Геометрия прямых трехмерного евклидового пространства

В представленной курсовой работы получили освещение основные вопросы, связанные с прямой в пространстве. Описаны особенности взаимного расположения прямых и прямой с плоскостью. Приведены основные свойства линейчатых поверхностей и особенности подвида развертывающихся среди них.
Так же были представлены общие сведения по конгруэнтности прямых в пространстве Е3, свойствах дифференциальной окрестности луча, приведены примеры специальных конгруэнций.
 

...

Содержание
Введение 3
Глава 1. Прямая в трехмерном пространстве 4
1.1 Способы задания и уравнения прямой 4
1.2 Взаимное расположение прямой и плоскости 5
1.3 Взаимное расположение прямых 7
1.4 Некоторые метрические задачи на прямую 8
Глава 2. Линейчатые поверхности 10
2.1 Определение линейчатой поверхности. Параметрическое уравнение линейчатой поверхности 10
2.2 Общие свойства линейчатых поверхностей 11
2.3 Развертывающаяся поверхность 14
2.4 Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности 15
2.5 Прямые 16
Глава 3. Конгруэнции прямых в Е3 19
3.1 Строение дифференциальной окрестности луча 19
3.2 Специальные конгруэнции 23
Заключение 25
Список литературы 26
 

Вопросы, связанные с прямой в пространстве, занимают важное место в науке геометрии и находят применение в самых разных областях человеческой деятельности.
В основу данной работы легли труды таких ученых, как Лопшиц А М., Мальцев А. М., Погорелов А. В., Рашевский П. К., Фиников С. П. и других
Целью работы выступило предоставить краткий, но точный материал о том, что из себя представляет прямая в пространстве, какими знаниями о положении прямой в пространстве обладает современная наука, и где они применяются.
В рамках поставленной цели были выделены следующие задачи:
1) описать существующие способы аналитического задания прямой в пространстве, описать взаимное расположение прямых и прямой с плоскостью;
2) дать определение линейчатой поверхности, описать основные свойста и особенности поверх ностей такого рода;
3) описать строение дифференциальной окрестности луча и привести примеры специальных конгруэнций.
Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
 

2.2 Общие свойства линейчатых поверхностейРис. SEQ Рисунок \* ARABIC 3. Свойства линейчатой поверхности.В случае, описанном выше, углы поверхности совпадают с концами заданных кривых, а соответствующие края интерполированной поверхности совпадают с заданными граничными кривыми. На REF _Ref377153689 \h Рис. 4 приводится пример линейчатой поверхности. Изображенные на этом рисунке отстоящими на некотором расстоянии от поверхности граничные кривые являются В-сплайнами третьего порядка. Описанная методика иллюстрируется на примере.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 4. Пример линейчатой поверхности.Рассмотрим линейчатую поверхность, сформированную линейным интерполированием кривых  и . Найдем координаты точки  на поверхности с параметрами. является незамкнутым В-сплайном третьего порядка  с определяющими вершинами ломаной, заданными точками, , ,  и . Отметим, что вершины  совпадают, в результате чего на кривой получается излом.  также является незамкнутым В-сплайном третьей степени. Его вершины определяющей ломаной равны , ,, .Используя обсуждение В-сплайнов, получим незамкнутые однородные узловые векторы для  и , соответственно,,.Заметим, что ненормализованные диапазоны изменения параметров для этих двух кривых различны,  для  и  для . «Нормализованное» значение параметра линейчатой поверхности  в точке  соответствует  для  и  для .Получим.В точке  или .Аналогичным образом.В точке  или .Использование уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum129273 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum129273 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (13) для получения точки на линейчатой поверхности дасти.Результаты показаны на REF _Ref377153689 \h Рис. 4. Жирной точкой отмечена точка поверхности, соответствующая . Обратите внимание на то, что кривая , содержащая излом, плавно переходит в гладкую кривую .2.3 Развертывающаяся поверхностьОсобый практический интерес представляет вопрос, является ли линейчатая поверхность развертывающейся? Не все линейчатые поверхности развертывающиеся, однако, все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми.Если поверхность развертывающаяся, то с помощью последовательности небольших поворотов вокруг образующей линии она может быть без растяжений и разрывов развернута или раскрыта в плоскость. Развертывающиеся поверхности особенно важны для листопрокатной промышленности и в меньшей степени для текстильной промышленности.Ясно, что среди линейчатых квадратичных поверхностей развертывающимися являются конусы и цилиндры. Однако после небольшого размышления становится ясно, что ни однополостный гиперболоид, ни гиперболический параболоид не являются развертывающимися поверхностями, хотя они линейчатые.Чтобы определить, будет ли развертывающейся поверхность или ее часть, необходимо рассмотреть кривизну параметрической поверхности.2.4 Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхностиЧтобы определить, будет ли развертывающейся поверхность или ее часть, необходимо рассмотреть кривизну параметрической поверхности.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 5. Кривизна бипараметрической поверхности.В произвольной точке  на поверхности кривая пересечения поверхности и плоскости, содержащей нормаль к поверхности в точке , имеет кривизну  ( REF _Ref377155163 \h Рис. 5). При вращении этой плоскости вокруг нормали кривизна меняется. Великий швейцарский математик Эйлер показал, что существуют только два направления, для которых кривизна принимает минимальное и максимальное значения.Кривизны в этих направлениях называются главными кривизнами,  и . Кроме того, направления главных кривизн ортогональны. Два сочетания главных кривизн представляют особый интерес - средняя и гауссова кривизны: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 14) MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 15)Для развертывающейся поверхности гауссова кривизна  в любой точке равна нулю, т. е. . Дил показал, что для бипараметрических поверхностей средняя и гауссова кривизны задаются выражением MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 16) MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 17)где.2.5 ПрямыеПрямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности. Следовательно, образующие цилиндрической и конической поверхностей являются их прямолинейными образующими.Уравнение однополостного гиперболоида MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 18)представим в виде MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 19)Рассмотрим две системы уравнений: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 20) MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 21)где k1, l1 – какие-либо действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; этому же условию удовлетворяют и числа k2, l2.Нетрудно подсчитать, что в каждой из систем уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20), GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21) ранг матрицы, составленной из коэффициентов при х, у, z, равен двум. Значит, каждая из этих систем определяет прямую линию.Если обе части каждого из уравнений системы GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20) умножить на какое-либо число, отличное от нуля, то мы получим новую систему, которая, очевидно определяет ту же прямую. Значит, чтобы написать уравнение прямой, определяемой системой GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20), надо знать лишь отношение k1:l1. Это можно сказать и о прямой GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21), которая определяется отношением k2:l2.Если координаты точки M0 (х0, у0, z0) удовлетворяют системе уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20) или GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21), то они удовлетворяют и уравнению MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (22). Отсюда следует, что каждая прямая, определяемая системой уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20), как и каждая прямая, определяемая системой уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21), лежит на данной поверхности MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (23), т. е. является ее прямолинейной образующей.Прямые, определяемые системой GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20) при всевозможных значениях k1, l1, не равных нулю одновременно, образуют одно семейство прямолинейных образующих однополостного гиперблоида MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (24), а прямые, определяемые системой GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21), при аналогичном условии для k2, l2 образуют другое семейство прямолинейных образующих этой поверхности.Отметим основные свойства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (без доказательства).1)Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две прямолинейные образующие. Одна из них принадлежит семейству GOTOBUTTON ZEqnNum937869 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum937869 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (20), а другая — семейству GOTOBUTTON ZEqnNum136878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum136878 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (21).2)Любые две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются.3)Любые две прямолинейные образующие из разных семейств лежат в одной плоскости.Однополостный гиперболоид с двумя семействами прямолинейных образующих изображен на REF _Ref377156471 \h Рис. 6.Известный инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853— 1939) предложил устройство башен, мачт и опор, составленных из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения.Эти конструкции В. Г. Шухова оказались очень прочными и легкими. Они часто используются при строительстве водонапорных башен, высотных радиомачт, телевизионных мачт и т. д.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 6.Глава 3. Конгруэнции прямых в Е33.1 Строение дифференциальной окрестности лучаПрямая в пространстве определяется системой двух уравнений первой степени: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 25)если матрица коэффициентов при текущих координатах х, у, zимеет ранг два, т. е. хотя бы один из определителей матрицы не равен нулю. Если отличен от нуля первый определительто систему GOTOBUTTON ZEqnNum615681 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum615681 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (25) можно разрешить относительно координат х, у: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 26)Таким образом, произвольная прямая пространствазависит от четырёх существенных параметров а, b, а’, b’. Эти параметры определяют прямую; их можно назвать координатами прямой в пространстве.