Вход

Геометрия прямых и плоскостей многомерных евклидовых пространств

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 276079
Дата создания 30 ноября 2014
Страниц 35
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 29 марта в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
1 500руб.
КУПИТЬ

Описание

Объект: обобщение понятий прямой и плоскости на случай пространства произвольной размерности.
Предмет: обобщение понятий: расстояние между прямыми, плоскостями, точкой и прямой, прямой и плоскости; стационарные углы между плоскостями; взаимное расположение плоскостей, прямых и др.
Цель: изучить указанные обобщения и привести примеры применения многомерной геометрии.
Задачи:
1. Получить формулы для вычисления расстояния от точки до прямой, между двумя прямыми, между точкой и гиперплоскостью, между параллельными гиперплоскостями.
2. Определить операторные уравнения m-плоскости, вывести уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на m-плоскость, а так же формулу для вычисления расстояния от точки до m-плоскости.
3. Исследовать взаимное расположение двух m-плоскостей, вывести уравнение обще ...

Содержание

Оглавление
Введение 3
Глава I. Геометрия прямых линий и плоскостей. 5
1.1.Понятие прямой линии. Уравнения прямой линии. 5
1.2. Расстояние от точки до прямой линии 6
1.3.Расстояние между двумя прямыми. 7
1.4.Понятие плоскости. Уравнения плоскости. 11
1.5. Расстояние от точки до плоскости. 15
1.6. Расстояние между параллельными плоскостя¬ми.16
Глава II. Геометрия m-плоскостей. 18
2.1.Операторные уравнения m-плоскости. 18
2.2.Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плоскость. 21
2.3.Расстояние от точки до m-плоскости. 22
2.4.Взаимное расположение двух m-плоскостей. 23
2.5.Общий перпендикуляр двух скрещивающихся m-плоскостей и
расстояние между двумя m-плоскостями. 26
2.6.Стационарные углы между двумя m-плоскостями. 27
Глава III. Применение многомерной геометрии 31
3.1.О необходимости введения многомерного пространства (на
примерах задач) 31
Заключение 34
Литература 35

Введение

Введение
Многомерное пространство - пространство, имеющее размерность более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости — двумерны, прямые — одномерны. Возникновение понятия многомерное пространство связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства.

Фрагмент работы для ознакомления

Так как векторы этих переносов имеют вид aata (где a - индекс, a:1, 2, … , m), где ta принимают все вещественные значения, радиус-векторы точек m- плоскости имеют видx=x0+aata (1.19)Уравнение (1.19) называется векторным уравнением m-плоскости. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения произвольной m-поверхностиx=f(t1,t2,…,tm) (1.20)Где ta принимают все вещественные значения. Аргументы ta функций (1.19) и (1.20) называются параметрами m-плоскости. Векторы aa называются направляющими векторами m-плоскости. Часто мы будем предполагать, что векторы aa - единичные взаимно перпендикулярные векторы, т.е.aaab=δab (1.21) Две различные плоскости, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными плоскостями. Так, напри-мер, две различные m-плоскости с векторными уравнениямиx=x1+aata, x=x2+aata ,проходящие через точки M1x1, M2x2, параллельны. Координатные уравнения m-плоскости. Уравнение (1.19) равносильно n координатным уравнениям (i- индекс, i:1, 2,…, n ) xi=x0i+aaita (1.22)Уравнения (1.22) называют параметрическими уравнениями m-плоскости в координатах. Уравнения (1.22) являются частными случаями координатных уравнений xi=fit1,t2,…,tm, (1.23)произвольной m-поверхности, равносильных векторному уравнению (1.20).Уравнения m-плоскости по m+1 точкам. Если заданы m+1 точек M0x0, M1x1,…, Mmxm и векторы M0Ma=xa-x0 линейно независимы, то эти точки определяют единственную m-плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы M0Ma и векторное уравнение m-плоскости может быть записано в виде x=x0+(xa-x0)ta . (1.24)Будем называть m-плоскость, определяемую точками M0,M1,…,Mm , m-плоскостью M0M1…Mm .Случай m = n - 1. В дальнейшем мы будем часто иметь дело с m-поверхностями и m-плоскостями при m=n-1. Поэтому в дальнейшем, говоря «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства », мы будем иметь в виду (n-1)-поверхность и (n-1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называют соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью. Векторные уравнения поверхности и плоскости имеют соответственно вид (1.20) и (1.19) при m =n - 1, их координатные уравнения имеют соответственно вид (1.23) и (1.22) при m = n- 1.Поверхность можно задать одним координатным уравнением Fx1,…,xn=0 , (1.25)Если координаты xi, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n - 1 параметров t1,t2,…,tn-1; в этом случае поверхность можно задать и равносильным уравнению (1.25) векторным уравнением Fx=0 . (1.26)Векторное уравнение плоскости. Если мы умножим обе части уравнения (1.19) скалярно на вектор u, перпендикулярный всем векторам aa мы получим уравнениеux=ux0Или, если мы обозначим ux0=-v,ux+v=0. (1.27)Вектор u, перпендикулярный ко всем векторам aa и, следовательно, ко всем векторам, направленным по плоскости, называется нормальным вектором плоскости. Часто за вектор u принимают единичный вектор.Уравнение (1.27) называется векторным уравнением плоскости.Координатное уравнение плоскости. Если в n- пространстве введены аффинные координаты с базисом ei и взаимным базисом ei и если x=xiei и u=uiei , то уравнение (1.27) может быть переписано в аффинных координатах в виде uixi+v=0. (1.28)В случае прямоугольных координат, когда ei=ei, координаты ui совпадают с координатами вектора u по отношению к базису ei.Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если задана точка с координатами M0x0 плоскости и ее нормальный вектор u, то так как вектор x0 удовлетворяет уравнению (1.27) плоскости, мы получаем, чтоux0+v=0.Вычитая обе части этого равенства из соответственных частей уравнения (1.27), мы получаем уравнение плоскости в виде u(x-x0)=0 . (1.29)Это уравнение равносильно координатному уравнениюuixi-x0i=0. (1.30)Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам. Если задана точка M0x0 плоскости и ее направляющие векторы aa , то за нормальный вектор плоскости может быть принято векторное произведение всех векторов aa , т.е. u=a1a2…an-1. (1.31)Поэтому подставляя это значение вектора u в уравнение (1.29), мы получим уравнение плоскости в виде равенства нулю косого произведения x-x0a1a2…an-1=0. (1.32)Уравнение (1.32) можно переписать в виде равенства нулю определителя x1-x01a11…an-11x2-x02a12…an-12xn-x0na1n…an-1n=0. (1.33)Уравнение плоскости по n точкам. Плоскость определяется n точками M0,M1,…,Mn-1 , для которых векторы M0Ma=xa-x0 (a:1, 2, …, n-1 )линейно независимы. Поэтому за нормальный вектор плоскости может быть принято векторное произведение всех векторов M0Ma , т.е. u=x1-x0x2-x0…(xn-1-x0). (1.34)Поэтому, подставляя это значение вектора u в уравнение (1.29), мы получим уравнение плоскости в виде равенства нулю косого произведения x1-x0x2-x0…xn-1-x0(x-x0)=0. (1.35)Уравнение (1.35) можно переписать в координатах в виде равенства нулю определителя x11-x01…xn-11-x01x1-x01x12-x02…xn-12-x02x2-x02x1n-x0n…xn-1n-x0nxn-x0n=0. (3.38)Угол между плоскостями. Будем называть углом между двумя плоскостями тот из углов между нормальными векторами этих плоскостей, который ≤ π2 . Поэтому, если нормальные векторы двух плоскостей – векторы u и v, угол φ между этими плоскостями – тот из углов φ1 и φ2, определяющихся соотношениемcosφ1=uvuv, cosφ2=-uvuv ,Который ≤ π2 . Поэтому угол φ между плоскостями с нормальными векторами u и v определяется соотношением cosφ=uvuv (1.39)1.5. Расстояние от точки до плоскости.Будем называть расстоянием от точки до т-плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек т-плоскости. Так как минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую, расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на т-плоскость.Найдем расстояние от точки M(x) до плоскости (1.27). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость, имеет вид x=x+ut (1.40) Основание этого перпендикуляра соответствует значению t, для которого вектор (1.40) удовлетворяет уравнению (1.27), т.е. это значение t равноt=-ux+vu2 (1.41)Так как расстояние от точки Mx до произвольной точки плоскости (1.40) равно ut, расстояние от точки M до основания перпендикуляра равно значению ut, где t имеет значение (1.41), и , следовательно, расстояние от точки M до плоскости (1.27) равноω=ux+vu (1.42)В частности, расстояние плоскости от начала (x=0) равноω=vu (1.43)В случае, когда нормальный вектор – единичный, формулу (1.42) можно переписать в видеω=ux+v, (1.44)А формулу (1.43) - в виде ω=v.Таким образом, в случае, когда нормальный вектор – единичный, абсолютная величина свободного члена v равна расстоянию плоскости от начала. 1.6. Расстояние между параллельными плоскостями.Так как у двух параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы aa, нормальные векторы параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. В самом деле, расстояние от произвольной точки M(x+aata) плоскости, проведенной через точку Mx параллельно данной плоскости (1.27) с направляющими векторами aa, в силу (1.42) равноux+aata+vu=ux+vuт. е. равно расстоянию ω от точки M до той же плоскости. Будем называть число, равное этим равным между собой расстояниям, расстоянием между параллельными плоскостями. Если уравнения двух параллельных плоскостей записаны в видеux+v1=0, ux+v2=0, (1.45)то расстояние между ними равно расстоянию от точки Mx, лежащей на второй плоскости, до первой плоскости. В силу (3.42) это расстояние равноω=ux+v1uНо так как точка M лежит на второй плоскости, вектор x удовлетво-ряет уравнению этой плоскости, т. е. ux+v2=0 . Поэтому расстояние между плоскостями (1.45) равноω=v1-v2u (1.46)Глава II. Геометрия m-плоскостей.2.1.Операторные уравнения m-плоскости. Уравнения m-плоскости. Если гиперповерхность (п-1- поверхность) можно задать одним координатным уравнением (1.25), то m-поверхность можно задать п — т координатными уравнениямиFm+1x1,…,xn=0,…,Fnx1,…,xn=0 (2.1)если координаты xi, удовлетворяющие этим уравнениям, можно представить как функции т параметров ta; в этом случае m-поверхность можно задать и п — т векторными уравнениямиFm+1x=0,…,Fnx=0, (2.2)которые при т = п — 1 сводятся к одному уравнению (1.28).Для того чтобы получить уравнения (2.1) или (2.2) для m-плоскости, дополним векторы a1,…,am, входящие в векторное уравнение (1.19) m-плоскости, векторами bm+1,…,bn до линейно независимого базиса n-пространства. Тогда для каждого вектора bu, (условимся обозначать индексы, изменяющиеся от m+1до n, через u,v,…) через точку M0x0 m-плоскости проходит плоскость с направляющими векторами a1,…,am, bm+1,…,bu-1, bu+1, bn, имеющая уравнениеx=x0+aata+bm+1tm+1+…+bu-1tu-1+bu+1tu+1+…+bntn (a – индекс, a:1, 2,…, m)Таким образом, т-плоскость можно рассматривать как пересечение п — т плоскостей. Если мы введем обозначениеuu=a1…ambm+1…bu-1 bu+1 bn,эти плоскости можно определить уравнениямиuux-x0=0 (2.3)илиuux+vu=0. (2.4)Уравнения (2.4) и представляют собой уравнения (2.2) для m-плоскости. Уравнения (2.4) равносильны координатным уравнениямuiuxi+vu=0, (2.5)(i – индекс, i:1, 2, …, n).представляющим собой уравнения (2.1) для m-плоскости.Часто за векторы bu принимаются единичные взаимно перпендикулярные векторы, перпендикулярные векторам aa, т.е.bubv=δuv, aabu=0.Если векторы aa также единичны и взаимно перпендикулярны, т.е. удовлетворяют условию (1.21), векторы bu совпадают с векторами uu и, следовательно,uuuv=δuv, aauu=0. (2.6)Операторные уравнения m-плоскости. Координаты векторов aa и uu можно рассматривать как элементы матриц прямоугольных операторовA=aai, U=uiu. (2.7)Матрица aai состоит из m столбцов и n строк (т.к. a:1, 2,…, m , а i:1, 2,…, n ), матрица uiu состоит из n столбцов и m строк. Геометрический смысл этих операторов следующий: оператор А взаимно однозначно отображает векторы t=taea некоторого m-пространства с базисными векторами ea на векторы At=aata n-пространства, образующие m-подпространство этого пространства. Транспонированный оператор AT отображает векторы n-пространства на векторы m-пространства, но он применяется не к любым операторам n-пространства, а только к векторам вида aata. Оператор А можно записать в видеA=aaea,Где ea- базис m-пространства, взаимный с базисом ea, а равенства Aea=aa вытекают из того, чтоAt=Ataea=Aeata=aata.Отсюда следует, чтоAT=eaaa.Поэтому если оператор AT действует на вектор b, перпендикулярный всем векторам aa, то ATb=0, и, следовательно, если оператор AT действует на произвольный вектор n-пространства, который можно представит в виде суммы вектора b, перпендикулярного всем векторам aa, и вектора с, являющегося их линейной комбинацией, то ATb+c=ATc.Оператор UT, полученный транспонированием оператора U, взаимно однозначно отображает вектор t=tueu векторного (n - m)-пространства с базисными векторами eu на векторы UTt=tueu n-пространства, образующие (n - m)-пространство этого пространства. Поэтому оператор U отображает векторы n-пространства на векторы (n - m)-пространства. Так же как в случае оператора AT, показывается, что если оператор U действует на вектор v, перпендикулярный всем векторам uu, то Uv=0 и, следовательно, если он действует на произвольный вектор n-пространства, который можно представить в виде суммы вектора v, перпендикулярного всем векторам uu, и вектора w, являющегося их линейной комбинацией, то Uv+w=Uw.Так как вектор aata может быть записан в виде At, а числа uiuxi и vu можно рассматривать как координаты векторов (n - m)-пространства Ux и v, то уравнения (1.19) и (2.4) m-плоскости можно записать при помощи операторов A и U в видеx=x0+At (2.8)иUx+v=0. (2.9)Будем называть уравнения (2.8) и (2.9) операторными уравнениями m-плоскости. Уравнение (2.8) является обобщением векторного уравнения (1.1) прямой, а уравнение (2.9) является обобщением векторного уравнения (1.27) плоскости: при т = 1 в уравнении (2.57) вектор t имеет только одну координату и его можно заменить числом t, а матрица А состоит из одного столбца, элементы которого можно рассматривать как координаты вектора а, а при т = п — 1 в уравнении (2.9) вектор v имеет только одну координату и его можно заменить числом v, а матрица U состоит из одной строки, элементы которой можно рассматривать как координаты вектора u, умножающегося скалярно на вектор х.В случае, когда векторы aa единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. удовлетворяют условию (1.21), матрица A=(aai) удовлетворяет условиюδijaaiabj=δab,которое можно переписать в видеATA=I. (2.10)В случае, когда векторы uu единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. удовлетворяют условию (2.6), матрица U=(uni) удовлетворяет условиюδijuuuv=δuv,которое можно переписать в видеUUT=I. (2.11)2.2.Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плоскость.Требуя, чтобы отрезок MN, соединяющий точку M(x) с произвольной точкой N m-плоскости, заданной уравнением (1.19), был перпендикулярен всем векторам aa, т. е. чтобы вектор x-x0-aata был перпендикулярен всем векторам aa, мы получаем условияx-x0-aataab=0,которые можно переписать в виде системы уравненийx-x0ab=aaabta. (2.12)Это — система т линейных уравнений с т неизвестными ta. Так как векторы aa линейно независимы, определитель матрицы (aa ab)т. е. определитель Грама, составленный на этих векторов, отличен от нуля и система уравнений (2.12) обладает единственной системой решений.Эти решения особенно легко найти, если переписать систему уравнений (2.12) при помощи матрицы A=(aai) и вектора t с координатами ta в виде векторного уравнения ATx-x0=ATAt. (2.13)Решение уравнения (2.13) имеет вид t=ATA-1ATx-x0. (2.14)В случае, если векторы aa единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. aa ab=δab , уравнения (2.12) принимают видta=x-x0aa, (2.15)непосредственно дающий нам искомые значения ta; формула (2.15) равносильна формуле t=ATx-x0, (2.16) получающейся в этом случае из (2.14) в силу (2.10). Подставляя найденные значения ta в формулу (2.8), мы получим радиус-вектор основания перпендикуляра в виде y=x0+AAT A-1AT(x-x0). (2.17)2.3.Расстояние от точки до m-плоскости.Мы видели, что расстояние ω от точки М(х) до m-плоскости равно расстоянию от точки М до основания N(y) перпендикуляра, опущенного из точки М на m-плоскость. Это расстояние, равное длине вектора MN=y-x=AATA-1AT-I(x-x0),определяется соотношением ω2=y-x2= = x-x0 А AT A-1 AT-ITА AT A-1 AT-I(x-x0) = =x-x0А AT A-1 AT-I2x-x0=x-x0I-А AT A-1 ATx-x0, т.е. ω2=x-x0I-А AT A-1 ATx-x0 (2.18)В том случае, когда векторы aa, единичны и взаимно перпендику-лярны, оператор А удовлетворяет условию (2.10) в формулу (2.18) можнопереписать в виде ω2=x-x0(I-AAT)x-x0 (2.19)В случае т = 1, когда матрица оператора А состоит из одного столбца, элементы которого можно рассматривать как координаты вектора а, произведение AT А совпадает с числом a2 и, следовательно, матрица AT A-1 совпадает с числом 1a2 , а произведение AAT совпадает с операторным произведением аа и формула (2.18) приобретает вид ω2=x-x0(a2I-aa)x-x0a2=x-x02a2-(a(x-x0))2a2что совпадает с формулой (1.10).2.4.Взаимное расположение двух m-плоскостей.Взаимное расположение двух непересекающихся плоскостей. Для всяких двух плоскостей в n-пространстве можно определить плоскость наименьшего числа измерений, проходящую через две данные плоскости, и в случае пересечения плоскостей, плоскость наибольшего числа измерений, содержащуюся в обеих данных плоскостях. Первая из этих плоскостей называется суммой данных плоскостей, а вторая — совпадает с пересечением этих плоскостей.Если m-плоскость и l-плоскостьx=x1+aata и x=x2+bbub (2.20)где индекс b принимает значения от 1 до l, не пересекаются и не имеют общих направлений, т. е. все векторы bb линейно независимы от всех векторов aa, то сумма этих плоскостей является (т + l + 1)-плоскостью. В самом деле, в этом случае вектор x2-x1 также линейно независим от векторов aa и bb, так как если бы между этими векторами имела бы место линейная зависимостьx2-x1=aata-bbub,то ее можно было бы записать в видеx1+aata=x2+bbub,т. е. эти плоскости имели бы общую точку. Поэтому сумма плоскостей (2.

Список литературы

Литература
1. Александров А. Д., Нецветаева Н. Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
2. Атанасян Л. С. Геометрия. Ч. 2 – М., 1987.
3. Базылев В. Т. и др. Геометрия. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. институтов – М.: «Просвещение», 1975.
4. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970.
5. Парнасский И. В. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1978.
6. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966.
7. Хлопонина Э. П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: Учебное пособие, ч. 1 – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.
Очень похожие работы
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.01117
© Рефератбанк, 2002 - 2024