Теоретическая механика

-
...

Задание 1 3
Задание 2 5
Задание 3 8
Задание 4 11
Задание 5 14
Задание 6 18
Задача Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил 23

Задание 1
Найти реакции связей (опор), наложенных на балку.

Рисунок 1.1
Дано: G= 20 кН; Р = 10 кН; М = 6 кНм; q = 5 кН/м; α = 60º
Найти: RA, RB - ?
Решение:
1. Объектом равновесия является балка АВ. На нее действует плоская система сил, поэтому выбираем плоскую систему отсчета, прямоугольные оси координат XАY.
2. На балку действуют: сосредоточенная сила Р, равномерно-распределенная нагрузка интенсивностью q, пара сил с моментом М. Заменим распределенную нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой:

Эта сила приложена в середине участка АС.
3. На балку наложены связи: в точке А шарнирно- неподвижная опора, в точке В – шарнирная опора на катках.
Отбрасываем связи и заменяем их реактивными силами. Реакция шарнирно-неподвижной опоры в точке А лежит в плоскости перпендикулярной оси шарнира (в плоскости чертежа) раскладываем ее на составляющие по координатным осям Ах и Ау (ХА, YА). Реакция опоры в точке В (RВ) направлена перпендикулярно опорной плоскости. Расчетную схему приведем на рис. 1.2 Таким образом, рама находится под действием плоской системы сил.

где
Определение ускорений точек (рис. 4.3).
Определяем ускорение точки А:
,
где
- ускорение направлено перпендикулярно ОА
- ускорение направлено вдоль АО
Угловое ускорение колеса
Для определения аВ воспользуемся равенством
где вектор направлен вдоль ВА от В к А; вектор направлен перпендикулярно ВА;
Рисунок 4.3
Ускорение точки В:
Для определения аС воспользуемся равенством
где вектор направлен вдоль СА от С к А; вектор направлен перпендикулярно СА:
Ускорение точки С:
Ответ: ; ; ; ; ;
Задание 5
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l), наклонному или горизонтальному, в течение τ с. Его начальная скорость vA . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. В точке B тело покидает плоскость со скоростью vB и попадает в точку С со скоростью vC , находясь в воздухе в течение Т секунд.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Рисунок 5.1.
Дано: α = 15º; f = 0; vA= 12 м/c; d = 50 м; β = 60º;
Найти: τ- ? и уравнение траектории на участке ВС- ?
Решение:
Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, показываем на рис. 5.2 действующие на него силы: вес G, нормальную реакцию N и силу трения скольжения F. составляем дифференциальное уравнение движения
;
Сила трения , так как f=0, то
где - нормальная реакция
Таким образом
Интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем
Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи:
при t = 0 с х1 = 0
Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:
Тогда имеем уравнения движения тела на участке АВ
Для момента времени τ, когда тело покидает участок АВ х1 = l
т.е
Рисунок 3.2.
Далее рассматриваем движение тела от точки В до С.
Покажем силу G, действующую на тело. Составим дифференциальные уравнения его движения по осям х и y:
;
Интегрируя имеем:
Определяем постоянные С3 и С4 используя начальные условия:
при t = 0 с х = 0
Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:
Тогда
Интегрируя имеем:
Определяем постоянные С5 и С6 используя начальные условия:
при t = 0 с y = 0
Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:
Тогда
Уравнение траектории тела на участке ВС находим исключая параметр t
Из уравнения имеем . Подставляя полученное значение в уравнение имеем
В момент падения тела; , отсюда
отсюда
Тогда
Время движения тела по участку АВ будет равно
Ответ: , м;
Задание 6
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на схеме. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая массами нитей и предполагая их нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.
Примечание. Все блоки, для которых радиусы инерции (i) не заданы, считать однородными цилиндрами.
В задании приняты следующие обозначения:
m1, m2, m3, m4 − массы тел 1, 2, 3, 4;
α − угол наклона плоскости к горизонту;
f − коэффициент трения скольжения.
Рисунок 6.1.
Дано: m1 = m кг; m2 = 3m кг; m3 = 0,3m кг; m4 = 0,1m кг; α = 45°; f = 0,10; S = 1 м.
Найти: v1 - ?
Решение:
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
(1)
где Т0 и Т - кинетическая энергия системы в начальном и конеч­ном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в ко­нечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.
Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями,
Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 = 0.
Следовательно, уравнение (1) принимает вид
(2)
Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил надо изобразить систему с приложенными к ней силами (рис. 6.2).
Напишем кинематические соотношения между скоростями и пере­мещениями точек системы, т. е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемеще­ния груза 1.
Рисунок 6.2
Угловая скорость блока 2 равна:
(3)
Скорость точек наружного обода колеса 2:
(4)
Скорость перемещения центра блока 3
(5)
Скорость перемещения груза 4 равна:
(6)
Угловая скорость блока 3:
(7)
Заменяя в формуле (7)
,
получим
или
После интегрирования (при нулевых начальных условиях)
(8)
Аналогично
(9)
Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:
(10)
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,
(11)
Кинетическая энергия тела 2, вращающегося вокруг оси Ох,
(12)
где J2x - момент инерции блока 2 относительно оси Ох:
(13)
Подставляя (3), (13) в формулу (12), получаем
(14)
Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,
(15)
где v3 - скорость центра масс катка 3; - момент инерции катка 3 (однородного сплошного цилиндра) относительно его цен­тральной продольной оси :
(16)
ω3 - угловая скорость катка 3.
Подставляя (5), (7), (16) в формулу (15), получаем
(17)
Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,
(18)
Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (10) с учетом (11), (14), (17) и (18):
Подставляя сюда заданные значения, получаем
(19)
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении.