Дифференциальные уравнения Каратеодори

Из оценки (13) следует, что для заданной функции e(h), которая определяет погрешность вычислений на каждом шаге разностной схемы (4), в качестве оптимального шага h следует брать тот, для которого функцияV(T,h) принимает минимальное значение.
Естественно, этого правила следует придерживаться и в общем случае в условиях теоремы 1.
Заметим, что функция U(t, h) из теоремы 1 дает оценку теоретической погрешности интегрального метода Эйлера.
Таким образом, в работе была проведена оценка точности приближения решений дифференциального уравнения типа Каратеодори с начальным условием с помощьюдискретной схемы, построенной на основании интегрального методаЭйлера.
 

...

Введение 3
Глава 1. Постановка задачи и основные определения 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Леммы и обозначения 7
Глава 2. Основные результаты 10
Заключение 13
Список источников 14

Развитие теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями в значительной степени вызвано многочисленными приложениями. Большое число задач из механики, электротехники и теории автоматического управления, описывается этими уравнениями.
Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления приводит к необходимости построения достаточно развитой теории таких уравнений. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах, а также большое число журнальных статей.
Как известно, решением дифференциального уравнения с непрерывной правой частью называется функция x(f), которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению. Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое опр еделение непригодно.
Рассмотрение дифференциальных уравнений с разрывной правой ча-стью требует обобщения понятия решения. При этом в случаях, когда правая часть уравнения непрерывна по х и разрывна только по t, обычно оказывается возможным обобщить понятие решения, пользуясь лишь математическими соображениями.
В случаях же, когда правая часть уравнения разрывна по х, часто простейшие математические соображения оказываются недостаточными. Тогда решение определяется при помощи предельного перехода с учетом физического смысла рассматриваемой задачи.
Уравнение Каратеодори – обыкновенное дифференциальное уравнение:

в котором правая часть (т.е. компоненты вектор-функцииf) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единствен-ностьрешения с заданным начальным значением(непрерывность по совокупности аргументов иусловие Липшицапоx), а некоторому существенно более слабому условию, называемомуусловием Каратеодори:
• вектор-функцияfопределена и непрерывна поxдляпочти всех(в смыслемеры Лебега)tв областиDпространства(t,x).
• вектор-функцияfизмеримапоtдля каждогоxв областиD.
• для каждого ограниченного интервала осиtв областиDвыполняется неравенство гдеm(t)– суммируемая (т.е.интегрируемая по Лебегу) функция.
Решениемуравнения Каратеодори (*) с начальным условиемx(t0)=x0называется измеримая вектор-функцияx(t),удовлетворяющая интегральному уравнению:

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущим классическим уравнениям с непрерывной правой частью.
В представленной работе дается оценка точности приближения реше-ний дифференциального уравнения типа Каратеодори с начальным условием с помощьюдискретной схемы, построенной на основании интегрального методаЭйлера.
 

.., N}, построенной на отрезке I, tj = jh.В случае разрывной функции f метод Эйлера, вообще говоря, не применим. Не применимы и любые другие сеточные методы, например, методы Рунге-Кутта, поскольку значения функции на множестве меры 0 не определяют с достаточной точностью интеграл от такой функции на отрезке[tj, tj + h].Для разрывных функций вектор скорости f(tj,y(tj)) в правой части (2) естественно заменить средним значениемпо отрезку времени [tj, tj+h]. В результате получается разностное уравнение: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (3)где y(0) = x0. Схему (3) будем называть интегральным методом Эйлера для задачи (1).При практической реализации схемы на ЭВМ интеграл (Лебега) в правой части (3) вычисляется приближенно на каждом шаге, например, заменяется соответствующей суммой Лебега. Кроме того, добавляются ошибки округления при реальных вычислениях. Это приводит к необходимости исследования более общей разностной задачи: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)где z(0) = x0. Здесь вектор моделирует неточности вычислений по сравнению со схемой (3) на шаге с номером j.Основной целью работы является получение оценки нормы на сетке П для произвольного решения x(t) задачи (1) и решения z(t, h)разностной задачи (4) в классе функций f: определяемого следующими условиями:отображение измеримо для любого и справедлива оценка линейного роста где для любых и любого выполняется неравенствогде функция а функция является непрерывной и строго монотонной, Под решением дифференциального уравнения (1) понимается абсолют¬но непрерывная на отрезке I функция x: которая удовлетворяет уравнению почти всюду на I.При выполнении условий 1 и 2 такие решения всегда существуют (см. п. 2).Единственность решения задачи (1) имеет место, например, если функция f удовлетворяет условию Липшица, которое получается из условия 2 при s(и) = и, или удовлетворяет более общему требованию [2, 3]: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)где Заметим, что для дифференциальных включений аналог условия (5) в [4] называется условием односторонней непрерывности функции f по Липшицу.В данной работе мы будем дополнительно предполагать, что для функции f выполняется следующее условие:для некоторой функции имеет место неравенство:для любых где функция измерима по для любого и непрерывна по при любом при этом:В частности, если то получается соотношение (5). Отметим, что условие 3 в общем случае не гарантирует единственность решения задачи (1), но позволяет получить оценки отклонения любого ре¬шения задачи от решения разностного уравнения (3) или (4).1.2 Леммы и обозначенияДля функции из условия 1 обозначим:Кроме того, пусть MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)где вектор из разностной задачи (4), h – шаг сетки П.Лемма 1. Пусть правая часть f дифференциального уравнения (1) удовлетворяет условию 1. Тогда, если решение x(t), задачи (1) существует, то справедлива оценка:Доказательство. На основании свойства 1 получим оценку:Поэтому по известной лемме Гронуолла отсюда следует, что:Лемма доказана. Из леммы 1 следует [2], что любое решение задачи (1) с правой частью f, для которой выполняется условие 1 и имеет место непрерывность функции f(t, x) по фазовой переменной можно считать определенным на отрезке I.Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)с начальным условием v(0) = 0, где функция w из условия 3, а функции l и s из условия 2. ЗдесьПравая часть дифференциального уравнения (7) удовлетворяет условию 1 при m = 1 и является непрерывной по переменной Поэтому на основании леммы 1 любое решение задачи (7) можно считать определенным на отрезке I.В таком случае существует верхнее решение V(t, h) задачи (7), определенное на отрезке I. Для любого другого решения этой задачи v = v(t), выполняется неравенство для любого Полагая в правой части (7) получим задачу: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (8)верхнее решение которой обозначим U(t, h)).Лемма 2. В условиях леммы 1 для решения z(t, h), разностной задачи (4) выполняется неравенство:Доказательство. Обозначим Тогда на основании условия 1 и (6) получим оценку:гдеСледовательно, что и требовалось доказать.Поскольку при любом k = 0, 1, …, n имеют место неравенства: то что и требовалось доказать.Глава 2. Основные результатыВ следующей теореме приводятся оценки нормы отклонения произвольного решения дифференциальной задачи (1) от решения разностной задачи (3) или (4).