Вход

Дифференциальные уравнения Каратеодори

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 286167
Дата создания 04 октября 2014
Страниц 14
Мы сможем обработать ваш заказ 26 мая в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
1 250руб.
КУПИТЬ

Описание

Из оценки (13) следует, что для заданной функции e(h), которая определяет погрешность вычислений на каждом шаге разностной схемы (4), в качестве оптимального шага h следует брать тот, для которого функцияV(T,h) принимает минимальное значение.
Естественно, этого правила следует придерживаться и в общем случае в условиях теоремы 1.
Заметим, что функция U(t, h) из теоремы 1 дает оценку теоретической погрешности интегрального метода Эйлера.
Таким образом, в работе была проведена оценка точности приближения решений дифференциального уравнения типа Каратеодори с начальным условием с помощьюдискретной схемы, построенной на основании интегрального методаЭйлера.


...

Содержание

Введение 3
Глава 1. Постановка задачи и основные определения 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Леммы и обозначения 7
Глава 2. Основные результаты 10
Заключение 13
Список источников 14

Введение

Развитие теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями в значительной степени вызвано многочисленными приложениями. Большое число задач из механики, электротехники и теории автоматического управления, описывается этими уравнениями.
Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления приводит к необходимости построения достаточно развитой теории таких уравнений. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах, а также большое число журнальных статей.
Как известно, решением дифференциального уравнения с непрерывной правой частью называется функция x(f), которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению. Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое опр еделение непригодно.
Рассмотрение дифференциальных уравнений с разрывной правой ча-стью требует обобщения понятия решения. При этом в случаях, когда правая часть уравнения непрерывна по х и разрывна только по t, обычно оказывается возможным обобщить понятие решения, пользуясь лишь математическими соображениями.
В случаях же, когда правая часть уравнения разрывна по х, часто простейшие математические соображения оказываются недостаточными. Тогда решение определяется при помощи предельного перехода с учетом физического смысла рассматриваемой задачи.
Уравнение Каратеодори – обыкновенное дифференциальное уравнение:

в котором правая часть (т.е. компоненты вектор-функцииf) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единствен-ностьрешения с заданным начальным значением(непрерывность по совокупности аргументов иусловие Липшицапоx), а некоторому существенно более слабому условию, называемомуусловием Каратеодори:
• вектор-функцияfопределена и непрерывна поxдляпочти всех(в смыслемеры Лебега)tв областиDпространства(t,x).
• вектор-функцияfизмеримапоtдля каждогоxв областиD.
• для каждого ограниченного интервала осиtв областиDвыполняется неравенство гдеm(t)– суммируемая (т.е.интегрируемая по Лебегу) функция.
Решениемуравнения Каратеодори (*) с начальным условиемx(t0)=x0называется измеримая вектор-функцияx(t),удовлетворяющая интегральному уравнению:

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущим классическим уравнениям с непрерывной правой частью.
В представленной работе дается оценка точности приближения реше-ний дифференциального уравнения типа Каратеодори с начальным условием с помощьюдискретной схемы, построенной на основании интегрального методаЭйлера.

Фрагмент работы для ознакомления

.., N}, построенной на отрезке I, tj = jh.В случае разрывной функции f метод Эйлера, вообще говоря, не применим. Не применимы и любые другие сеточные методы, например, методы Рунге-Кутта, поскольку значения функции на множестве меры 0 не определяют с достаточной точностью интеграл от такой функции на отрезке[tj, tj + h].Для разрывных функций вектор скорости f(tj,y(tj)) в правой части (2) естественно заменить средним значениемпо отрезку времени [tj, tj+h]. В результате получается разностное уравнение: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (3)где y(0) = x0. Схему (3) будем называть интегральным методом Эйлера для задачи (1).При практической реализации схемы на ЭВМ интеграл (Лебега) в правой части (3) вычисляется приближенно на каждом шаге, например, заменяется соответствующей суммой Лебега. Кроме того, добавляются ошибки округления при реальных вычислениях. Это приводит к необходимости исследования более общей разностной задачи: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)где z(0) = x0. Здесь вектор моделирует неточности вычислений по сравнению со схемой (3) на шаге с номером j.Основной целью работы является получение оценки нормы на сетке П для произвольного решения x(t) задачи (1) и решения z(t, h)разностной задачи (4) в классе функций f: определяемого следующими условиями:отображение измеримо для любого и справедлива оценка линейного роста где для любых и любого выполняется неравенствогде функция а функция является непрерывной и строго монотонной, Под решением дифференциального уравнения (1) понимается абсолют¬но непрерывная на отрезке I функция x: которая удовлетворяет уравнению почти всюду на I.При выполнении условий 1 и 2 такие решения всегда существуют (см. п. 2).Единственность решения задачи (1) имеет место, например, если функция f удовлетворяет условию Липшица, которое получается из условия 2 при s(и) = и, или удовлетворяет более общему требованию [2, 3]: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)где Заметим, что для дифференциальных включений аналог условия (5) в [4] называется условием односторонней непрерывности функции f по Липшицу.В данной работе мы будем дополнительно предполагать, что для функции f выполняется следующее условие:для некоторой функции имеет место неравенство:для любых где функция измерима по для любого и непрерывна по при любом при этом:В частности, если то получается соотношение (5). Отметим, что условие 3 в общем случае не гарантирует единственность решения задачи (1), но позволяет получить оценки отклонения любого ре¬шения задачи от решения разностного уравнения (3) или (4).1.2 Леммы и обозначенияДля функции из условия 1 обозначим:Кроме того, пусть MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)где вектор из разностной задачи (4), h – шаг сетки П.Лемма 1. Пусть правая часть f дифференциального уравнения (1) удовлетворяет условию 1. Тогда, если решение x(t), задачи (1) существует, то справедлива оценка:Доказательство. На основании свойства 1 получим оценку:Поэтому по известной лемме Гронуолла отсюда следует, что:Лемма доказана. Из леммы 1 следует [2], что любое решение задачи (1) с правой частью f, для которой выполняется условие 1 и имеет место непрерывность функции f(t, x) по фазовой переменной можно считать определенным на отрезке I.Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)с начальным условием v(0) = 0, где функция w из условия 3, а функции l и s из условия 2. ЗдесьПравая часть дифференциального уравнения (7) удовлетворяет условию 1 при m = 1 и является непрерывной по переменной Поэтому на основании леммы 1 любое решение задачи (7) можно считать определенным на отрезке I.В таком случае существует верхнее решение V(t, h) задачи (7), определенное на отрезке I. Для любого другого решения этой задачи v = v(t), выполняется неравенство для любого Полагая в правой части (7) получим задачу: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (8)верхнее решение которой обозначим U(t, h)).Лемма 2. В условиях леммы 1 для решения z(t, h), разностной задачи (4) выполняется неравенство:Доказательство. Обозначим Тогда на основании условия 1 и (6) получим оценку:гдеСледовательно, что и требовалось доказать.Поскольку при любом k = 0, 1, …, n имеют место неравенства: то что и требовалось доказать.Глава 2. Основные результатыВ следующей теореме приводятся оценки нормы отклонения произвольного решения дифференциальной задачи (1) от решения разностной задачи (3) или (4).

Список литературы

1. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Физматлит, 2002. 632 с.
2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М: Наука, 1985. 224 с.
3. Красносельский М.А., Крейн С.Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 102, №1. С. 13-16.
4. DonchevT.,FarchiE. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions // SIAM J. Control Optim. 1998. V. 36. No. 2. P. 780-796.
5. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. 480 с.

Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022