Моделирование Решения уравнения Колмогорова Пискунова Петровского

-
...

-

1. Введение
Исследуя математическую модель процесса эволюции биологического вида в рамках предложенной Р.Фишером теории генотипов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов в работе «Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме» (1937 г.) показали, что задача вытеснения одного биологического вида другим доминантным видом на некоторой территории может быть сведена к решению параболического уравнения с нелинейным младшим членом [1]:
, , (1)
где – безразмерная концентрация (плотность) особей популяции, причем ; – некоторый параметр задачи, который в биологической модели является мальтузианским параметром популяции.

,
. (7)
Второе уравнение этой системы можно записать в следующем виде
, (8)
который удобен для исследования на фазовой плоскости .
Итак, с учетом условий (6), решению уравнения КПП типа (3) соответствует траектория на фазовой плоскости, которая является интегральной кривой уравнения
(9)
и проходит через особые точки этого уравнения , и . При этом интегральная кривая должна лежать в полосе .
Исследуем особую точку при различных значениях параметров задачи c, k и . Для этого линеаризуем систему (7) вблизи точки :
,
. (10)
Определитель матрицы коэффициентов такой матрицы
.
Находя собственные значения этой матрицы из условия
,
приходим к характеристическому уравнению
.
Решая его, находим собственные значения
.
Как видно, оба собственных значения вещественны и имеют разные знаки, поэтому особая точка фазовой плоскости является неустойчивой узлом (седло), и из нее может выходить искомая интегральная кривая [2].
Исследуем теперь особую точку . Как и в предыдущем случае, линеаризуем систему (7) вблизи точки , используя разложение функции
в ряд Тейлора вблизи точки :
,