Вычисление определённых интегралов по формуле трапеции.

Заключение
В математических приложениях часто встречаются различные задачи на вычисление определенных интегралов, причем очень часто бывает так, что подынтегральная функция не имеет первообразной, которая выражалась бы в элементарных функциях. Бывает также, что вычисление определенных интегралов весьма затруднительно и требует большого количество времени. Также иногда приходится сталкиваться с функциями, которые заданы таблично, то есть с функциями, аналитический вид которых не известен. Это, конечно же, вызывает трудности при работе с подобными математическими объектами. Тем не менее, существуют различные приближенные методы вычисления определенных интегралов. Одним из таких методов является метод, основанный на формуле трапеций.
Сам по себе определенный интеграл от произвольной непрерыв ...

Оглавление
Введение 3
1 Формула трапеций 5
1.1 Вывод основной формулы 5
1.2 Геометрический смысл формулы трапеций 6
1.3 Оценка погрешностей 7
2 Применение формулы трапеций для вычисления определенных интегралов 10
Заключение 15
Список используемой литературы 17

Введение
В приложениях математики часто приходиться сталкиваться с вычислением определенного интеграла
I=∫_a^b▒f(x)dx (1)
от некоторой интегрируемой на отрезке [a;b] функции f. Существует точный метод вычисления определенных интегралов, который заключается в применении формулы Ньютона-Лейбница
∫_a^b▒f(x)dx=F(a)-F(b)
где F(x) – первообразная функции f(x). Однако эта формула не всегда применима и часто приходиться сталкиваться с «проблемными» интегралами.
К таким проблемным интегралам можно отнести интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Часто бывает, что первообразные подынтегральных функций существуют, но сами интегралы трудно вычислимы.
Получается, что в подобных ситуациях применение формулы Ньютона-Лейбница либо невозможно, либо весьма затруднительно. Тем не менее, существуют приближенные методы вычисления определенных интегралов. И эти методы зачастую позволяют получить значение интеграла с высокой точностью.
Выделяют два класса приближенных методов вычисления определенных интегралов. Первый включает в себя так называемые аналитические методы, второй – численные. Аналитические методы в основном сводятся к замене подынтегральной функции некоторой другой функцией, чью производную нетрудно отыскать. Численные методы заключаются в том, что приближение к интегралу отыскивается по числовому выражению на основе значений подынтегральной функции на конечном множестве точек из отрезка интегрирования. Этот способ вычислений также называют механической квадратурой, соответствующие приближенные формулы называют формулами численного интегрирования или квадратурными формулами, а используемые при этом аргументы функции — узлами квадратуры.
В этой работе рассматривается численный метод вычисления определенных интегралов, основанный на применении формулы трапеции. При этом для получения квадратурных формул подынтегральная функция на частичных отрезках заменяется соответствующими интерполяционными многочленами.
Прейдем к формулировке целей и задач работы.
Цель работы: изучить численный метод вычисления определенных интегралов, основанный на формуле трапеции.
Задачи работы: получить формулу трапеций, выяснить ее геометрический смысл, оценить погрешность метода, а также применить формулу трапеций для вычисления определенных интегралов.

Это имеет отношение ко всем приближенным методам. И связан этот факт с тем, что не всегда удается получить точные значения f(xi) функции f в узлах разбиения. Поэтому удается вычислить лишь приближенное значение In выражения In. Из выше сказанного следует, что полная погрешность ∆In вычисления интеграла I представляет сумму Vn+νn погрешности самого метода и погрешности вычисления квадратурных выражений.Вернемся к оценке погрешности формулы трапеций. Оценку погрешности для InT устанавливает следующая теорема:Теорема. Пусть вторая производная функции f непрерывна на [a;b]. Тогда для квадратурной формулы (2) справедлива оценка:I-InT=RnT≤Mb-a312n2,где M=max[a;b]f''(x). Из теоремы следует, что погрешность обратно пропорциональна квадрату числа узлов разбиения. Отсюда непосредственно вытекает,что чем мельче разбиение, тем выше точность метода. Перейдем к доказательству теоремы. Пусть имеется разбиение отрезка [a;b] на n равных частей с шагом h=b-an. Возьмем произвольный отрезок [xi-1;xi] этого разбиения. Далее, пользуясь формулой остаточного члена для интерполяционного многочлена первой степени, построенного на узлах xi-1 и xi,получим:fx=P1x+f''ci*2x-xi-1(x-xi)где ci*∈xi-1;xi, ci*=ci*(x). Проинтегрируем обе части выражения на отрезке [xi-1;xi]:xi-1xif(x)dx=xi-1xiP1xdx+xi-1xif''ci*2x-xi-1(x-xi)dx=F1+F2Рассмотрим отдельно интегралы F1 и F2. Согласно результатам пункта:F1=xi-1xiP1xdx=hyi-1+yi2Далее, в силу непрерывности f'' и с учетом того, что выражениеx-xi-1(x-xi)не меняет знака при x∈[xi-1;xi] справедлива обобщенная теорема о среднем. Тогда для интеграла F2 имеем:F2=xi-1xif''ci*2x-xi-1x-xidx=f''(ci)2xi-1xix-xi-1x-xidx=-f''(ci)2h36=-f''cih312где ci∈[xi-1;xi]. Следовательно, справедливо выражение:xi-1xif(x)dx=hyi-1+yi2-f''cih312 , ci∈[xi-1;xi]. Суммируя левую и правую части полученного выражения по i (i=1,2,…,n) получим:I-InT=-i=1nf''cih312≤-f''cna-b312n3=-f''(c)a-b312Здесь c - точка, в котором функция f'' достигает своего максимального значения, то есть f''c=M. Следовательно, справедлива оценкаI-InT=RnT≤Mb-a312n2Последнее утверждение завершает доказательство теоремы. Таким образом, мы видим, что метод вычисления определенных интегралов с помощью формулы трапеции имеет погрешность, которую можно оценить числомVn=Mb-a312n2. Вычислив значение In выражения InT с точностью vn, получим оценку его полной погрешности относительно I:∆In= Mb-a312n2+vn.Можно сделать вывод, что погрешность метода вычисления определенных интегралов с помощью формулы трапеций убывает обратно пропорционально количеству узлов разбиения. Уменьшая шаг разбиения, можно увеличить точность. Следовательно, формула трапеций позволяет вычислять определенные интегралы со сколь угодно большой точностью.Применение формулы трапеций для вычисления определенных интеграловРассмотрим определенный интеграл:I=04x2dxВоспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, найдем его точное значение.I=04x2dx=13 43-1303=21,(3)Теперь вычислим его приближенное значение по формуле трапеций при n=4.Формула трапеций имеет вид:abfxdx≈hy0+yn2+y1+…+yn-1В нашем случае fx=x2, шаг h=1, узлы квадратуры x0=0, x1=1, x2=2, x3=3, x4=4. ТогдаI≈I4T=1y0+y42+y1+y2+y3=8+1+4+9=22Уменьшим шаг. Пусть теперь h=0,5. Тогда n=8. Вычислим I8T и убедимся, что I8T лучше приближает I, чем I4T. Узлы квадратуры x0=0, x1=0,5, x2=1, x3=1,5, x4=2, x5=2,5, x6=3, x7=3,5, x8=4. Значение интеграла равно:I≈I8T=21,5Таким образом, можно видеть, что увеличение числа узлов приводит к повышению точности формулы трапеций. Этот факт хорошо согласуется с доказанной теоремой, согласно которой погрешность формулы обратно пропорциональна квадрату числа узлов разбиения.Рассмотрим интеграл: I=02x2dx. Найдем точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:I=02x2dx=1323-1303=83=2,(6)Вычислим теперь приближенное значение I по формуле трапеции при n=4. В этом случае шаг h=2-04=0,5. Узлы квадратурыx0=0, x1=0,5, x2=1, x3=1,5,x4=2.Формула трапеции имеет вид:I4T=0,52+0,25+1+2,25=2,75Мы видим, что приближенное значение интеграла I4T, полученное по формуле трапеции, достаточно хорошо приближает точное значение IЭто также хорошо видно на графике:Рассмотрим интеграл 03f(x)dx, где f(x) задана с помощью таблицы:xf(x)10,021,51,2322,982,55,2338,01Вычислим интеграл по формуле трапеций при n=2. Тогда шаг h=3-12=1. Узлы квадратуры x0=1, x1=2,x2=3. Формула трапеций в данном случае имеет вид:I2T=10,02+8,012+2,98=6,995Геометрическая иллюстрация представлена на графикеТеперь вычислим интеграл по формуле трапеций при n=4. Тогда шаг h=3-14=0,5.