (предприятия, фирмы, отрасли и т.п.) в определенных условиях стремятся вести свою деятельность с наибольшей выгодой для себя. Поэтому представляет интерес создание математических моделей производства и их исследование с точки зрения максимизации прибыли.Построение моделей проведем на основе следующих предположений:1.Производство – это целостная неструктурированная единица, на вход которой поступают ресурсы, а на выходе получается результат функционирования предприятия в форме выпуска некоторого совокупного продукта.2.Ресурсы рассматриваются как аргументы, а объем выпуска - как некоторая функция, которую в дальнейшем будем называть производственной функцией.3.Производитель работает в стабильных условиях, поэтому его поведение определяется стремлением к максимизации прибыли при использовании существующей технологии производства.4.Структура предприятия постоянна, то есть в рассматриваемый момент ассортимент выпускаемой продукции не меняется.5.В случае построения модели на микроэкономическом уровне предполагается, что производитель действует в условиях совершенной конкуренции.Математическое моделирование деятельности производителя имеет две основных составляющих:1)моделирование производственных функций;2)решение задачи о максимизации прибыли от производственной деятельности.Задача о максимизации прибыли не является единственной при моделировании производственной деятельности. Помимо нее рассматриваются следующие задачи:1)о моделировании сбалансированного производства;2)о прогнозировании роста выпуска;3)о стратегическом планировании деятельности предприятия;4)о моделировании деятельности производителя в кризисных ситуациях.1.3 Производственная функцияПроизводственной функцией называют зависимость результата производственной деятельности от обусловивших этот результат факторов. Независимые переменные принимают значения объемов используемых факторов производства (ресурсов); зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции.Будем предполагать, что предприятие выпускает один или несколько видов продукции, общий объем которой будем называть совокупным выпуском (или просто выпуском) и обозначать переменной О. Объем совокупного выпуска может измеряться как в натуральных, так и в стоимостных показателях.В качестве факторов производства будем использовать настоящий труд L (среднее число занятых за промежуток времени или количество отработанных за этот промежуток человеко-часов) и капитал К (основные производственные фонды или прошлый труд в виде средств труда). Как правило, таким промежутком времени является год.В литературе ([4, гл. 6], [6, гл. 3]) встречается использование третьего фактора – предметов труда М (затраченное за промежуток времени топливо, сырье, материалы, комплектующие и т.п.). В силу того, что исследование функций двух и трех переменных принципиально одинаково, и при этом функции двух переменных допускают наглядную геометрическую интерпретацию, в настоящей работе изучаются производственные функции двух переменных Q = F(K, L) (двухфакторные производственные функции).Производственные функции вида Q = F(K, L) реализуют схему «затраты-выпуск» и используются в различных областях экономики. На микроэкономическом уровне в качестве производителя может выступать фирма, отрасль, межотраслевой комплекс. На макроэкономическом уровне в роли производителя выступает регион или страна в целом.В обоих случаях производственные функции описывают взаимосвязи между величиной ресурсов, затраченных за некоторый промежуток времени (год) и итоговым выпуском продукции за этот же промежуток и используются для решения задач анализа, планирования и прогнозирования развития производства.Производственную функцию называют статической, если фактор времени не входит в нее явно, а параметры функции считаются неизменными в течение рассматриваемого промежутка времени. Производственную функцию называют динамической, если время t входит в нее в качестве фактора, влияющего на объем выпуска (например, учитывается научно-технический прогресс) и/или параметры производственной функции зависят явно от времени. В настоящей теме используются статические производственные функции.Область определения производственной функции – первая координатная четверть (множество 1.4 Моделирование оптимальной цены товаров фирмы-монополистаФирма-монополист, в отличие от фирмы, работающей на конкурентном рынке, может сама устанавливать цену выпускаемых товаров. Выручка R(у), издержки C(y) и прибыль такой фирмы PR(y) зависят от объема произведенной и реализованной продукции. Задача максимизации прибыли, при отсутствии каких-либо ограничений по деятельности производителя, принимает вид:Согласно математическому анализу, экстремум следует искать среди стационарных точек, а именно, тех, для которых выполняется условие:PR’(y) = R’(у)-С’(у) = 0,и, следовательно, равенства предельного дохода и предельных издержекR’(y) = С’(у). Выполним преобразования: – оптимальная цена продукции.Фирма сама устанавливает цену выпускаемой продукции, а затем определяет объем производства, обеспечивающий максимум прибыли.Пример SEQ Формула \* ARABIC 1. Себестоимость единицы продукции составляет 10руб. эластичность сбыта по цене равна -1,25. Определить оптимальную цену одной единицы товара, выручку, издержки и прибыль фирмы.Решение. Себестоимость единицы продукции С’(у) = 10руб. Эластичность сбыта по цене равна Ер0 (y) = -1,25 (с ростом цены товара его сбыт падает). – оптимальная цена продукции;R*(y) = р*0 у = 50y – выручка фирмы;С*(у) = 10у – затраты фирмы;PR*(y) = R*(у)-С*(у) = 40у –прибыль фирмы.Модель задачи максимизации прибыли фирмы-монополиста при отсутствии каких-либо ограничений по деятельности производителя, с учетом вычета акцизного налога, принимает вид:t – ставка акциза, измеряется в денежных единицах с единицы проданной продукции.Согласно математическому анализу, экстремум следует искать среди стационарных точек, а именно, тех, для которых выполняется условие:PR’y(y,t)= R’y(y,t)-C’y(y)= 0.Выполним преобразования: – оптимальная цена продукции.Фирма сама устанавливает цену выпускаемой продукции, а затем определяет объем производства, обеспечивающий максимум прибыли. Причем ставка акциза влияет на оптимальную цену продукции фирмы-монополиста.Пример SEQ Формула \* ARABIC 2. Себестоимость единицы продукции составляет 10руб. эластичность сбыта по цене равна –1,25. Ставка акциза на единицу продукции составляет 42 руб. Определить оптимальную цену одной единицы товара, выручку, издержки и прибыль фирмы.Решение. Себестоимость единицы продукции С’(у) = 10руб. Эластичность сбыта по цене равна Ep0(y) = -1,25 (с ростом цены товара его сбыт падает). – оптимальная цена продукции;R*(у) = (p*0 – t)y = 218у – выручка фирмы;С*(у) = 10y – затраты фирмы;PR*(y) = R*(y)-C*(y) = 208y – прибыль фирмы.II.Современное состояние рынка программного обеспечения. Рынок программного обеспечения – рынок инноваций2.1 Рынок программного обеспечения. Рынок операционных системЭффективность и конкурентоспособность экономики страны, ее независимость от экономического положения в других странах существенно зависят от развития инновационных отраслей и рынка интеллектуальной собственности.В частности, одной из важнейших задач, поставленных в Стратегии развития информационного общества в Российской Федерации, является развитие экономики России на основе использования информационных и телекоммуникационных технологий.Конкуренция на рынках интеллектуальной собственности существенно отличается от конкуренции на рынках традиционных товаров. Связано это с особенностями знаний как товара, прежде всего, с отсутствием свойства редкости.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 1. Схема современного рынка операционных систем.Наиболее ярким примером рынка интеллектуальной собственности, демонстрирующим его отличия от традиционных рынков, в современной экономике является рынок программного обеспечения: например, в сегменте операционных систем еще 15 лет назад производители коммерческих продуктов занимали монопольное положение, поскольку пользователи не доверяли некоммерческим аналогам, не гарантирующим качество, надежность и безопасность; сейчас в сегменте серверных операционных систем примерно по 40% занимают коммерческий программный продукт Microsoft Windows и некоммерческий программный продукт Linux.На REF _Ref380581449 \h Рис. 1 представлена схема современного рынка операционных систем, а на рис. В.2 – структура потребительского спроса на этом рынке.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 2. Структура потребительского спроса на современном рынке операционных систем.2.2 Современные подходы к моделированию рынка программного обеспеченияЗа последние полвека накоплен достаточно большой опыт экономико-математического моделирования процесса распространения инновационных продуктов на рынке. В теории инноваций иод, диффузией инноваций понимается решениеN = N(t)задачи Коши для дифференциального уравнения с начальным условиемЗдесьt– время;N(t)– объем распространения инновации к моменту t (который определяется обычно количеством проданных экземпляров или количеством действующих потребителей инновационного продукта);f(t,N(t)) – функция, определяющая форму диффузионной кривой и отражающая определенные предположения о природе процесса распространения инновации.При этом предполагается обычно, что функция N(t) непрерывна и дифференцируема при всех неотрицательных t, а функция f(t, N(t)) унимодальна.Базовая модель диффузии инноваций имеет следующий вид: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)В этой модели предполагается, что общее число потенциальных потребителей инновации М неизменно во времени, а скорость распространения инновации dN(t)/dt в каждый момент времени пропорциональна объему потенциального рынка М – N(t).По мере увеличения общего числа действующих потребителей инновационного продукта N(t) и сооветственного уменьшения числа потенциальных потребителей М – N(t) скорость распространения инновации снижается.Функция g(t,N(t)) в модели GOTOBUTTON ZEqnNum848838 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum848838 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (1) называется в теории инноваций скоростью адаптации, обычно интерпретируется как вероятность того, что потенциальный потребитель инновационного продукта приобретет его в момент t, и считается линейной функцией N(t): MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)Подстановка скорости адаптации GOTOBUTTON ZEqnNum274181 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum274181 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (2) в базовую модель диффузии инноваций GOTOBUTTON ZEqnNum848838 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum848838 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (1) дает следующее обыкновенное дифференциальное уравнение фундаментальной модели диффузии инноваций: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)Параметры а и b в фундаментальной модели диффузии инноваций GOTOBUTTON ZEqnNum759252 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum759252 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3) отражают соответственно степень внешних и внутренних воздействий на скорость адаптации и, следовательно, на скорость распространения инновации.Если речь идет о базисных инновациях, то одной из их основных особенностей является распространение в отсутствие конкуренции, поскольку никто из потенциальных конкурентов еще не овладел соответствующей технологией.Однако подавляющее большинство инновационных продуктов на любом рынке, в частности на рынке программного обеспечения, являются улучшающими, и их распространение происходит в условиях конкуренции с аналогами.На сегодняшний день опубликовано довольно большое число работ, в которых конкуренция исследуется с помощью различных модификаций фундаментальной модели диффузии инноваций GOTOBUTTON ZEqnNum759252 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum759252 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3), состоящих в том, что коэффициенты а и b рассматриваются как функции от цены, расходов на рекламу и других переменных.М. Гивон, В. Махаджан и Е. Мюллер в работе 1995 г. с помощью обобщения фундаментальной модели диффузии инноваций исследовали влияние теневого (пиратского) распространения программного обеспечения (а именно, текстовых процессоров и электронных таблиц) на легальное распространение лицензий на эти продукты.Авторы продемонстрировали на реальных данных о пользователях электронных таблиц и текстовых процессоров в Великобритании, что пираты играют доминирующую роль в превращении потенциальных пользователей программного обеспечения в действующих легальных пользователей.Оказалось, что информация, передаваемая пользователями пиратских копий потенциальным потребителям, оказывает практически такое же воздействие, как информация, передаваемая легальными пользователями соответствующих продуктов.Более того, оказалось, что для данных двух типов программных продуктов пираты обеспечили 80% продаж!Те же авторы в работе 1997 г. усложнили предыдущую модель и рассмотрели не только одновременное законное и незаконное использование программного обеспечения, но и переключение пользователей между различными производителями.Результаты, полученные на основании анализа тех же данных о пользователях электронных таблиц и текстовых процессоров в Великобритании, что и в работе, дали основание заключить, что в условиях существования компьютерного пиратства и возможного переключения пользователей между различными брендами – заменителями на британском рынке текстовых процессоров и электронных таблиц, долю рынка следует оценивать числом пользователей продукта, а не числом проданных лицензий.III. Экономико-математическое моделирование поведения монополиста на примере рынка программного обеспечения3.1 Основные положения моделиВ данной главе анализируется смешанная дуополия производителей коммерческого программного обеспечения (для определенности, серверной операционной системы Microsoft Windows) и некоммерческого (для определенности, Linux) путем математического моделирования с использованием аппарата теории оптимального управления.Особый акцент, естественно, сделан на случае чистой монополии – в соответствии с тематикой работы.