Курсовая Теория статистических гипотез и ее роль в принятии решений в условиях неопределенности

Курсовая работа по дисциплине Экономический анализ на тему "Теория статистических гипотез и ее роль в принятии решений в условиях неопределенности". ...

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ………………………………………………………............................5
1.1 Понятие, сущность и классификация проверок статистических гипотез…………………………………………………………………………….5
1.2 Выбор критериев для проверки статистических гипотез.............................9
1.3 Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез…………………………………………………………… ……………...14
2 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОВЕРОК СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ………………………………………………………………………...19
2.1 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия Пирсона…………………………………………….19
2.2 Проверка гипотезы с неизвестной дисперсией генеральной совокупности согласно критерию Стьюдента………………………………………………….21
2.3. Проверка гипотезыо законе распределения генеральной совокупности с использованием функций Лапласа…………………………………………......25
2.4 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия Фишера-Снедекора………………………………..29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….34
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….36

Последние годы отмечены стремительным расширением области применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии, управлении и т. д. Один из основных разделов статистики - теория проверки статистических гипотез. Понятие практической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).
Статистическая проверка гипотез проводится с помощью некоторого статистического критерия по общей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения (критической статистики), на основании которой принимается окончательное решение. Например, могут рассматриваться гипотезы об общем законе распределения исследуемой случайной величины, об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности и др. Результат проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе), либо неотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором – ее нельзя считать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы. Для статистической проверки гипотез используются разные критерии. В частности, когда проверяется согласие между выборочным и гипотетическим распределениями, используется критерий согласия, например, критерий Пирсона «хи-квадрат», критерий Колмогорова-Смирнова и др.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:- формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;- выбирается статистическая характеристика гипотезы;- выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий;- определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F) по соответствующей таблице;- вычисляется фактическое значение статистического критерия;- проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется.[4]Уровнем значимости будет называться такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Исходя из величины уровня значимости, можно определить критическую область, под которой понимается такая область значений выборочной характеристики, попадая в которую они будут свидетельствовать о том, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута. К критической области относятся те значения, появление которых при условии верности гипотезы было бы маловероятным.Допустим, что рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область, тогда при условии верности проверяемой гипотезы Н0 вероятность этого события будет не больше уровня значимости. Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным и, следовательно, проверяемая гипотеза Н0 может быть отвергнута.Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза Н0 не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы Н0 равна 1.Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность браковать проверяемую гипотезу, когда она верна, т.е. меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода.Все значения рассматриваемой характеристики, не принадлежащие к критической области образуют так называемую область допустимых значений. Если наблюдаемое значение характеристики находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза принимается с вероятностью.Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н0, чтобы при заданном условии значимости можно было бы найти критическую точку Ккр распределения f(k),которая распределила бы область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н0.[6]Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия Кнабл и определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н0.Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае.Как уже отмечалось ранее, проверка статистических гипотез применяется в разных областях для изучения массовых явлений. Изучение массовых явлений, как правило, осуществляется по неполной информации. В составе собранных данных могут встречаться единичные наблюдения, у которых отдельные значения изучаемых признаков заметно отличаются от общей тенденции изменения большинства значений. Причины таких отличий могут быть разными:1) из-за ошибок наблюдения;2) вследствие случайного стечения различных обстоятельств, каждый из которых в отдельности несущественный, но совокупное их влияние привело к таким резко выделяющимся от общей картины значениям признаков;3) как следствие нарушения однородности изучаемой совокупности.В общем случае все значения изучаемых признаков фиксируются по известным единицам совокупности по их части, отобранной с учетом всех требований. Следовательно, первичные статистические данные, включая и резко «выделяющемся», соответствуют конкретным случаям проявления изучаемого явления. Следовательно, субъективное отбрасывание «выделяющихся» единиц недопустимо.Рассмотрим использование критериев для проверки статистических гипотез на примере закона нормального распределения. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем и методов статистики- при оценке репрезентативности выборки (расчете ошибки выборки и распространении характеристик выборки на генеральную совокупность);- измерении степени тесноты связи и составлении модели регрессии;- построении и использование статистических критериев и др.Как показывают многочисленные статистические исследования, частоты эмпирических распределений за редким исключением будут отличаться от значений теоретического распределения. Расхождения между частотами эмпирического и теоретического распределения могут быть несущественными и объяснены случайностями выборки и существенными при несоответствии выбранного и эмпирического законов распределения.Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону нормального распределения используются особые статистические показатели-критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии К.Пирсона, А.Н. Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем больше эти отклонения, тем хуже теоретическое распределение соответствует эмпирическому. Статистические характеристики таких критериев согласия являются некоторыми функциями этих отклонений.1.3 Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотезПроверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным для в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия Фишера F; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдента и т. д.Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (Кнабл.).Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0), определяемые на заданном уровне значимости а по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (Ккр).Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н0) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 не отклоняется.Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0отклоняется в пользу конкурирующей Н1.Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.Если конкурирующая гипотеза - правосторонняя, например, Н1: а > а0, то и критическая область правосторонняя (рисунок 1). При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (Ккр.п) принимает положительные значения.Рисунок 1Если конкурирующая гипотеза - левосторонняя, например, Н1: а < а0, то и критическая область - левосторонняя (рисунок 2). При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (Ккр.л).Рисунок 2Если конкурирующая гипотеза - двусторонняя, например, Н1: а=а0, то и критическая область - двусторонняя (рисунок 3). При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются 2 критические точки (Ккр.л и Ккр.п).Рисунок 3Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:- если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит критической области, то нулевая гипотезаН0 отклоняется в пользу конкурирующей;- если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить.[4]Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н0 путем сравнения наблюдаемого (Кнабл) и критического значений критерия (Ккр).При правосторонней конкурирующей гипотезе:- если Кнабл < Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;- если Кнабл > Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.При левосторонней конкурирующей гипотезе:- если Кнабл >- Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;- если Кнабл < - Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.При двусторонней конкурирующей гипотезе:- если - Ккр < Кнабл < Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;- если Кнабл > Ккр или Кнабл < -Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:1) сформулировать нулевую Н0 и альтернативную Н1 гипотезы;2) выбрать уровень значимости ;3) в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н0 выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. - специально подобранную случайную величину К точное или приближенное распределение которой заранее известно;4) по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение К (критическую точку или точки);5) на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия Кнабл;6) по виду конкурирующей гипотезы Н1 определить тип критической области;7) определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия Кнабл, и в зависимости от этого -принять решение относительно нулевой гипотезы Н0.Следует заметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить, это не означает, что высказанное предположение о генеральной совокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречат имеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанной могут обладать и другие гипотезы.Можно интерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:- если в результате проверки нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н0, вероятность нулевой гипотезы Н0 больше, а конкурирующей Н1 – меньше 1;- если в результате проверки нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1, то имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Н0, вероятность нулевой гипотезы Н0 меньше, а конкурирующей Н1 – больше 1.[6]2 ПРОВЕРКА РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ2.1 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия ПирсонаИспользование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением Fn(x), которая приближенно подчиняется закону распределения. Гипотеза Н0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.Пример 1. В 7 случаях из 10 фирма-конкурент компании «А» действовала на рынке так, как будто ей заранее были известны решения, принимаемые фирмой «А». На уровне значимости 0,05 определите, случайно ли это, или в фирме «А» работает осведомитель фирмы-конкурента.Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо проверить статистическую гипотезу о том, совпадает ли данное эмпирическое распределение числа действий фирмы-конкурента с равномерным теоретическим распределением.Если ходы, предпринимаемые конкурентом, выбираются случайно, т.е. в фирме «А» – нет осведомителя (инсайдера), то число «правильных» и «неправильных» ее действий должно распределиться поровну, т. е. по 5(10/2), а это и есть отличительная особенность равномерного распределения.Этот вид статистических гипотез относится к гипотезам о виде закона распределения генеральной совокупности.Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.Н0: X~R(а; b) – случайная величина X подчиняется равномерному распределению с параметрами (а; b) (в контексте задачи – «В фирме «А» –нет осведомителя (инсайдера)»; «Распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента – случайно»);Н1:случайная величина X не подчиняется равномерному распределению (в контексте задачи – «В» фирме «А» – есть осведомитель (инсайдер)»; «Распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента – неслучайно»).В качестве критерия для проверки статистических гипотез о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина 2%. Этот критерий называют критерием Пирсона.Составим таблицу распределения эмпирических и теоретических частот (таблица 1).Таблица 1m(эмп) i73m(теор) i55Найдем наблюдаемое значение :Критическое значение (2кр) следует определять с помощью таблиц распределения 2 по уровню значимости и числу степеней свободы k.По условию = 0,05, а число степеней свободы рассчитывается по формуле:  , (1)где k - число степеней свободы; n – число групп выборки; l – число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки (если все параметры предполагаемого закона известны точно, то l =0.По условию задачи, число групп выборки (n) равно 2, так как могут быть только 2 варианта действий фирмы-конкурента: «удачные» и «неудачные», а число неизвестных параметров равномерного распределения (l) равно 0.Отсюда k =2- 0-1=1.Найдем х2кр по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы k = 1:.x2набл < x2кр, следовательно, на данном уровне значимости нулевую гипотезу нельзя отклонить, расхождения эмпирических и теоретических частот - незначимые. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о равномерном распределении генеральной совокупности.Это означает, что для утверждения о том, что действия фирмы-конкурента на рынке неслучайны, нет оснований и на уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что в фирме «А» нет платного осведомителя фирмы-конкурента.Ответ. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что в фирме «А» нет платного осведомителя фирмы-конкурента.2.2 Проверка гипотезы с неизвестной дисперсией генеральной совокупности согласно критерию СтьюдентаЦель использования критерия Стьюдента - выявление достоверности различия между данными двух выборок одной и той же генеральной совокупностиМетод Стьюдента применяется для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.При этом могут представиться следующие случаи:1. По объему:а) обе группы большие ;б) обе группы малые ;в) одна - большая, вторая - малая.2. По составу:а) группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i- варианта первой группы сравнивается с i- вариантой второй группы ;б) группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутри группы).Пример. Техническая норма предусматривает в среднем 40с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих на этой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на нее больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 16 работниц, занятых на ней, и получено среднее время выполнения операции X =42с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если:а) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s – 3,5с;б) выборочное среднее квадратическое отклонение 3,5с.Решение, а) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна (выборка мала, так как n = 16 меньше 30).Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.Н0: а = а0 = 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) равно гипотетически предполагаемому числовому значению а0(применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции соответствует норме).Н1: а > 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) больше числового значения а0 (применительно к условию данной задачи – время выполнения технологической операции больше установленной нормы).Так как конкурирующая гипотеза – правосторонняя, то и критическая область – правосторонняя.В качестве критерия для сравнения неизвестного математического ожидания а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) с гипотетическим числовым значением а0 используется случайная величина t-критерий Стьюдента. (Приложение 2).Его наблюдаемое значение (t набл) рассчитывается по формуле: , (2)где  x – выборочная средняя; а0 – числовое значение генеральной средней; s – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.Найдем наблюдаемое значение t набл:Критическое значение (tкр) следует находить с помощью таблиц распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы k.По условию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле:, (3)где k - число степеней свободы; n - объем выборки..Найдем tкр по уровню значимости а=0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 15:Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1: а <40tкр следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы и присваивать ему знак «минус».