Системный анализ

Заключение
1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x1 = 0.
Поскольку теневая (альтернативная) цена меньше рыночной цены этого продукта, то производство данного продукта выгодно.
При этом разница между ценами (5.83 - 30 = -24.17) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x2 = 0.
Поскольку теневая (альтернативная) цена меньше рыночной цены этого продукта, то производство данного продукта выгодно.
При этом разница между ценами (23.33 - 28 = -4.67) показывае ...

Оглавление
Введение 3
Анализ ситуации, содержательная постановка задачи управления и принятия решения 4
Формализованное описание системы управления 5
Выбор и обоснование критериев эффективности 8
Построение математической модели задачи принятия решения и поиск наилучшего решения 12
Анализ и разработка рекомендаций по практическому использованию результатов 25
Заключение 31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 32

Введение

Теория и практика планирования доказывают, что нельзя построить одну-единую сверхсложную модель сельскохозяйственного производства, которая была бы достаточно адекватна такому экономическому объекту, как отрасль сельского хозяйства. Решить задачу оптимизации сельскохозяйственного производства возможно с помощью комплекса взаимосвязанных моделей.
Для разработки системы моделей для планирования сельского хозяйства используют уже опробованные на практике частные модели различных процессов и сторон сельскохозяйственного производства.
При классификации моделей необходимо использовать признаки, характеризующие как содержание, так и форму модели.
Содержание модели – это сущность и характер моделируемых процессов, характер экономических объектов, целевое назначение модели. Она отражает закономерности процессов производства сельскохозяйственных продуктов и экономических отношений, при которых эти процессы протекают.
Форма модели – это используемый математический аппарат, структура моделируемых построений, информационное исполнение модели. Формой экономико-математической модели служат количественные соотношения между элементами моделируемых процессов, различные способы выражения зависимостей факторов и результатов производства.
Взаимосвязи одних систем можно описать на основе линейных уравнений и неравенств, другие на основе уравнений и неравенств более высокого порядка, третьих - на основе корреляционного анализа, четвертых-с использованием теории вероятности и т. д.
 

Построение математической модели задачи принятия решения и поиск наилучшего решенияПостроим математическую модель задачи. Пусть x1,x2,x3,x4 - это виды зерна, которые должен закупать совхоз.Тогда получим:3x1+7x2+9x3+4x4≥2500x1+0x2+3x3+2x4≥3003x1+0x2+6x3+x4≥10000.25x1+x2+1.5x3+0.5x4≥7120.02x1+0.1x2+0.5x3+0.1x4≥100x1+x2+x3+x4≤2800Fx=30x1+28x2+35x3+44x4→minРешим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 30x1+28x2+35x3+44x4 при следующих условиях-ограничений. 3x1+7x2+9x3+4x4≥2500 x1+3x3+2x4≥300 3x1+6x3+x4≥1000 0.25x1+x2+1.5x3+0.5x4≥712 0.02x1+0.1x2+0.5x3+0.1x4≥100 x1+x2+x3+x4≤2800 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус. В 4-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x8 со знаком минус. В 5-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x9 со знаком минус. В 6-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x10. 3x1 + 7x2 + 9x3 + 4x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 2500 1x1 + 0x2 + 3x3 + 2x4 + 0x5-1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 300 3x1 + 0x2 + 6x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 1000 0.25x1 + 1x2 + 1.5x3 + 0.5x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 + 0x9 + 0x10 = 712 0.02x1 + 0.1x2 + 0.5x3 + 0.1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8-1x9 + 0x10 = 100 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 1x10 = 2800 Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x11; в 2-м равенстве вводим переменную x12; в 3-м равенстве вводим переменную x13; в 4-м равенстве вводим переменную x14; в 5-м равенстве вводим переменную x15; 3x1 + 7x2 + 9x3 + 4x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 1x11 + 0x12 + 0x13 + 0x14 + 0x15 = 2500 1x1 + 0x2 + 3x3 + 2x4 + 0x5-1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 1x12 + 0x13 + 0x14 + 0x15 = 300 3x1 + 0x2 + 6x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 + 1x13 + 0x14 + 0x15 = 1000 0.25x1 + 1x2 + 1.5x3 + 0.5x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 + 0x13 + 1x14 + 0x15 = 712 0.02x1 + 0.1x2 + 0.5x3 + 0.1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8-1x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 + 0x13 + 0x14 + 1x15 = 100 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 1x10 + 0x11 + 0x12 + 0x13 + 0x14 + 0x15 = 2800 Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так: F(X) = 30x1+28x2+35x3+44x4+Mx11+Mx12+Mx13+Mx14+Mx15 → min За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается. Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса. Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения. Из уравнений выражаем искусственные переменные: x11 = 2500-3x1-7x2-9x3-4x4+x5 x12 = 300-x1-3x3-2x4+x6 x13 = 1000-3x1-6x3-x4+x7 x14 = 712-0.25x1-x2-1.5x3-0.5x4+x8 x15 = 100-0.02x1-0.1x2-0.5x3-0.1x4+x9 которые подставим в целевую функцию: F(X) = 30x1 + 28x2 + 35x3 + 44x4 + M(2500-3x1-7x2-9x3-4x4+x5) + M(300-x1-3x3-2x4+x6) + M(1000-3x1-6x3-x4+x7) + M(712-0.25x1-x2-1.5x3-0.5x4+x8) + M(100-0.02x1-0.1x2-0.5x3-0.1x4+x9) → min или F(X) = (30-7.27M)x1+(28-8.1M)x2+(35-20M)x3+(44-7.6M)x4+(M)x5+(M)x6+(M)x7+(M)x8+(M)x9+(4612M) → min Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: 3794-1000001000010320-1000001000306100-1000001000.2511.50.5000-100000100.020.10.50.10000-1000001111100000100000Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x11, x12, x13, x14, x15, x10, Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,2800,2500,300,1000,712,100) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x1125003794-10000010000x1230010320-1000001000x131000306100-100000100x147120.2511.50.5000-10000010x151000.020.10.50.10000-1000001x102800111100000100000F(X0)4612M-30+7.27M-28+8.1M-35+20M-44+7.6M-M-M-M-M-M000000Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (\f(2500;9) , \f(300;3) , \f(1000;6) , \f(712;1.5) , \f(100;0.5) , \f(2800;1) ) = 100Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx1125003794-10000010000277.78x1230010320-1000001000100x131000306100-100000100166.67x147120.2511.50.5000-10000010474.67x151000.020.10.50.10000-1000001200x1028001111000001000002800F(X1)4612M-30+7.27M-28+8.1M-35+20M-44+7.6M-M-M-M-M-M00000004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x12 в план 1 войдет переменная x3 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x111600070-2-1300001-3000x31000.33010.670-0.33000000.33000x13400100-302-10000-2100x14562-0.2510-0.500.50-1000-0.5010x1550-0.150.10-0.2300.1700-100-0.17001x1027000.67100.3300.3300010-0.33000F(X1)3500+2612M-18.33+0.6M-28+8.1M0-20.67-5.73M-M-11.67+5.67M-M-M-M0011.67-6.67M000Итерация №1. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (\f(1600;7) , - , - , \f(562;1) , \f(50;0.1) , \f(2700;1) ) = 228.57Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx111600070-2-1300001-3000228.57x31000.33010.670-0.33000000.33000-x13400100-302-10000-2100-x14562-0.2510-0.500.50-1000-0.5010562x1550-0.150.10-0.2300.1700-100-0.17001500x1027000.67100.3300.3300010-0.330002700F(X2)3500+2612M-18.33+0.6M-28+8.1M0-20.67-5.73M-M-11.67+5.67M-M-M-M0011.67-6.67M00004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x11 в план 2 войдет переменная x2 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x2228.57010-0.29-0.140.4300000.14-0.43000x31000.33010.670-0.33000000.33000x13400100-302-10000-2100x14333.43-0.2500-0.210.140.07140-100-0.14-0.0714010x1527.14-0.1500-0.20.01430.1200-10-0.0143-0.12001x102471.430.67000.620.14-0.09520001-0.140.0952000F(X2)9900+760.57M-18.33+0.6M00-28.67-3.42M-4+0.16M0.33+2.2M-M-M-M04-1.16M-0.33-3.2M000Итерация №2. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x6, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai6 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (\f(228.57;0.43) , - , \f(400;2) , \f(333.43;0.0714) , \f(27.14;0.12) , - ) = 200Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx2228.57010-0.29-0.140.4300000.14-0.43000533.33x31000.33010.670-0.33000000.33000-x13400100-302-10000-2100200x14333.43-0.2500-0.210.140.07140-100-0.14-0.07140104668x1527.14-0.1500-0.20.01430.1200-10-0.0143-0.12001219.23x102471.430.67000.620.14-0.09520001-0.140.0952000-F(X3)9900+760.57M-18.33+0.6M00-28.67-3.42M-4+0.16M0.33+2.2M-M-M-M04-1.16M-0.33-3.2M00004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x13 в план 3 войдет переменная x6 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x2142.86-0.21100.36-0.1400.210000.140-0.2100x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700x62000.500-1.501-0.50000-10.500x14319.14-0.2900-0.110.1400.0357-100-0.140-0.035710x152.38-0.2100-0.0190.014300.06190-10-0.01430-0.061901x102490.480.71000.480.140-0.0476001-0.1400.047600F(X3)9833.33+321.52M-18.5-0.49M00-28.17-0.13M-4+0.16M00.17+0.0976M-M-M04-1.16M-M-0.17-1.1M00Итерация №3. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x5, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai5 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (- , - , - , \f(319.14;0.14) , \f(2.38;0.0143) , \f(2490.48;0.14) ) = 166.67Следовательно, 5-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (0.0143) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx2142.86-0.21100.36-0.1400.210000.140-0.2100-x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700-x62000.500-1.501-0.50000-10.500-x14319.14-0.2900-0.110.1400.0357-100-0.140-0.0357102234x152.38-0.2100-0.0190.014300.06190-10-0.01430-0.061901166.67x102490.480.71000.480.140-0.0476001-0.1400.04760017433.33F(X4)9833.33+321.52M-18.5-0.49M00-28.17-0.13M-4+0.16M00.17+0.0976M-M-M04-1.16M-M-0.17-1.1M0004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x15 в план 4 войдет переменная x5 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x2166.67-2.3100.17000.830-10000-0.83010x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700x62000.500-1.501-0.50000-10.500x14295.331.8000.083300-0.58-1100000.581-10x5166.67-14.600-1.33104.330-700-10-4.33070x102466.672.8000.6700-0.670101000.670-10F(X4)10500+295.33M-76.9+1.8M00-33.5+0.0833M0017.5-0.58M-M-280+10M0-M-M-17.5-0.42M0280-11MИтерация №4. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x9, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai9 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (- , - , - , \f(295.33;10) , - , \f(2466.67;10) ) = 29.53Следовательно, 4-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (10) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx2166.67-2.3100.17-000.830-10000-0.83010-x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700-x62000.500-1.501-0.50000-10.500-x14295.331.8000.083300-0.58-1100-000.581-1029.53x5166.67-14.600-1.33104.330-700-10-4.33070-x102466.672.8000.6700-0.670101-000.670-10246.67F(X5)10500+295.33M-76.9+1.8M00-33.5+0.0833M0017.5-0.58M-M-280+10M0-M-M-17.5-0.42M0280-11M04. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x14 в план 5 войдет переменная x9 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x2462-0.5100.25000.25-10000-0.2510x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700x62000.500-1.501-0.50000-10.500x929.530.18000.0083300-0.0583-0.110000.05830.1-1x52234-200-0.75100.25-700-10-0.2570x102171.331000.5800-0.0833101000.0833-10F(X5)18769.33-26.500-31.17001.17-2800-M-M-1.17-M28-M-MИтерация №5. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x7, так как это наибольший коэффициент . 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai7 и из них выберем наименьшее: EQ min\b\bc\[ (\f(462;0.25) , - , - , - , \f(2234;0.25) , - ) = 1848Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (0.25) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15minx2462-0.5100.25-000.25-1-0000-0.25101848x3166.670.5010.1700-0.17000000.1700-x62000.500-1.501-0.50000-10.500-x929.530.18000.0083300-0.0583-0.110-000.05830.1-1-x52234-200-0.75100.25-7-00-10-0.25708936x102171.331000.5800-0.0833101-000.0833-1-0-F(X6)18769.33-26.500-31.17001.17-2800-M-M-1.17-M28-M-M04. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x2 в план 6 войдет переменная x7 После преобразований получаем новую таблицу: БазисВx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x71848-2401001-40000-140x3474.670.170.6710.33000-0.67000000.670x61124-0.520-1010-2000-1020x9137.330.06330.2300.0667000-0.33100000.33-1x51772-1.5-10-1100-600-10060x102325.330.830.3300.670000.6701000-0.670F(X6)16613.33-24.17-4.670-32.33000-23.3300-M-M-M23.33-M-M1. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет положительных.