Изучение зависимости между признаками X и Y

Целью данной курсовой работы по теории вероятностей и математической статистике является исследование зависимости между значениями X и Y по данной выборке с помощью метода наименьших квадратов и построению линий регрессий. ...

Введение
Цель и задачи
Исходные данные
Метод наименьших квадратов
Расчет средних значений выборок Xi и Yi
Метод наименьших квадратов для определения p, q, r
Сравнение результатов
Заключение
Список литературы

Математическая статистика - наука, занимающаяся методами обработки данных, полученных в результате наблюдения за случайными событиями. Данная наука распространена и востребована в различных областях нашей жизни. Она часто используется как в таких научных дисциплинах, как экономика, социология, так и на практике на различных предприятиях и в организациях. С помощью статистики можно проследить и установить зависимость между отдельными субъектами данного производства. Математическая статистика — одна из немногих наук, которая необходима специалистам и обычным людям для решения различного рода задач, затрагивающих многие аспекты современного мира.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования(планирование эксперимента ), в ходе исследования (последовательный анализ)и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

МНК используется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным для обработки наблюдений.В простейшем случае, когда нет систематических ошибок, а есть случайные оценки неизвестных величин, полученные с помощью МНК, то они являются линейными функциями от наблюдаемых значений — статистические оценки.Если статистические оценки наблюдений независимы и подчиняются нормальному распределению, то МНК дает оценки неизвестных с наименьшей средней квадратичной ошибкой. В этом смысле МНК является самым лучшим среди других способов, позволяющих находить линейные несмещенные оценки.Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, в частности, с тем, что Y зависит не только от X, но и от других параметров, причем такая связь часто носит случайный характер.В этом случае, имея экспериментальные точки, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом близка экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии. Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где — зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины в виде линейной функции величины X:Y ≅gx=aX+b,где — параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них — МНК. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.Fa, b= i=1100(yi-axi+b)2 где F — суммарное квадратичное отклонение. Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального значения, приравняем частные производные к нулю:-2i=1100yi-axi+bxi=0; -2i=1100yi-axi+b=0;Находим a и b. Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно a и b:i=1100Xi2∙a+i=1100Xi∙b=i=1100XiYi; i=1100Xi∙a +n∙b=i=1100Yi;⇔ Aa+ Bb=C;Ba+ Nb=D.где A = i=1100Xi2, B = i=1100Xi , C = i=1100XiYi , D = i=1100Yi , N — объём выборки.В нашем случае A = 14695,63; B =1080,462; C = - 26168,5; D = -1856,2; N = 100.Найдём a и b из этой линейной. Получим стационарную точку (a0, b0) для F(a, b) где a0 = -2,02; b0 = 3,3.Следовательно, уравнение примет вид: y = -2,02x+ 3,3.Построим график линейной регрессии. Для удобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания.(Рис.1)Рис. 1 Линейная регрессия y=g(x)Теперь построим регрессию x=g(y)Аналогично i=1100Yi2∙c+i=1100Yi∙d=i=1100XiYi; i=1100Yi∙c +n∙d=i=1100Xi;⇔ Ac+ Bd=C;Bc+ Nd=D.где где A = i=1100Yi2, B = i=1100Yi , C = i=1100XiYi , D = i=1100Xi , N — объём выборки.В данном случае A = 46928,88; B = -1856,2; C = - 26168,5; D = -1080,462; N = 100.Найдём c и d из этой линейной. Получим стационарную точку (c0, d0) для F(c,d) где c0 = -0,49; d0 = 1,71.