Математические методы экономического анализа и границы их применимости

Особенностями задач линейного программирования является то, что множество допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник, а наибольшее значение целевая функция принимает в одной из его вершин. В геометрической интерпретации симплекс-метод представляет собой метод целенаправленного перебора вершин допустимого многогранника. Поэтому его иногда называют методом градиентного, или наискорейшего, спуска вдоль ребер выпуклого многогранника допустимых решений. Для поиска экстремума необходимо:
o выбрать направление спуска;
o определить величину шага.
В симплекс-методе выбирается направление спуска вдоль того ребра многогранника, на котором проекция градиента целевой функции максимальна. Таким образом, обеспечивается выбор направления скорейшего увеличения целевой функции.
Очевидно, ч ...

Введение 3
Краткая характеристика математических методов при исследовании экономических систем 7
Линейное программирование 14
Решение задач линейного программирования в графическом виде на плоскости 17
Решение задач линейного программирования с использованием симплекс-таблицы 19
Заключение 23
Литература 24

Модель – это упрощенное представление системы или объекта, предназначенное для исследования возможных процессов. В сфере экономики модели могут использоваться с целью снижения затрат и обеспечения безопасности исследований реальной экономической системы.
Построение моделей можно разбить на следующие этапы:
1. Этап формирования модели. Этот этап обычно начинается со словесно-смыслового (логико-лингвистического) описания системы, объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе системы, объекта и целях исследования данный этап должен содержать некоторые предположения, например линейность характеристик.
2. Этап завершения идеализации системы, объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для оценки поведения системы, объекта. Напр имер, при составлении уравнения запасов рассматривается только основное производство. Идеализирующие предположения по возможности записываются в математической форме, чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.
3. Этап формулировки законов движения системы, объекта. На данном этапе переходят к формулировке или выбору закона, которому подчиняется система, объект и запись законов в математической форме. Следует иметь в виду, что даже для простых систем, объектов выбор соответствующего закона является нетривиальной задачей.
4. Этап формирования цели исследования. Формулировку модели завершает ее «оснащение». Задаются сведения о начальном состоянии системы, объекта или иные характеристики, без знания которых невозможно определить их поведение. На этом же этапе формулируется цель исследования модели.
5. Этап исследования модели. Созданная модель изучается всеми методами, которые доступны исследователю. Здесь возможна взаимная проверка различных подходов. Необходимо учитывать, что большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо использовать вычислительные методы. Это особенно важно при изучении нелинейных систем, объектов, так как их качественное поведение, как правило, заранее неизвестно.
6. Этап достижения цели исследования модели и установления ее адекватности – соответствия системе, объекту и сформулированным предположениям. Адекватность устанавливается сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами. Неадекватная модель может дать результат, существенно отличающийся от истинного состояния системы, объекта. В этом случае данная модель должна быть отброшена или соответствующим образом модифицирована.
По физическим принципам реализации модели делятся на следующие типы: математические, полунатурные, натурные. Математические модели бывают двух видов: аналитические и имитационные (например, электронное моделирование, демонстрационные зоны). Имеются следующие формы записи моделей:
• логико-лингвистическое описание (применяется на ранних этапах разработки решений);
• графическое представление (используется в совокупности с другими формами);
• описание в виде блок-схемы или матриц данных (используется при описании структуры системы или логических операций);
• описание в виде формул, выражений или математических операций (широко используется в современной теории управления).
Основные требования к моделям:
o отвечать требованиям функциональной полноты и возможности анализа достаточно большого числа вариантов;
o быть достаточно абстрактными, но без потери физического смысла и возможности оценки полученных результатов;
o удовлетворять ограничениям на время и объем вычислений (особенно для режима реального времени);
o позволять использование методов оптимизации исследуемых процессов (особенно в социально-экономических системах);
o предусматривать возможность проверки ее соответствия реальному процессу;
o обладать свойством робастности – устойчивости по отношению к ошибкам в исходных данных (особенно важно при низкой точности исходных данных в современной практике рыночной экономики).
Модель может быть детерминированная – при условии независимости ее параметров от времени. Исследование данной модели осуществляется в аналитическом виде либо численными методами на ЭВМ.
Для моделирования экономических и организационных систем, которые характеризуются сложностью связей, неопределенностью структуры и параметров, целесообразно использовать системный подход. Общими элементами системного подхода являются:
 множества переменных состояния и параметров;
 модели, связывающие параметры и переменные состояния;
 целевые функции, зависящие от переменных состояния и параметров моделей;
 вычислительные методы, позволяющие получить количественные значения оцениваемых результатов.
Рассматривая, например, финансово-экономические задачи, можно определить следующий алгоритм для формирования математических моделей. На начальном этапе определяется концептуальная финансово-экономическая модель, которая предполагает первоначальные упрощения и условия для формализации. В свою очередь, концептуальная финансово-экономическая модель конкретизируется с помощью производственно-экономической модели. Изменение внешних и внутренних условий получения прибыли отражается в нестационарной модели стоимости активов, приносящих доход. Далее все потоки денежных средств от активов приводятся к одному моменту времени в прошлом или будущем. Для этого используются модели накопления финансовых ресурсов, которые должны учитывать случайный характер финансовых операций. С целью определения субъективной функции полезности конкретных результатов используется система моделей субъективной полезности. Конкретный выбор того или иного решения осуществляется на основе моделей и методов принятия решений. В силу большого количества переменных и параметров для принятия окончательных решений целесообразно использовать математические методы линейного и нелинейного программирования.