Метод математической индукции

Заключение

Рассмотренные выше примеры показывают, что методом математической индукции можно решать очень большой класс самых различных задач. Но силу этого метода не следует преувеличивать. Есть много задач, для которых просто напрашивается этот метод. Например. Доказать неравенство .
Теорема 2. Дано, что это неравенство выполняется при n = k. Нужно доказать выполнение этого неравенства при n = k 1.
Обозначим . Тогда
.
Ясно, что из полученного неравенства нельзя вывести, что его левая часть меньше 0.5. Доказательство зашло в тупик. То есть попытка, применить метод математической индукции, наталкивается на непреодолимые трудности. Однако, это неравенство очень просто можно доказать другим способом. Для любого выполняются следующие n -1 неравенства и равенство
.
Суммируя все эти ...

Оглавление
Введение 3
Принцип метода математической индукции 4
Примеры математической индукции 7
Пример неравенств, доказываемые с помощью математической индукции 21
Заключение 39
Литература 40

Введение

Математическая индукция – метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции:
утверждение , зависящее от натурального параметра x, считается доказанным, если доказано A (1) и для любого натурального n из предположения, что верно A (n), выведено, что верно также A (n 1).
Доказательство утверждения A (1) составляет первый шаг (или базис) индукции, а доказательство A (n 1) в предположении, что верно A (n), называется индукционным переходом.
При этом x называется параметром индукции, а предположение A (n) при доказательстве A(n 1) называется индуктивным предположением.
Иначе, метод математической индукции состоит в следующем:
Если имеется последовательность утверждений, из которых первое утверждение верно и за каждым верным утве рждением следует верное, то все утверждения в последовательности верны.

 

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (3) выполняется при n = k: .Нужно доказать, что оно выполняется при n = k +1:Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (3) выполняется для любого натурального n. Пример 4. Доказать, что сумма пятых степеней n первых чисел натурального ряда равна . Доказательство. Нужно доказать равенство .(4)Теорема 1. Проверим выполнение равенства (4) при n = 1: Для левой части (4) имеем: ; Для правой части (2.4) имеем: . Так как левая и правая части равенства (4) равны, то теорема 1 доказана. Теорема 2. Пусть дано, что равенство (4) выполняется при n = k: .Нужно доказать, что оно выполняется при n = k +1:.Действительно: Разделим многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени 3657600356870003657600139700057150035687000 68580039497000 114300031877000 125730037147500 18288003625850016002001968500 0. Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (4) выполняется для любого натурального n. Пример 5. Доказать равенство для любого натурального n .(5) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем . Подставим n = 1 в правую часть равенства (2.5): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (5) равны. Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (5) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что верно равенство. Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (5) выполняется для любого натурального n. Пример 6. Доказать равенство . (6) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем . Подставим n = 1 в правую часть равенства (6): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (6) равны. Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (6) выполняется при n = k, т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство .Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (6) выполняется для любого натурального n. Пример 7. Доказать равенство . (7) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем: . Подставим n = 1 в правую часть равенства (7): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (7) равны 1. Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (7) выполняется при n = k, т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство: . Действительно: .Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (7) выполняется для любого натурального n. Пример 8. Доказать равенство. (8) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 2 имеем: . Подставим n = 2 в правую часть равенства (2.8): . Получили, что при n = 2, левая и правая части равенства (8) равны. Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (8) выполняется при n = k, т. е. верно: . Нужно доказать, что верно равенство. Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (8) выполняется для любого натурального . Пример 9. Доказать равенство, .(9) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (9) выполняется при n = k, т. е. верно: .Нужно доказать, что верно равенство (9) при n = k+1:Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (9) выполняется для любого натурального n. Пример 10. Доказать равенство. (10) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (10) выполняется при n = k т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство при n = k+1: . Действительно: . Последнее равенство верно потому, что . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (10) выполняется для любого натурального n. Пример 11. Доказать равенство. (11) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 2 левая часть (11): . Подставим n = 2 в правую часть равенства (2.11): . Получили, что при n = 2 левая и правая части равенства (11) равны. Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (11) выполняется при n = k, т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство. Действительно:. Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (11) выполняется для любого натурального . Пример 12. Доказать равенство. (12) Решение. Обозначим через .Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (12) выполняется при n = k, т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство . Действительно: .Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (12) выполняется для любого натурального n. Пример 13. Доказать формулу Муавра . (13)Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что равенство (13) выполняется при n = k, т. е. верно:. Нужно доказать, что верно равенство .Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (13) выполняется для любого натурального n.Пример неравенств, доказываемые с помощью математической индукцииПример 1. Пусть a, b - длины катетов, c – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Тогда для всех натуральных чисел n 2 имеет место неравенство (1)Теорема 1. Из теоремы Пифагора следует равенство a 2 + b 2 = c 2.Теорема 1 доказана.Теорема 2. Пусть дано, что неравенство (1) выполняется при n = k, , т. е. верно . Тогда неравенство (1) выполняется при n = k +1: . Действительно: . Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что неравенство (1) выполняется для любого натурального n 2. Пример 2. Доказать, что, если , то . (2)Теорема 1. При n = 1 имеем: Левая часть неравенства (2): ;Правая часть неравенства (2): . Теорема 1 доказана. Теорема 2. Пусть дано, что неравенство (2) выполнено при n = k: . Тогда оно верно для n = k +1: .Действительно, так как , то .Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (2) выполняется для любого натурального n. Замечание 1.Из курса математического анализа известно, что последовательность имеет конечный предел, который называют числом e: .Из свойств числовой последовательности следует:. (2.1) Доказать, что последовательность монотонно возрастает, а последовательность монотонно убывает. Доказательство. Последовательность монотонно возрастает, если . То есть нам нужно доказать неравенство: . (2.2)Последовательность монотонно убывает, если . То есть нам нужно доказать неравенство . (2.3)Докажем неравенство (2.2) :. .Аналогично можно доказать неравенство (2.3):. . Так как последовательность строго монотонно возрастает, а последовательность строго монотонно убывает, то, учитывая равенства (2.1), получим следующее неравенство: . (2.4) Замечание 2. Докажем неравенство (2.2) методом математической индукции. Прежде заметим, что это неравенство равносильно такому неравенству . (2.2.1)Теорема 1. При имеем: .Теорема 2. Дано. Неравенство (2.2.1) выполняется при n = k: . Нужно доказать выполнение неравенства (2.2.1) при n = k + 1: .Доказательство. . Теорема 2 доказана.Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (2.2.1) выполняется для любого натурального n. Пример 3. Доказать неравенство (3)где , - числа одного и того же знака, большие -1.Теорема 1. При имеем: Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано. Неравенство (3) выполняется при n = k:.Нужно доказать выполнение неравенства (3) при n = k + 1:.Доказательство..Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (3) выполняется для любого натурального n. Пример 4. Доказать неравенство . (4)Теорема 1. При n = 1: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано. При n = k: Нужно доказать: Доказательство. Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4) выполняется для любого натурального n. Пример 5. Доказать неравенства:; (5.1). (5.2)Докажем неравенство (5.1).Теорема 1. При n = 2: Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано. При n = k: Нужно доказать Доказательство. Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (5.1) выполняется для любого натурального .Докажем неравенство (5.2).Теорема 1. При n = 2: Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано. Неравенство (5.2) выполняется при n = k: Нужно доказать, что оно выполняется при n = k + 1: Доказательство. .Остаётся доказать неравенство , которое равносильно: . Последнее неравенство следует из неравенства и равенства .Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (5.2) выполняется для любого натурального .Заметим, что .Пример 6. Доказать неравенство. (6)Теорема 1.