Геометрия прямых и плоскостей многомерных евклидовых пространств

Объект: обобщение понятий прямой и плоскости на случай пространства произвольной размерности.
Предмет: обобщение понятий: расстояние между прямыми, плоскостями, точкой и прямой, прямой и плоскости; стационарные углы между плоскостями; взаимное расположение плоскостей, прямых и др.
Цель: изучить указанные обобщения и привести примеры применения многомерной геометрии.
Задачи:
1. Получить формулы для вычисления расстояния от точки до прямой, между двумя прямыми, между точкой и гиперплоскостью, между параллельными гиперплоскостями.
2. Определить операторные уравнения m-плоскости, вывести уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на m-плоскость, а так же формулу для вычисления расстояния от точки до m-плоскости.
3. Исследовать взаимное расположение двух m-плоскостей, вывести уравнение обще ...

Оглавление
Введение 3
Глава I. Геометрия прямых линий и плоскостей. 5
1.1.Понятие прямой линии. Уравнения прямой линии. 5
1.2. Расстояние от точки до прямой линии 6
1.3.Расстояние между двумя прямыми. 7
1.4.Понятие плоскости. Уравнения плоскости. 11
1.5. Расстояние от точки до плоскости. 15
1.6. Расстояние между параллельными плоскостя¬ми.16
Глава II. Геометрия m-плоскостей. 18
2.1.Операторные уравнения m-плоскости. 18
2.2.Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плоскость. 21
2.3.Расстояние от точки до m-плоскости. 22
2.4.Взаимное расположение двух m-плоскостей. 23
2.5.Общий перпендикуляр двух скрещивающихся m-плоскостей и
расстояние между двумя m-плоскостями. 26
2.6.Стационарные углы между двумя m-плоскостями. 27
Глава III. Применение многомерной геометрии 31
3.1.О необходимости введения многомерного пространства (на
примерах задач) 31
Заключение 34
Литература 35

Введение
Многомерное пространство - пространство, имеющее размерность более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости — двумерны, прямые — одномерны. Возникновение понятия многомерное пространство связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства.

Так как векторы этих переносов имеют вид aata (где a - индекс, a:1, 2, … , m), где ta принимают все вещественные значения, радиус-векторы точек m- плоскости имеют видx=x0+aata (1.19)Уравнение (1.19) называется векторным уравнением m-плоскости. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения произвольной m-поверхностиx=f(t1,t2,…,tm) (1.20)Где ta принимают все вещественные значения. Аргументы ta функций (1.19) и (1.20) называются параметрами m-плоскости. Векторы aa называются направляющими векторами m-плоскости. Часто мы будем предполагать, что векторы aa - единичные взаимно перпендикулярные векторы, т.е.aaab=δab (1.21) Две различные плоскости, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными плоскостями. Так, напри-мер, две различные m-плоскости с векторными уравнениямиx=x1+aata, x=x2+aata ,проходящие через точки M1x1, M2x2, параллельны. Координатные уравнения m-плоскости. Уравнение (1.19) равносильно n координатным уравнениям (i- индекс, i:1, 2,…, n ) xi=x0i+aaita (1.22)Уравнения (1.22) называют параметрическими уравнениями m-плоскости в координатах. Уравнения (1.22) являются частными случаями координатных уравнений xi=fit1,t2,…,tm, (1.23)произвольной m-поверхности, равносильных векторному уравнению (1.20).Уравнения m-плоскости по m+1 точкам. Если заданы m+1 точек M0x0, M1x1,…, Mmxm и векторы M0Ma=xa-x0 линейно независимы, то эти точки определяют единственную m-плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы M0Ma и векторное уравнение m-плоскости может быть записано в виде x=x0+(xa-x0)ta . (1.24)Будем называть m-плоскость, определяемую точками M0,M1,…,Mm , m-плоскостью M0M1…Mm .Случай m = n - 1. В дальнейшем мы будем часто иметь дело с m-поверхностями и m-плоскостями при m=n-1. Поэтому в дальнейшем, говоря «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства », мы будем иметь в виду (n-1)-поверхность и (n-1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называют соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью. Векторные уравнения поверхности и плоскости имеют соответственно вид (1.20) и (1.19) при m =n - 1, их координатные уравнения имеют соответственно вид (1.23) и (1.22) при m = n- 1.Поверхность можно задать одним координатным уравнением Fx1,…,xn=0 , (1.25)Если координаты xi, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n - 1 параметров t1,t2,…,tn-1; в этом случае поверхность можно задать и равносильным уравнению (1.25) векторным уравнением Fx=0 . (1.26)Векторное уравнение плоскости. Если мы умножим обе части уравнения (1.19) скалярно на вектор u, перпендикулярный всем векторам aa мы получим уравнениеux=ux0Или, если мы обозначим ux0=-v,ux+v=0. (1.27)Вектор u, перпендикулярный ко всем векторам aa и, следовательно, ко всем векторам, направленным по плоскости, называется нормальным вектором плоскости. Часто за вектор u принимают единичный вектор.Уравнение (1.27) называется векторным уравнением плоскости.Координатное уравнение плоскости. Если в n- пространстве введены аффинные координаты с базисом ei и взаимным базисом ei и если x=xiei и u=uiei , то уравнение (1.27) может быть переписано в аффинных координатах в виде uixi+v=0. (1.28)В случае прямоугольных координат, когда ei=ei, координаты ui совпадают с координатами вектора u по отношению к базису ei.Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если задана точка с координатами M0x0 плоскости и ее нормальный вектор u, то так как вектор x0 удовлетворяет уравнению (1.27) плоскости, мы получаем, чтоux0+v=0.Вычитая обе части этого равенства из соответственных частей уравнения (1.27), мы получаем уравнение плоскости в виде u(x-x0)=0 . (1.29)Это уравнение равносильно координатному уравнениюuixi-x0i=0. (1.30)Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам. Если задана точка M0x0 плоскости и ее направляющие векторы aa , то за нормальный вектор плоскости может быть принято векторное произведение всех векторов aa , т.е. u=a1a2…an-1. (1.31)Поэтому подставляя это значение вектора u в уравнение (1.29), мы получим уравнение плоскости в виде равенства нулю косого произведения x-x0a1a2…an-1=0. (1.32)Уравнение (1.32) можно переписать в виде равенства нулю определителя x1-x01a11…an-11x2-x02a12…an-12xn-x0na1n…an-1n=0. (1.33)Уравнение плоскости по n точкам. Плоскость определяется n точками M0,M1,…,Mn-1 , для которых векторы M0Ma=xa-x0 (a:1, 2, …, n-1 )линейно независимы. Поэтому за нормальный вектор плоскости может быть принято векторное произведение всех векторов M0Ma , т.е. u=x1-x0x2-x0…(xn-1-x0). (1.34)Поэтому, подставляя это значение вектора u в уравнение (1.29), мы получим уравнение плоскости в виде равенства нулю косого произведения x1-x0x2-x0…xn-1-x0(x-x0)=0. (1.35)Уравнение (1.35) можно переписать в координатах в виде равенства нулю определителя x11-x01…xn-11-x01x1-x01x12-x02…xn-12-x02x2-x02x1n-x0n…xn-1n-x0nxn-x0n=0. (3.38)Угол между плоскостями. Будем называть углом между двумя плоскостями тот из углов между нормальными векторами этих плоскостей, который ≤ π2 . Поэтому, если нормальные векторы двух плоскостей – векторы u и v, угол φ между этими плоскостями – тот из углов φ1 и φ2, определяющихся соотношениемcosφ1=uvuv, cosφ2=-uvuv ,Который ≤ π2 . Поэтому угол φ между плоскостями с нормальными векторами u и v определяется соотношением cosφ=uvuv (1.39)1.5. Расстояние от точки до плоскости.Будем называть расстоянием от точки до т-плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек т-плоскости. Так как минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую, расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на т-плоскость.Найдем расстояние от точки M(x) до плоскости (1.27). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость, имеет вид x=x+ut (1.40) Основание этого перпендикуляра соответствует значению t, для которого вектор (1.40) удовлетворяет уравнению (1.27), т.е. это значение t равноt=-ux+vu2 (1.41)Так как расстояние от точки Mx до произвольной точки плоскости (1.40) равно ut, расстояние от точки M до основания перпендикуляра равно значению ut, где t имеет значение (1.41), и , следовательно, расстояние от точки M до плоскости (1.27) равноω=ux+vu (1.42)В частности, расстояние плоскости от начала (x=0) равноω=vu (1.43)В случае, когда нормальный вектор – единичный, формулу (1.42) можно переписать в видеω=ux+v, (1.44)А формулу (1.43) - в виде ω=v.Таким образом, в случае, когда нормальный вектор – единичный, абсолютная величина свободного члена v равна расстоянию плоскости от начала. 1.6. Расстояние между параллельными плоскостями.Так как у двух параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы aa, нормальные векторы параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. В самом деле, расстояние от произвольной точки M(x+aata) плоскости, проведенной через точку Mx параллельно данной плоскости (1.27) с направляющими векторами aa, в силу (1.42) равноux+aata+vu=ux+vuт. е. равно расстоянию ω от точки M до той же плоскости. Будем называть число, равное этим равным между собой расстояниям, расстоянием между параллельными плоскостями. Если уравнения двух параллельных плоскостей записаны в видеux+v1=0, ux+v2=0, (1.45)то расстояние между ними равно расстоянию от точки Mx, лежащей на второй плоскости, до первой плоскости. В силу (3.42) это расстояние равноω=ux+v1uНо так как точка M лежит на второй плоскости, вектор x удовлетво-ряет уравнению этой плоскости, т. е. ux+v2=0 . Поэтому расстояние между плоскостями (1.45) равноω=v1-v2u (1.46)Глава II. Геометрия m-плоскостей.2.1.Операторные уравнения m-плоскости. Уравнения m-плоскости. Если гиперповерхность (п-1- поверхность) можно задать одним координатным уравнением (1.25), то m-поверхность можно задать п — т координатными уравнениямиFm+1x1,…,xn=0,…,Fnx1,…,xn=0 (2.1)если координаты xi, удовлетворяющие этим уравнениям, можно представить как функции т параметров ta; в этом случае m-поверхность можно задать и п — т векторными уравнениямиFm+1x=0,…,Fnx=0, (2.2)которые при т = п — 1 сводятся к одному уравнению (1.28).Для того чтобы получить уравнения (2.1) или (2.2) для m-плоскости, дополним векторы a1,…,am, входящие в векторное уравнение (1.19) m-плоскости, векторами bm+1,…,bn до линейно независимого базиса n-пространства. Тогда для каждого вектора bu, (условимся обозначать индексы, изменяющиеся от m+1до n, через u,v,…) через точку M0x0 m-плоскости проходит плоскость с направляющими векторами a1,…,am, bm+1,…,bu-1, bu+1, bn, имеющая уравнениеx=x0+aata+bm+1tm+1+…+bu-1tu-1+bu+1tu+1+…+bntn (a – индекс, a:1, 2,…, m)Таким образом, т-плоскость можно рассматривать как пересечение п — т плоскостей. Если мы введем обозначениеuu=a1…ambm+1…bu-1 bu+1 bn,эти плоскости можно определить уравнениямиuux-x0=0 (2.3)илиuux+vu=0. (2.4)Уравнения (2.4) и представляют собой уравнения (2.2) для m-плоскости. Уравнения (2.4) равносильны координатным уравнениямuiuxi+vu=0, (2.5)(i – индекс, i:1, 2, …, n).представляющим собой уравнения (2.1) для m-плоскости.Часто за векторы bu принимаются единичные взаимно перпендикулярные векторы, перпендикулярные векторам aa, т.е.bubv=δuv, aabu=0.Если векторы aa также единичны и взаимно перпендикулярны, т.е. удовлетворяют условию (1.21), векторы bu совпадают с векторами uu и, следовательно,uuuv=δuv, aauu=0. (2.6)Операторные уравнения m-плоскости. Координаты векторов aa и uu можно рассматривать как элементы матриц прямоугольных операторовA=aai, U=uiu. (2.7)Матрица aai состоит из m столбцов и n строк (т.к. a:1, 2,…, m , а i:1, 2,…, n ), матрица uiu состоит из n столбцов и m строк. Геометрический смысл этих операторов следующий: оператор А взаимно однозначно отображает векторы t=taea некоторого m-пространства с базисными векторами ea на векторы At=aata n-пространства, образующие m-подпространство этого пространства. Транспонированный оператор AT отображает векторы n-пространства на векторы m-пространства, но он применяется не к любым операторам n-пространства, а только к векторам вида aata. Оператор А можно записать в видеA=aaea,Где ea- базис m-пространства, взаимный с базисом ea, а равенства Aea=aa вытекают из того, чтоAt=Ataea=Aeata=aata.Отсюда следует, чтоAT=eaaa.Поэтому если оператор AT действует на вектор b, перпендикулярный всем векторам aa, то ATb=0, и, следовательно, если оператор AT действует на произвольный вектор n-пространства, который можно представит в виде суммы вектора b, перпендикулярного всем векторам aa, и вектора с, являющегося их линейной комбинацией, то ATb+c=ATc.Оператор UT, полученный транспонированием оператора U, взаимно однозначно отображает вектор t=tueu векторного (n - m)-пространства с базисными векторами eu на векторы UTt=tueu n-пространства, образующие (n - m)-пространство этого пространства. Поэтому оператор U отображает векторы n-пространства на векторы (n - m)-пространства. Так же как в случае оператора AT, показывается, что если оператор U действует на вектор v, перпендикулярный всем векторам uu, то Uv=0 и, следовательно, если он действует на произвольный вектор n-пространства, который можно представить в виде суммы вектора v, перпендикулярного всем векторам uu, и вектора w, являющегося их линейной комбинацией, то Uv+w=Uw.Так как вектор aata может быть записан в виде At, а числа uiuxi и vu можно рассматривать как координаты векторов (n - m)-пространства Ux и v, то уравнения (1.19) и (2.4) m-плоскости можно записать при помощи операторов A и U в видеx=x0+At (2.8)иUx+v=0. (2.9)Будем называть уравнения (2.8) и (2.9) операторными уравнениями m-плоскости. Уравнение (2.8) является обобщением векторного уравнения (1.1) прямой, а уравнение (2.9) является обобщением векторного уравнения (1.27) плоскости: при т = 1 в уравнении (2.57) вектор t имеет только одну координату и его можно заменить числом t, а матрица А состоит из одного столбца, элементы которого можно рассматривать как координаты вектора а, а при т = п — 1 в уравнении (2.9) вектор v имеет только одну координату и его можно заменить числом v, а матрица U состоит из одной строки, элементы которой можно рассматривать как координаты вектора u, умножающегося скалярно на вектор х.В случае, когда векторы aa единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. удовлетворяют условию (1.21), матрица A=(aai) удовлетворяет условиюδijaaiabj=δab,которое можно переписать в видеATA=I. (2.10)В случае, когда векторы uu единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. удовлетворяют условию (2.6), матрица U=(uni) удовлетворяет условиюδijuuuv=δuv,которое можно переписать в видеUUT=I. (2.11)2.2.Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плоскость.Требуя, чтобы отрезок MN, соединяющий точку M(x) с произвольной точкой N m-плоскости, заданной уравнением (1.19), был перпендикулярен всем векторам aa, т. е. чтобы вектор x-x0-aata был перпендикулярен всем векторам aa, мы получаем условияx-x0-aataab=0,которые можно переписать в виде системы уравненийx-x0ab=aaabta. (2.12)Это — система т линейных уравнений с т неизвестными ta. Так как векторы aa линейно независимы, определитель матрицы (aa ab)т. е. определитель Грама, составленный на этих векторов, отличен от нуля и система уравнений (2.12) обладает единственной системой решений.Эти решения особенно легко найти, если переписать систему уравнений (2.12) при помощи матрицы A=(aai) и вектора t с координатами ta в виде векторного уравнения ATx-x0=ATAt. (2.13)Решение уравнения (2.13) имеет вид t=ATA-1ATx-x0. (2.14)В случае, если векторы aa единичны и взаимно перпендикулярны, т. е. aa ab=δab , уравнения (2.12) принимают видta=x-x0aa, (2.15)непосредственно дающий нам искомые значения ta; формула (2.15) равносильна формуле t=ATx-x0, (2.16) получающейся в этом случае из (2.14) в силу (2.10). Подставляя найденные значения ta в формулу (2.8), мы получим радиус-вектор основания перпендикуляра в виде y=x0+AAT A-1AT(x-x0). (2.17)2.3.Расстояние от точки до m-плоскости.Мы видели, что расстояние ω от точки М(х) до m-плоскости равно расстоянию от точки М до основания N(y) перпендикуляра, опущенного из точки М на m-плоскость. Это расстояние, равное длине вектора MN=y-x=AATA-1AT-I(x-x0),определяется соотношением ω2=y-x2= = x-x0 А AT A-1 AT-ITА AT A-1 AT-I(x-x0) = =x-x0А AT A-1 AT-I2x-x0=x-x0I-А AT A-1 ATx-x0, т.е. ω2=x-x0I-А AT A-1 ATx-x0 (2.18)В том случае, когда векторы aa, единичны и взаимно перпендику-лярны, оператор А удовлетворяет условию (2.10) в формулу (2.18) можнопереписать в виде ω2=x-x0(I-AAT)x-x0 (2.19)В случае т = 1, когда матрица оператора А состоит из одного столбца, элементы которого можно рассматривать как координаты вектора а, произведение AT А совпадает с числом a2 и, следовательно, матрица AT A-1 совпадает с числом 1a2 , а произведение AAT совпадает с операторным произведением аа и формула (2.18) приобретает вид ω2=x-x0(a2I-aa)x-x0a2=x-x02a2-(a(x-x0))2a2что совпадает с формулой (1.10).2.4.Взаимное расположение двух m-плоскостей.Взаимное расположение двух непересекающихся плоскостей. Для всяких двух плоскостей в n-пространстве можно определить плоскость наименьшего числа измерений, проходящую через две данные плоскости, и в случае пересечения плоскостей, плоскость наибольшего числа измерений, содержащуюся в обеих данных плоскостях. Первая из этих плоскостей называется суммой данных плоскостей, а вторая — совпадает с пересечением этих плоскостей.Если m-плоскость и l-плоскостьx=x1+aata и x=x2+bbub (2.20)где индекс b принимает значения от 1 до l, не пересекаются и не имеют общих направлений, т. е. все векторы bb линейно независимы от всех векторов aa, то сумма этих плоскостей является (т + l + 1)-плоскостью. В самом деле, в этом случае вектор x2-x1 также линейно независим от векторов aa и bb, так как если бы между этими векторами имела бы место линейная зависимостьx2-x1=aata-bbub,то ее можно было бы записать в видеx1+aata=x2+bbub,т. е. эти плоскости имели бы общую точку. Поэтому сумма плоскостей (2.