Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте

нет
...

1. Использование методов линейного программирования для целей оптимального распределения ресурсов 3
1.1. Оптимизация плана перевозок с использованием метода потенциалов 3
1.2. Оптимизация плана транспортной задачи с использованием метода потенциалов на сети 14
1.3. Обобщённая транспортная задача 16
2. Применение методов математической статистики в экономических расчётах 21
2.1. Расчёт параметров регрессионных моделей. Проверка надёжности найденных статистических показателей и вариаций изменений 21
2.2. Расчёт параметров парной корреляции 23
2.3. Выравнивание рядов распределений с проверкой гипотезы нормальности по критерию Пирсона на базе эмпирического ряда величин себестоимости железнодорожной перевозки. 24
2.4. Прогнозирование экономических показателей методом простого экспоненциального сглаживания 27
3.Общая задача линейного программирования и решение её симплекс-методом 29
3.1. Общая задача ЛП 29
3.2. Модифицированный симплекс 37
3.3. Решение задачи симплекс-методом с использованием искусственного базиса. 39
Библиографический список 52

нет

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 12345678Запасы180409010515050[0]30[145]90145210[0]30454025[5]653030[150]155310[150]2075160908070601504458[150]353011040752015051510[0]25[150]20[100]20[145]8020[5]854006000000[150]00150Потребности150150150100150150150150Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v6 = 50; 0 + v6 = 50; v6 = 50 u6 + v6 = 0; 50 + u6 = 0; u6 = -50 u1 + v7 = 30; 0 + v7 = 30; v7 = 30 u5 + v7 = 20; 30 + u5 = 20; u5 = -10 u5 + v2 = 10; -10 + v2 = 10; v2 = 20 u4 + v2= 8; 20 + u4 = 8; u4 = -12 u5 + v3 = 25; -10 + v3 = 25; v3 = 35 u5 + v4 = 20; -10 + v4 = 20; v4 = 30 u5 + v5 = 20; -10 + v5 = 20; v5 = 30 u2 + v5 = 25; 30 + u2 = 25; u2 = -5 u2 + v1 = 10; -5 + v1 = 10; v1 = 15 u3 + v1 = 10; 15 + u3 = 10; u3 = -5 u2 + v8 = 30; -5 + v8 = 30; v8 = 35 v1=15v2=20v3=35v4=30v5=30v6=50v7=30v8=35u1=080409010515050[0]30[145]90u2=-510[0]30454025[5]653030[150]u3=-510[150]207516090807060u4=-12458[150]3530110407520u5=-101510[0]25[150]20[100]20[145]8020[5]85u6=-50000000[150]00Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (4;8): -12 + 35 > 20; ∆48 = -12 + 35 - 20 = 3 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;8): 20 Для этого в перспективную клетку (4;8) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 12345678Запасы180409010515050[0]30[145]90145210[0]30454025[5][+]653030[150][-]155310[150]2075160908070601504458[150][-]3530110407520[+]15051510[0][+]25[150]20[100]20[145][-]8020[5]854006000000[150]00150Потребности150150150100150150150150Цикл приведен в таблице (4,8; 4,2; 5,2; 5,5; 2,5; 2,8; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (5, 5) = 145. Прибавляем 145 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 145 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 12345678Запасы180409010515050[0]30[145]90145210[0]30454025[150]653030[5]155310[150]2075160908070601504458[5]3530110407520[145]15051510[145]25[150]20[100]208020[5]854006000000[150]00150Потребности150150150100150150150150Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v6 = 50; 0 + v6 = 50; v6 = 50 u6 + v6 = 0; 50 + u6 = 0; u6 = -50 u1 + v7 = 30; 0 + v7 = 30; v7 = 30 u5 + v7 = 20; 30 + u5 = 20; u5 = -10 u5 + v2 = 10; -10 + v2 = 10; v2 = 20 u4 + v2 = 8; 20 + u4 = 8; u4 = -12 u4 + v8 = 20; -12 + v8 = 20; v8 = 32 u2 + v8 = 30; 32 + u2 = 30; u2 = -2 u2 + v1 = 10; -2 + v1 = 10; v1 = 12 u3 + v1 = 10; 12 + u3 = 10; u3 = -2 u2 + v5 = 25; -2 + v5 = 25; v5 = 27 u5 + v3 = 25; -10 + v3 = 25; v3 = 35 u5 + v4 = 20; -10 + v4 = 20; v4 = 30 v1=12v2=20v3=35v4=30v5=27v6=50v7=30v8=32u1=080409010515050[0]30[145]90u2=-210[0]30454025[150]653030[5]u3=-210[150]207516090807060u4=-12458[5]3530110407520[145]u5=-101510[145]25[150]20[100]208020[5]85u6=-50000000[150]00Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 30*145 + 25*150 + 30*5 + 10*150 + 8*5 + 20*145 + 10*145 + 25*150 + 20*100 + 20*5 + 0*150 = 19990 Анализ оптимального плана. Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 7-й магазин Из 2-го склада необходимо груз направить в 5-й магазин (150), в 8-й магазин (5) Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин Из 4-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (5), в 8-й магазин (145) Из 5-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (145), в 3-й магазин (150), в 4-й магазин (100), в 7-й магазин (5) Потребность 6-го магазина остается неудовлетворенной на 150 ед. Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x66=0. Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка для (1;6),(2;1) равна 0.1.2. Оптимизация плана транспортной задачи с использованием метода потенциалов на сети1.Оптимизировать план, перевозок используя  метод  потенциалов2. Рассчитать  целевую функцию оптимального плана перевозок и найти эффект от оптимизации.3. Для небазисных звеньев с ограничением провозной способности рассчитать прокатные оценки.По  некоторым участкам введены ограничения провозной способности: AN=20; CL=20; CD=40; EM=80.Vj – Ui = Сij, хij > 0 Hij = (Vj – Ui) - СijVj – Ui ≤ Сij, хij = 0Vj – Ui ≥ Сij - для насыщенных клеток 153121171710441215/8016144161329PONMLKJGFECBА6019804211421439/20191116167/4012810814913114/20171295334887657013890D153121171710441215/8016144161329PONHMLKJGFEDCBА6019804211421439/20191116167/4012810814913114/20171295334887657013890153121171710441215/8016144161329PONHMLKJGFEDCBА60198042114211439/20191116167/4012810814913114/201712953348876570138901.3. Обобщенная транспортная задачаЗадание. Имеется возможность выпуска 5 видов продукции (j=1,  j=2, j=3, j=4,  j=5)  на трех типах оборудования (i=1, i=2, I=3)1. Сформировать  математическое описание задачи.2. Построить первоначальное распределение.3. Найти оптимальный план модифицированным методом потенциалов.4. Выполнить анализ оптимального производственного плана, включая состав и объем выпуска продукции, и состояние использованных ресурсов.Математическая модель распределительной транспортной задачи состоит в следующем:Найти:                 (1.3.1)При условии:,     i=1,2,3,..,m    (1.3.2),           j=1,2,3,...,n    (1.3.3)                                     (1.3.4)Здесь:i -   индекс ресурсовj -   индекс производимой продукции, работы, выпоняемых перевозок xij  - количество ресурсов i для продукции j .cij   - расходы (себестоимость) при выполнении работы  с привлечением ресурсов  i.ai  -  ресурсы  с  номером i ,bj  -  потребность в работе  с номером j .Алгоритм модифицированного метода потенциалов  состоит из двух этапов. На первом  этапе осуществляется построение  допустимого планаНа втором этапе выполняются итеративные процедуры оптимизации базиса задачи.Выполняется расстановка потенциалов по базисным элеметам матрицы по формулам:                (1.3.5)  (1.3.6)Проверка решения на оптимальность. Должны выполняться условия:         (1.3.7)               (1.3.8)Существует два типа контуров. Первый -  замкнутого вида, почти аналогичен  контуру, построенному  по методу потенциалов при решении обычных транспортных задач. Отличием этого контура служит цепочка (шлейф), которая  соединяет элементы контура с базисной клеткой,  размещенной в  n+1 столбце с резервами ресурсов. Другой контур - открытого типа, по аналогии с методом разрешающих  слагаемых, включает в себя два элемента n+1 столбца с резервами ресурсов.150150150150100небалансUi1252 102 202 152 201 402852 251 251 302 202 202002 201 202 251 202 35Vj150150150150100небалансUi3002 102 202 152 201 401002 251 251 302 202 202002 201 202 251 202 35Vj150150150150100небалансUi3002 102 202 152 201 401002 251 251 302 202 202002 201 202 251 202 35Vj150150150150100небалансUi3002 102 202 152 201 401002 251 251 302 202 202002 201 202 251 202 35VjВ соответствии с планом полностью израсходован только -ой ресурс. Первый и третий ресурсы используется не полностью, и остаток их составляет и единиц.Так же можно отметить, что 1, 2, 3 и 4 виды работ осуществляются только за счет использования первого вида ресурсов, а пятая работа осуществляется за счет использования второго и третьего вида ресурсов.Наиболее эффективно используется второй вид ресурсов, его потенциал равен 15, менее эффективно используется 1 и 3 виды ресурсов. Потенциалы столбцов в распределительных транспортных задачах выполняют роль индикаторов эффективности производства. Чем меньше потенциал, тем эффективнее производится продукция, и, наоборот. Наименьшие затраты на единицу вырабатываемой продукции имеют первый и третий виды работ, их потенциалы соответственно равны V1= V2= . Наибольших затрат требует пятый вид, чей потенциал равен V5=.2. Применение  методов математической статистики в экономических расчетах2.1. Расчет параметров регрессионных моделей. Проверка надежности найденных статистических показателей и вариаций измененийОдной из главных задач повышения качества планирования является  становление достоверных показателей на основе объективных количественных закономерностей, существующих в экономических процессах на транспорте.Функциональная зависимость между независимой переменной Х и зависимой У состоит в том, что каждому значению Х поставлено в однозначное соответствие определенное значение У. В реальных условиях, когда одновременно действует много факторов, изучаемая связь теряет свою функциональность. Возникает потребность в оценке таких зависимостей иными, статистическими методами. Одним из признанных методов определения статистической связи являются расчеты на базе линейной модели регрессионного анализа. Парную регрессионную модель можно представить графиком, где на оси абсцисс откладывается независимая переменная Х, а на оси ординат - независимая У. Линейная регрессия описывается уравнением вида:где Yx - оцениваниемая величина; х  - независимая переменная; a и b - параметры выборки. В основе расчета параметров лежит метод наименьших квадратов с использованием в качестве математической модели нормальной системы уравнений:Параметры a и b находятся соответствующими алгебраическими преобразованиями и подстановкой: -где  x* ,  y* -  средние значения параметров, n-  число испытаний.Задание 1. Установить  статистическую зависимость между годовым объемом работы  по грузообороту  (млрд ткм), приняв его за независимую переменную (x)  и фондоемкостью перевозок приняв ее за зависимую переменную (Y). Составить линейную модель вида Yx=a+bx.Ниже в табл 2.1.1 приведена последовательность действий при построении  уравнения регрессии. В последних двух строках приведены значения сумм и средних показателей. В результате применения формул имеем:  b = 6,92,  a= 3,95, и уравнение регрессии: Yx = 3,95 + 6,92·х. Таблица 2.1.1nxyxyx^2Yxy-Yх(y-Yх)^2y^2y-y*(y-y*)21131001300169100,21-0,210,0410000,0038,331469,44211100110012182,7617,24297,3210000,0038,331469,4439605408165,30-5,3028,123600,00-1,672,7848403206456,58-16,58274,761600,00-21,67469,445420801621,67-1,672,78400,00-41,671736,116106060010074,03-14,03196,843600,00-1,672,7876402403639,120,880,771600,00-21,67469,4487402804947,85-7,8561,611600,00-21,67469,4495402002530,409,6192,261600,00-21,67469,4410108080010074,035,9735,646400,0018,33336,1111131001300169100,21-0,210,0410000,0038,331469,44127604204947,8512,15147,653600,00-1,672,78Σ1037407180979  1137,8454000,000,008366,67х*= 8,73у*=- 13,24     Х* = 8,73; У* = -13,24Задание 2. Определить достоверность найденного уравнения линейной регрессионной  модели, используя критерий Фишера.Для использования критерия Фишера(F)  устанавливается отношение (η) полной дисперсии  (s2y ) к остаточной  (s2y, x):2571750-4445m - число факторов в модели (m =2).  В знаменателе число степеней свободы 9, в числителе – 11. Соответствующая критическая точка F-распределения 3,1, что больше значения η. Это значит, что данное уравнение линейной регрессии не достоверно.2.2. Расчет параметров парной корреляции В основе расчета коэффициента корреляции  и параметров оценивания его надежности лежит метод наименьших квадратов с использованием в качестве математической модели нормальной системы уравнений линейной регрессии. Найденный коэффициент корреляции показывает уровень тесноты связи между исследуемыми факторами. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем теснее исследуемая связь. Расчет линейного коэффициента корреляции выполняется по формуле:)y(yn*)x(xn)y)(x()xy(nR 2222Задание 3. Найти значение коэффициента корреляции  для  проверки статистической зависимости между годовым объемом работы  по грузообороту (млрд ткм),(x)  и фондоемкостью перевозок (y).Величина линейного коэффициента корреляции изменяется в диапазоне от -1 до +1. По данным табл. 2.1.1. находим показатели, необходимые для расчета r, подставляя их значения в формулу,  имеем:r=0,929Задание 4. Определить значимость найденных в задании 3, коэффициентов корреляции. Сделать вывод о доверительности найденных значений, используя таблицу нижних границ значимости коэффициента корреляции с уровнем значимости 0,95.Линейный коэффициент корреляции r = 0,929. Полученное нами значение близко к 1, что свидетельствует о тесной связи между исследуемыми факторами, т.е. между годовым объемом работы по грузообороту и фондоемкостью перевозок, и больше соответствующей нижней границы коэффициента корреляции, которая равна 0,576 .2.3 Выравнивание рядов распределений с проверкой гипотезы нормальности по критерию Пирсона на базе эмпирического ряда величин себестоимости железнодорожной перевозки.ЗаданиеТребуется  подтвердить гипотезу нормальности распределения эмпирического ряда величин себестоимости пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог и найти теоретическое нормальное распределение этих  величин. Для этого необходимо найти величину расхождения между  указанными распределениями, используя критерий Пирсона.Таблица 2.3.1x1x2nixixi*nixi - x*(xi-x*)2(xi-x*)2*nt(t)fifi-ni(fi-ni)2(fi-ni)2/fi0,620,823,000,722,16-1,031,073,21-2,550,021,72-1,281,640,950,821,028,000,927,36-0,830,705,56-2,060,055,35-2,657,021,311,021,2212,001,1213,44-0,630,404,82-1,560,1213,061,061,120,091,221,4221,001,3227,72-0,430,193,95-1,070,2324,993,9915,920,641,421,6229,001,5244,08-0,230,051,59-0,580,3437,508,5072,251,931,621,8240,001,7068,00-0,050,000,12-0,130,4043,893,8915,130,341,822,0248,001,8287,360,070,000,210,160,3943,70-4,3018,490,422,022,2228,002,0256,560,270,071,990,660,3235,707,7059,291,662,222,4222,002,3251,040,570,327,051,400,1516,71-5,2927,981,672,422,6210,002,5225,200,770,595,871,890,077,43-2,576,600,892,622,824,002,7210,880,970,933,732,380,022,59-1,411,990,77 225 393,8  38,0976y=99 232,64 χ2 =10,674852Среднее   значение  ряда  рассчитывается по формуле:Среднеквадратичное отклонение рассчитывается по формуле:Нормированное отклонение рассчитывается по формуле:Теоретическое  нормальное распределение нормируется через показатель t, умножением значения функции плотности вероятности φ(t):   на значение величины эмпирического   нормированного  отклонения: fi= φ(t)*y. Сумма найденных теоретических частот Σfi = 233 различаются незначительно с суммой частот эмпирического распределения  Σni = 225 , то расхождения фактического распределения с теоретической нормальной кривой распределения носят случайный характер, и гипотеза соответствия экспериментального распределения теоретическому принимается. В практике статистических расчетов для оценки правомерности гипотезы соответствия фактического распределения нормальному принят  критерий  "хи-квадрат" иначе говоря, критерий Пирсона:После определения  величины критерия Пирсона рассчитывается число степеней свободы: r=k-3, где k - число интервалов в фактическом распределении. В нашем примере:  r=k-3 = 11 - 3 = 8. При заданном уровне значимости 5%  предусматривающем 5% ошибку и количестве степеней свободы, равном у нас 8 определяется табличная величина критерия Пирсона, c2= 15.5. Найденное значение в расчетах  «хи – квадрат» меньше табличного, т.е. х2 = 10,67 < 15.5, значит, гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается.2.4. Прогнозирование экономических показателей методом простого экспоненциального сглаживанияЗадание. Рассчитать заданным методом прогноз для локомотивного депо на 10 -й год при параметрах сглаживания α1 = 0,3 и α2 = 0,5.Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует в основном значение процесса на конце интервала сглаживания. Это свойство используется для прогнозирования.где Qi – значение прогнозируемого показателя в точке i;Qi-1 – значение прогнозируемого показателя в точке i-1;yi – фактическое значение показателя в точке i;α – фактор затухания, константа (коэффициент) сглаживания.ГодПроизводительность локомотива, тыс. ткм. брQi - прогноз 1 (α=0,3)Qi - прогноз 1 (α=0,5)1505050505050252405107514535430520452884562053295454558105473563265890559857617619057765975862105906609396220600061561062106063618311610761973. Общая задача линейного программирования и решение её симплекс-методом3.1. Общая задача ЛПУ нас имеется возможность выпуска 4 видов продукции (N1, N2, N3, N4) на пяти  типах машин (A, B, C, D, E). Известна прибыль, которую принесет выпуск каждого изделия. Необходимо найти максимум прибыли при формировании производственной программы. Модель общей задачи линейного программирования в общем виде выглядит так:  Введем обозначения:i - номер ресурса; j - номер выполняемой работы (производимого изделия); аi – ресурсы с номером i;bi - количество ресурсов, затраченное на выпуск ед.продукции с номером i; ci – коэффициент целевой функции ил показателя критерия оптимальности;xi – количество ресурсов, которое необходимо найтиНайти мах F=c1+c2+c3+...cj+...+cn при условиях:a11x1+a12x2+a13x3+...+a1jxj+ ...+a1nxn ≤ b1a21x1+a22x2+a23x3+...+a2jxj+ ...+a2nxn ≤ b2a31x1+a32x2+a33x3+...+a3jxj +...+ a3nxn ≤ b3ai1x1+ ai2x2+ ai3x3+...+aijxj+...+ ainxn ≤ bi.......................................................................an1x1+an2x2+an3x3+...+anjxj+...+annxn ≤ bn     x1                                                                  ≥ 0                  x2                                                     ≥ 0                           x3                                         ≥ 0............................................. xj ..............