Теория игр и ее экономические приложения

Обоснование и выбор конкретных управленческих решений, связанных с финансовыми рисками, базируется на концепции и методологии теории принятия решений. Эта теория предполагает, что решениям, связанным с риском, всегда свойственны элементы неизвестности конкретного поведения исходных параметров, которые не позв оляют четко детерминировать значения конечных результатов этих решений. В зависимости от степени неизвестности предстоящего поведения исходных параметров принятия решений различают условия риска, в которых вероятность наступления отдельных событий, влияющи х на конечный результат, может быть установлена с той или иной степенью точности, и условия неопределенности, в которых из-за отсутствия необходимой информации такая вероятность не может быть установлена.
...

Введение
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
1.1.Сущность теории игр
1.2.Классификация теории игр
1.3.Антагонистические игры
1.4.Множители Лагранжа
1.5.Теорема Куна–Такера
1.6.Модель распределения дефицитного ресурса
1.7.Модель децентрализованного управления
1.8.Область применимости модели
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР
2.1. Значение теории игр в экономике
2.2. Пример решения конкретной задачи
2.2. Примеры игр в теории игр
Игра « Борьба за рынки»
Игра «Еще одна борьба за рынки»
Игра с выбором момента времени (игра типа дуэли)
Игра “Семейный спор”
Игра “Дилемма заключенного”
Формулировка биматричной игры “Борьба за рынки”
Заключение
Список литературы

В настоящее время огромный интерес привлекает теория игр, которая, с одной стороны, наряду с математическими моделями общего равновесия и теорией социального выбора, сыграла ключевую роль в создании современной экономической теории, а с другой, яв ляется одним из важнейших инструментов анализа огромного многообразия задач, возникающих не только в экономике, но и политике, социальных науках, военном деле, биологии и др.
Суть теории игр ( с экономической точки зрения) в том, чтобы помочь экономистам понимать и предсказывать то, что может происходить в экономических ситуациях, и сейчас вряд ли можно найти область экономики или дисциплины, связанной с экономикой, где основные концепции теории игр не были бы просто необходимыми для понимая современной эк ономической литературы.
В настоящий м омент, если говорить об экономических приложениях, речь идёт уже не только о применении теоретико-игровых методов к ставшим достаточно традиционными проблемам теории организации промышленности, но и, по сути дела, ко в сему многообразию экономической проблематики. Теорию игр следует понимать как инструмент экономического анализа, который:
Даёт ясный и точный язык исследования различных экономических ситуаций;
Даёт возможность подвергать интуитивные представления проверке на логическую согласованность;
Помогает проследить путь от « наблюдений» до основополагающих предположений и обнаружить, какие из предположений действительно лежат в основе частных выводов.
При этом, как уже отмечалось выше, в настоящий момент область применения теории игр гораздо шире, чем только экономика

Теорема Куна–ТакераРассмотрим задачу математического программированияf(x)max,gi(x)0, i=1,…,m, (P)xXRn.где f,g1,…,gm – вогнутые непрерывные функции, а XRn – выпуклое компактное множество.Обозначим .Теорема. Пусть x* – решение задачи (P) и пусть существует точка x0 для которой gi(x0)>0 для всех i=1,…,m. (S)Тогда существуют неотрицательные числа 1,…,m для которыхL(x,*)L(x*,*)L(x*,) (L)для всех xX и =(1,…,m)Rm и для всех i=1,…,m. (N)Доказательство. Рассмотрим вспомогательную антагонистическую игру X,Y,F, где X – множество стратегий максимизирующего игрока, – множество стратегий второго игрока, а критерий определен условием , где g0(x)=f(x)–f(x*).По теореме о существовании седловой точки в выпуклой игре существуют x#X, *Y такие, чтоF(x,*) F(x#,*) F(x#,) (M#)для всех xX, Y. Если gi(x)<0 для некоторого i, то выбрав Y так, что i=1, второй игрок может обеспечить условие F(x,)<0. Если же условия gi(x)0 выполняются для всех i=1,…,m, то g0(x)0 по определению точки x* и, выбрав Y так, что 0=1, второй игрок обеспечит выполнение неравенства F(x,)0. Таким образом, для любого xX имееми, следовательно,Но выбор стратегии x* обеспечивает первому игроку неотрицательный выигрыш не зависимо от действий соперника, значит на самом деле,а x* является оптимальной стратегией первого игрока.Но в антагонистической игре оптимальные стратегии взаимозаменяемы, поэтому из условия (M#) следует условие: F(x,*) F(x*,*) F(x*,) (M)для всех xX, Y.Покажем, что . В самом деле, если допустить противное, то F(x0,*)>0= F(x*,*), что противоречит условию (M).В силу линейности условие может выполняться только для тех i, для которых . Но g0(x*)0, а для i=1,…,m имеем gi(x*)>0. Значит, для всех i=1,…,m. (T)С учетом того, что F(x*,*)=0 условие (M) может быть переписано в виде F(x,*)0 F(x*,) (M0)Покажем, что тогда выполняется условиеL(x,*)– f(x*)0L(x*,)– f(x*) (L0)где , а xX и =(1,…,m)Rm произвольны.В самом деле, если L(x,*)– f(x*)>0, то умножив это неравенство на положительное число получим F(x,*)>0, что противоречит (M0).Если же L(x*,)– f(x*)<0 для некоторого =(1,…,m)Rm, то имеем . Поделив это неравенство на положительное число и обозначив , получим F(x*,)<0, причем (0,1,…,m)Y, что вновь противоречит (M0).Условие (N) следует из условия (T) и определения чисел i. Теорема доказана.Условие компактности множества X может быть ослаблено. А именно, пусть выполняются все предположения предыдущей теоремы, кроме одного: множество X будем считать замкнутым, но не обязательно ограниченным. Тогда справедлива Теорема. Пусть x* – решение задачи (P) и пусть существует точка x0 для которой gi(x0)>0 для всех i=1,…,m. (S)Тогда существуют неотрицательные числа 1,…,m для которыхL(x,*)L(x*,*)L(x*,) (L)для всех xX и =(1,…,m)Rm и для всех i=1,…,m. (N)Доказательство. Рассмотрим вспомогательную антагонистическую игру XN,Y,F, где XN={xX: x–x*N}. Рассуждая, как и выше убедимся, что для каждого N существует N для которого F(x,N) F(x*,N)=0 F(x*,)для всех xXN, Y и для всех i=1,…,m.Пусть N, принимая натуральные значения стремится к бесконечности. Так как Y компактно, не ограничивая общности, можем считать, что при этом N*. Переходя к пределу получим, чтоF(x,*) F(x*,*)=0 F(x*,)для всех xX, Y и для всех i=1,…,m.Доказательство завершается дословным повторением рассуждений из доказательства предыдущей теоремы.Аналогичным образом можно избавиться и от условия замкнутости множества X.Модель распределения дефицитного ресурсаДанная модель была предложена О.В. Кононенко для поиска оптимальных способов распределения воды между сельскохозяйственными предприятиями в средней Азии (а бассейнах рек Аму-Дарья и Сыр-Дарья.)Пусть имеется n сельскохозяйственных предприятий, которые выпускают m видов сельскохозяйственной продукции. Обозначим vij – затраты дефицитного ресурса (воды) на выпуск i-м предприятием j-го вида продукции, pij – выпуск i-м предприятием j-го вида продукции. Величины vij являются управлениями оперирующей стороны. Дефицитность означает, что выбранные управления должны удовлетворять неравенствам ,где V – некоторая заданная константа (параметр модели).Сделаем следующие предположения.Гипотеза 1. Выпуск продукции pij зависит только от количества выделенного ресурса, то есть pij=fij(vij).Гипотеза 2. Функции fij монотонно возрастают.Гипотеза 3. Функции fij строго вогнуты.Гипотеза 4. Функции fij дифференцируемы.Гипотеза 5. Цель оперирующей стороны описывается стремлением к максимизации величины , где , а j – заданные положительные числа.По своему смыслу величины vij неотрицательны.Таким образом, перед исследователем операции стоит задача математического программирования ,vij≥0, i=1,…,n, j=1,…,m.Приступим к ее исследованию. Функции fij предполагаются дифференцируемыми, а значит, они непрерывны. Поэтому непрерывной будет и функция . Поскольку множество допустимых управлений представляет собой замкнутый симплекс (то есть компактное множество), рассматриваемая задача имеет решение v*=(v11*,…,vnm*). Из гипотезы 3 непосредственно следует, что функция строго вогнута, значит это решение единственноюВ силу деланных предположений о монотонности, данная задача эквивалентна следующей,vij≥0, i=1,…,n, j=1,…,m.В оптимальной точке должно выполняться следующее условие. Лемма. Существует такое число l, что для тех j, для которых , и , для всех остальных j (здесь и далее pj* есть значение функции pj в точке максимума).Доказательство. Пусть это условие не выполняется. Тогда найдется такое t, что и vtq*>0 для некоторого q. Пусть и s – количество элементов в множестве J. Рассмотрим точку v#=(v11#,…,vnm#), определенную следующим образом: v1j#=v1j*+, если jJ, vtq#=vtq*–s, и vij#=vij* для всех остальных i и j. Если положительное число достаточно мало, точка v# представляет собой допустимое управление.Сравним значения критерия в двух рассматриваемых точках. В силу монотонности функций fij для jJ выполняются неравенства . Если достаточно мало, то из неравенства следует . Для всех остальных j значения pj#=pj*, поэтому . Таким образом, при достаточно малом положительном , выполняется неравенство , что противоречит выбору точки v*. Значит, сделанное в предыдущем абзаце предположение неверно, и лемма доказана.В дальнейшем для упрощения формул ограничимся рассмотрением наиболее интересного случая, когда условия выполняются для всех j.Далее, в оптимальной точке должно выполняться следующее условие. Лемма. Существуют числа j такие, что для тех i, для которых vij>0, и для всех остальных i.Доказательство. Пусть vtj*>0. Обозначим . Если любого номера i функция имеет максимум в точке x=0, то выполняются сформулированные в условии леммы необходимые условия.В противном случае можно увеличить значение pj, не меняя значений pk при kj, при этом значение критерия задачи, во всяком случае, не уменьшится, то есть решение останется оптимальным, но окажется бы нарушенным условие предыдущей леммы, что приводит к противоречию.Таким образом, для поиска оптимального решения имеем систему из mn+m+1 уравнений, i=1,…,n, j=1,…,m,, j=1,…,m,.Поучительно получить решение этой задачи с помощью теоремы Куна–такера. Сделаем это.Даже при выполнении гипотезы 4 функция , вообще говоря, не будет дифференцируемой. Поэтому исходную задачу целесообразно заменить эквивалентной wmax,, j=1,…,m,vij≥0, i=1,…,n, j=1,…,m.Это стандартная задача выпуклого программирования, поэтому в ней выполняются необходимые условия Куна–Такера. Функция Лагранжа имеет вид ,где cj и d – множители Лагранжа.В седловой точке функции Лагранжа должны выполняться условия:, если vij*>0, если vij*=0.Условия дополняющей нежесткости записываются в виде, если cj>0,, если cj=0.Выписанные условия лишь обозначениями отличаются от полученных в предыдущем разделе.Модель децентрализованного управленияВведенные в разделе множители Лагранжа cj и d имеют смысл оптимальных цен.Рассмотрим другой принцип управления, при котором оперирующая сторона оставляет за собой право выбора цен на производимую предприятиями (и закупаемую оперирующей стороной) продукцию cj и поставляемую предприятиям воду d. Право выбора управлений (vi1,…,vim) предоставляется i-му предприятию. Пусть оно выбирает управления, максимизируя собственную прибыль .Если оперирующая сторона в качестве своих управлений выберет оптимальные значения двойственных переменных, найденные в предыдущем разделе, то предприятиями будут выбраны управления, доставляющие глобальный максимум критерию оперирующей стороны.В самом деле, функция Лагранжа перепишется в виде.Так как переменные vij могут выбираться независимо, максимум суммы достигается тогда и только тогда, когда достигается максимум каждого слагаемого.Таким образом, при децентрализованном способе управления правильный выбор цен позволяет согласовать интересы каждого производителя с интересами оперирующей стороны. Замечательно, что при этом ценны могут назначаться едиными для всех производителей.В практических задачах параметры модели, как правило, бывают известны не точно. Поэтому важно понимать, как это может отразиться на качестве принимаемого на основе модели решения. В нашей модели такими параметрами являются функции fij и число V. Будем считать, что функции fij известны с точностью до в равномерной метрике, то есть неравенства выполняются для всех i,j и vij[0,V]. Здесь fij(vij) – предполагаемое моделью количество произведенной продукции, а – реальное количество произведенной продукции, которое нам не известно. Для простоты формул будем считать, что параметр V известен точно.Суммируя неравенстваполучим, что неравенства,или, что то же самое, ,выполняются для всех j и v.Фиксируем произвольное v и пусть номер k таков, что.В силу предыдущего неравенства ,и тем более,где через обозначено наименьшее из чисел k. Меняя в этих рассуждениях местами функции fij(vij) и , получим неравенство ,откуда следует, что .Пусть точка удовлетворяет условию .Тогда,и тем более,то есть, принимая решение на основе модели мы упустим выгоду не более .Пусть теперь задана произвольная последовательность 1,2,… положительных чисел, стремящаяся к нулю и последовательность функции , удовлетворяющая условиям .Пусть набор чисел удовлетворяет условию .Каждая предельная точка последовательности будет решением задачи с «истинными» функциями .Докажем это. Не ограничивая общности, можем считать, что сама последовательность имеет предел . В силу выбора чисел , неравенстваимеют место для всех (v11,…,vnm). Функция непрерывна, поэтому, переходя в этих неравенствах к пределу, получим неравенство,справедливое при всех (v11,…,vnm). А это и означает, что предельная точка является решением «невозмущенной» задачи.Если для функций выполняются гипотезы 1–5, то решение «невозмущенной» задачи единственно, и любая последовательность «приближенных» решений сходится. Это говорит о том, что решение найденное с помощью модели будет близко к «истинному», если параметры модели известны достаточно точно.Для получения количественных оценок, уточняющих последний качественный вывод, нужна более детальная информация о поведении функции и fij.Качественные оценки о влиянии ошибок в измерении величины V, могут быть получены аналогично. Для получения количественных оценок в этом случае тоже требуется сделать дополнительные предположения.Область применимости моделиОбсудим, насколько ограничительными являются сделанные при построении модели предположения и насколько сильно зависят от них полученные выводы.Гипотеза 1, на первый взгляд, выглядит совсем странно. Даже неспециалисту понятно, что для производства сельскохозяйственной продукции нужны кроме воды семена, рабочие руки, сельхозтехника, удобрения и т.д. Все дело в том, для чего строилась модель. Поскольку автора интересовало распределения воды, он считал, что остальные ресурсы распределяются оптимальным для данного выбора величин vij образом и функции fij поучены уже с учетом этого распределения, как решения некоторой другой задачи оптимизации.Гипотеза 2 есть следствие предположения о рациональном способе использования дефицитного ресурса. В самом деле, если реальная зависимость производства продукции от количества воды описывается немонотонной функцией ij, то можно заменить ее функцией fij, определенной условием . Новая функция будет неубывающей. Если после решения задачи с измененной функцией получится число vij, при котором функции ij и fij принимают разные значения, то его можно будет уменьшить, а оставшееся количество воды просто вылить в канаву. Таким образом, функции fij можно считать неубывающими. А дальше работают соображения общности положения. Всякую неубывающую на отрезке [0,V] функцию fij можно сколь угодно точно приблизить в равномерной метрике возрастающей функцией (например, функцией fij(vij)+vij). После этого остается только сослаться на результаты предыдущего раздела.Примерно так же обстоит дело и с гипотезой 3, но чтобы понять это, нам придется построить вспомогательную модель. Допустим, на производство какого то вида продукции в данном хозяйстве выделен ресурс в количестве v (индексы мы опускаем для упрощения формул) и под соответствующую культуру отведена площадь S. Если разлить воду по площади равномерно, то совершенно не очевидно, что количество произведенной продукции f(v) будет зависеть от v нужным нам образом. Однако никто не заставляет нас действовать именно таким образом.Из физических соображений понятно, что количество продукции, собранной с маленького участка площади dS с центром в точке x будет зависеть только от количества воды на единицу площади, вылитого близи этой точки. То есть общее количество произведенной продукции будет равногде – функция, описывающая «урожайность» данной культуры, а – функция описывающая равномерность распределения воды. Она, разумеется, должна удовлетворять условию . Обозначим f(v) верхнюю грань величины по всем таким функциям. Тогда f(v) будет вогнутой функцией от v.В самом деле, пусть распределение 1 реализует верхнюю грань f(v) с точностью , а 2 реализует с той же точностью верхнюю грань f(u). Разобьем наш участок на две половины и на одной из них распределим воду с плотностью v1, а на другой – с плотностью u2. Результирующий выход продукции будет равен , а общий расход воды составит . Таким образом, построенное распределение есть одно из допустимых решений задачи распределения ресурса в количестве . Поэтому . Вспомним, что , а , получим . В силу произвольности заключаем, что .Таким образом, функции fij можно считать вогнутыми. Правомерность предположения о строгой вогнутости вновь следует из соображений общности положения (см., в частности, доказательство теоремы о существовании седловой точки в выпуклой игре).Те же идеи работают и при обосновании гипотезы 4. Из физических соображений следует, что функция fij является непрерывной. А всякую непрерывную функцию на отрезке [0,V] можно сколь угодно точно приблизить гладкой. Продемонстрируем один из способов приближения. Продолжим функцию fij на всю прямую, положив fij(v)=f(V) при v>V и fij(v)=f(0) при v<0. Пусть (x) – гладкая функция, такая, что (x)=0 при x> и x<–, (x)0 для всех x и . Тогда функция наследует гладкость от функции (x), а при малых будет сколь угодно мало отличаться от fij в равномерной метрике.Определить функцию (x) можно, например, следующим образомЖгде – нормировочная константа, равная .Гипотеза 5 связана с действовавшим на момент построения модели хозяйственным механизмом. В то время основным показателем успешности работы региона (района, области) являлся процент выполнения плана. За перевыполнение плана работников дополнительно стимулировали, а за невыполнение – наказывали. Если интерпретировать величины j как план региону по выпуску продукции j-го вида, то критерий и будет выражать этот процент (с точностью до несущественной мультипликативной константы).Глава 2. Практическое применение теории игр2.1. Значение теории игр в экономикеТеория принятия решений в условиях риска и неопределенности основывается на следующих исходных положениях:Объект принятия решения четко детерминирован и по нему известны основные из возможных факторов риска. В финансовом менеджменте такими объектами выступают отдельная финансовая операция, конкретный вид ценных бумаг, группа взаимоисключающих реальных инвестиционных проектов и т.п. По объекту принятия решения избран показатель, который наилучшим образом характеризует эффективность этого решения. По краткосрочным финансовым операциям таким показателем избирается обычно сумма или уровень чистой прибыли, а по долгосрочным — чистый приведенный доход или внутренняя ставка доходности. По объекту принятия решения избран показатель, характеризующий уровень его риска. Финансовый риски характеризуются обычно степенью возможного отклонения ожидаемого показателя эффективности (чистой прибыли, чистого приведенного дохода и т.п.) от средней или ожидаемой его величины. Имеется конечное количество альтернатив принятия решения (конечное количество альтернативных реальных инвестиционных проектов, конкретных ценных бумаг, способов осуществления определенной финансовой операции и т.п.). Имеется конечное число ситуаций развития события под влиянием изменения факторов риска. В финансовом менеджменте каждая из таких ситуаций характеризует одно из возможных предстоящих состояний внешней финансовой среды под влиянием изменений отдельных факторов риска. Число таких ситуаций в процессе принятия решений должно быть детерминировано в диапазоне от крайне благоприятных (наиболее оптимистическая ситуация) до крайне неблагоприятных (наиболее пессимистическая ситуация). По каждому сочетанию альтернатив принятия решений и ситуаций развития события может быть определен конечный показатель эффективности решения (конкретное значение суммы чистой прибыли, чистого приведенного дохода и т.п., соответствующее данному сочетанию). По каждой из рассматриваемой ситуации возможна или невозможна оценка вероятности ее реализации. Возможность осуществления оценки вероятности разделяет всю систему принимаемых рисковых решений на ранее рассмотренные условия их обоснования («условия риска» или «условия неопределенности»). Выбор решения осуществляется по наилучшей из рассматриваемых альтернатив. Методология принятия решения в условиях риска и неопределенности предполагает построение в процессе обоснования рисковых решений так называемой «матрицы решений», которая имеет следующий вид (табл. 1).Таблица 1. «Матрица решений», выстраиваемая в процессе принятия решения в условиях риска или неопределенностиВарианты альтернатив принятия решенийВарианты ситуаций развития событийС1С2...С nА1Э11Э12...Э1 nА2Э21Э22...Э2 n...  ... А nЭ n1Э n2...Э nnВ приведенной матрице значения A1; A2;... А n характеризуют каждый из вариантов альтернатив принятия решения; значения С 1; С2;...; С n — каждый из возможных вариантов ситуации развития событий; значения Э11; Э12; Э1 n; Э21; Э22; Э2 n; Э n1; Э n2; ...; Э nn — конкретный уровень эффективности решения, соответствующий определенной альтернативе при определенной ситуации.Приведенная матрица решений характеризует один из ее видов, обозначаемый как «матрица выигрышей», так как она рассматривает показатель эффективности. Возможно также построение матрицы решений и другого вида, обозначаемого как «матрица рисков», в котором вместо показателя эффективности используется показатель финансовых потерь, соответствующих определенным сочетаниям альтернатив принятия решений и возможным ситуациям развития событий.