КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА

-
...

Введение 2
1.Криволинейный интеграл второго рода 3
1.1 Основные понятия 3
1.2 Свойства криволинейного интеграла второго рода. 5
1.3 Параметрическое представление кривой интегрирования 7
1.4Формула Остроградского-Грина 8
1.5 Примеры вычисления криволинейного интеграла 2 рода 9
2. Поверхностный интеграл 2 рода 12
2.1 Основные понятия и вычисление поверхностного интеграла 2 рода 12
2.2 Формула Остроградского-Гаусса 13
2.3 Формула Стокса 14
2.4 Примеры вычисления поверхностного интеграла 2 рода 15
Список использованной литературы 18

 

Курсовая работа посвященаизучению некоторых разделов математики, входящих в курс математического анализа,являющегося частью общего курса высшей математики.
В ней рассмотрены криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода, даны основные определения и формулировки, базовые теоремы, в том числе теоремы Остроградского-Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса, а также приводятся примеры, иллюстрирующие применение исследуемых теоретических вопросов.
Криволинейные и поверхностные интегралы являются обобщением определенного интеграла в случае, когда область интегрирования есть некоторая кривая или поверхность.
Криволинейные интегралы имеют широкое применение при решении задач физики, теоретической механики, техники.

 

Пусть точка C на пути (ориентированной линии) l делит его на два пути l1 и l2 с той же ориентацией, т.е. символически делит его на два пути l1 и l2, тоl1+l2G∙dl=l1G∙dl+l2G∙dl(т.е., если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл, стоящий слева и равен выражению, стоящему справа).Линейность. Для любых чисел α,β∈R и векторных полей F и G справедливо равенство:lα∙F+β∙G∙dl=αlF∙dl+β∙lG∙dl(если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правой части).Теорема об оценке. Если путь l имеет длину L, и в любой точке M∈l для векторного поля G(M) справедливо неравенство G(M)≤C, то справедлива оценка lG∙dl≤C∙l.Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.Пусть функции Px,y и Qx,y имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.Проведем две произвольные кривые MSN и MTN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.3).Рисунок 3Пусть,Тогда.Следовательно,Условие независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.Замечание 1. Для трехмерного пространства необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интегралаот пути интегрирования являются:. (3)Замечание 2. При выполнении условий (3) выражение Pdx+Qdy+Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования.При этом функцию и находят по формуле: (4)где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.1.3 Параметрическое представление кривой интегрированияТеорема 1.2. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениямиx = х(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β ,где х(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда имеет место равенство:. (5)Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегралов вида , откуда следует, что (6)1.4 Формула Остроградского-ГринаСвязь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского –Грина (8).Пусть на плоскости Оху задана правильная область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точкахyРисунок 4.Теорема 1.3. Если функции P(x, y) и Q(x, y),непрерывны и имеют непрерывные частные производные в области D, то имеет место формула:(7)При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Если изменить направление обхода, то равенство (7) примет вид: (8)Замечание 2. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки. Это направление считается положительным.1.5 Примеры вычисления криволинейного интеграла 2 родаПример 1. Вычислить криволинейный интеграл второго родаly dx+x dyпо кривой l с началом O(0,0) и концом A(1,1), если:l – отрезок OA.l – дуга параболы y=x2.Решение:Поскольку отрезок OA задается уравнением y=x, 0≤x≤1, то ly dx+x dy= 01x dx+ 01x dx=1.Так как l – дуга параболы y=x2, тоly dx+x dy= 01x2 dx+012x2 dx= 013x2 dx=1.Пример 2. Вычислить интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0).Решение:Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:ПроизводныеПример 3. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуругде по контуру L, состоящему из частей кривых у = -х2 и у = -1 (направление обхода положительно).Решение:Рисунок 4Применим формулу (7):Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл по произвольной кривой, соединяющей точки А(1, 2, 3) и В(2, 3, 5).Решение:Проверим выполнение условия (3): Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (4), при x0 = y0 = z0 = 0. При С = 0, u = xyz. 2. Поверхностный интеграл 2 рода2.1 Основные понятия и вычисление поверхностного интеграла 2 родаПоверхностные интегралы представляют собой естественное обобщение двойных интегралов. Поверхностный интеграл 2 рода определяется аналогично криволинейному интегралу 2 рода.Пусть задана двусторонняя поверхность S, т.е. любая поверхность, задаваемая уравнением z=fx,y(рис.5). Обозначим p=∂z∂x, q=∂z∂y.Тогда N=p,q,-1 – нормаль к поверхности S в точке(x,y,fx,y).