Статистическое исследование распределения среднедушевых доходов за 2009-2013 гг. на основе логнормального распределения

статистическое исследование данных о распределении среднедушевых доходов в России. Первая глава работы посвящена теоретическим аспектам проблемы распределения доходов, а именно: выбор типа распределения, формулы для расчета выборочных характеристик для группированных данных, методы оценки параметров. Следующая глава включает в себя практические результаты исследования, такие как: таблицы с посчитанными выборочными характеристиками, визуализация полученных данных ...

ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 Постановка задачи 5
1.1 Выбор типа распределения 5
1.2 Метод оценки параметров 9
Глава 2 Эмпирическое решение проблемы 11
2.1 Операции с данными о распределении среднедушевых доходов 11
2.2 Операции с данными за 2010-2013 гг. 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 22

Социальная статистика на данный момент является перспективной и необходимой наукой, ведь она напрямую исследует количественные характеристики, связанные с обществом и его жизнедеятельностью. События, происходящие в нашей жизни, кажутся случайными, хаотичными, однако, это вовсе не так. В рамках социальной статистики становится возможным выявление некоторых закономерностей, согласно которым и происходят эти события, а конкретно, можно установить и измерить закономерности в распределении благ между людьми, между социальными группами. Методы, которыми оперирует статистика, являются главным способом изучения масштабных повторяющихся явлений; именно с помощью этих методов можно прогнозировать, предсказывать поведение экономических показателей.
Неравенство в распределении доходов населения и фак торы, определяющие это неравенство и распределение доходов вообще, становятся очень важными на современном этапе развития российской экономики. От выявления этих факторов зависит в первую очередь экономическая стабильность, ведь если знать, по каким законам распределяются доходы, можно всегда быть уверенным в будущем.

В случае открытых интервалов в статистике принято считать ширину первого (открытого) интервала, начиная с нуля, а ширину последнего – шириной предпоследнего. В нашем случае ширина первого равна 5000, а последнего – 18000 рублей. Заявление, что доходы распределяются именно по логнормальному закону, не является опрометчивым: множество источников показывают, что именно логнормальному распределению подчиняются многие процессы в самых различных областях науки, даже в биологии – науке о живой природе. В экономике же, столь интересующей нас в данном исследовании, логарифмически нормальное распределение применяется при распределении суммы личных доходов, заработной платы рабочих, а также размерах наследства (Венецкий И.Г., 1974).Также можно увидеть, что распределение доходов отражено и в постановлении Госкомстата №61 от 1996 года: «Процедура построения ряда распределения основывается на расчете частностей (частот), соответствующих заданным интервальным значениям среднедушевых доходов (переменной величины) и закону логнормального распределения».Для того чтобы оценить распределение среднедушевых доходов населения России и статистически проанализировать его, необходимо оценить неизвестные параметры плотности логнормального распределения, рассчитав при этом выборочное среднее и выборочную дисперсию для нашей группированной выборки распределения доходов по годам.Рассмотрим теперь более подробно логнормальное распределение. Логарифмически нормальным называется распределение случайной величины xi, натуральный логарифм которой lnxi подчинен нормальному закону распределения (Елисеева И.И., 2003). Кривая, изображающая такое распределение, круто поднимается слева, при этом она более полого опускается справа. Как и нормальное распределение, логнормальное характеризуется несколькими важными параметрами: плотность вероятности и функция распределения, математическое ожидание, дисперсия, медиана, мода. Плотность вероятности логнормального распределения:f X x=1xσ2πe-lnx-μ22σ2, x >0 0, x≤0 ,где σ>0 и μ∈R;Функция распределения: Fx=-∞xftdtФункция логнормального распределения F через элементарные функции не выражается. Для приближенного вычисления функции этого распределения с параметрами μ, σ можно воспользоваться формулой F(x) = Φμ,σ(lnx), где Φμ,σ - функция нормального распределения с параметрами μ, σ.Математическое ожидание eμ+σ22;Дисперсия eσ2-1e2μ+σ2;Медиана eμ;Мода eμ-σ2. Теперь имеет смысл говорить о расчете выборочных характеристик для cгруппированных данных. Для начала приведем формулу для расчета выборочного среднего: x= n1x1+n2x2+…+nkxkn = 1n i=1knixi, где n – объем выборки, k – число интервалов группировки, ni – частота i-того интервала, xi – середина i-того интервала. Выборочная дисперсия: s2= 1n(x1-x2n1+…+xm-x2nm)=1ni=1n(xi-x)2ni, где xi – середина i-того интервала, x – выборочное среднее, ni – частота i-того интервала, n – объем выборки.Взвешенная мода: M0=xM0н+hnM0-nM0-1(nM0-nM0-1) + (nM0-nM0+1), где xM0н - нижняя граница модального интервала, h- ширина интервала группировки, nM0 – частота модального интервала, nM0-1 - частота интервала, предшествующего модальному, nM0+1 – частота интервала, следующего за модальным. Взвешенная медиана: Me= XHMe+ hMe 0.5 f- fMe-1fMe,где Me – медиана, XHMe - нижняя граница медианного интервала, hMe - размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей), fMe – частота медианного интервала, fMe-1 - сумма частот интервалов, предшествующих медианному.Метод оценки параметровНам необходимо оценить неизвестные параметры μ и σ плотности логнормального распределения для того, чтобы иметь возможность визуализировать теоретические предположения. Для оценки этих параметров в статистике существуют такие методы, как метод максимального правдоподобия, метод моментов, асимптотически эффективный метод. Однако, мы выберем метод моментов для оценки неизвестных параметров μ и σ. Этот метод хорош тем, что он наиболее простой в реализации – как можно будет убедиться далее, найти параметры можно будет даже вручную, не прибегая к помощи компьютера. В данном методе моменты генеральной совокупности заменяются моментами выборочной совокупности. Рассмотрим метод с точки зрения логнормального распределения. Суть метода моментов для оценки неизвестных параметров μ и σ можно изложить в одной системе:eμ+σ22=xeσ2-1e2μ+σ2=s2 , (1)где выражение eμ+σ22 является математическим ожиданием, а выражение eσ2-1e2μ+σ2- дисперсией для логнормального распределения. x является средним выборочным значением для нашей группированной выборки, а s2 – выборочной дисперсией. Очевидно, что для того, чтобы оценить неизвестные параметры логнормального распределения, необходимо решить систему, подставив те значения выборочного среднего и выборочной дисперсии, которые мы получим для каждого года. Выразив в явном виде искомые неизвестные, получим оценки для параметров. Для каждого года построим гистограммы по группированным данным, чтобы визуализировать эти данные. Полученные оценки параметров можно будет использовать в дальнейшем исследовании: подставим их в плотность вероятности логнормального распределения и построим эту плотность на графике: плотность распределения должна совпадать с гистограммой для группированных данных. ГЛАВА 2. ЭМПИРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ. Операции с данными о распределении среднедушевых доходовКак было сказано ранее, для того, чтобы убедиться в том, что доходы в России распределяются именно по логнормальному распределению и построить кривую, отражающую данное распределение в нашей стране, необходимо решить систему (1), отражающую метод моментов оценки неизвестных параметров. Для этого нам понадобится:а) рассчитать для каждого года выборочное среднее и выборочную дисперсию, оперируя данными таблицы 1;б) подставить полученные значения x и s2 в правую часть уравнений системы;в) решить систему, найдя неизвестные параметры μ и σ.После этого необходимо визуализировать полученные данные для большей наглядности. Построим гистограммы, иллюстрирующие данные таблицы 1 для каждого года. Построим кривые логнормального распределения, подставляя в формулу вместо параметров μ и σ конкретные значения для каждого года, получившиеся после решения системы (1). Совместим гистограммы с соответствующими кривыми логнормального распределения: они должны совпасть (небольшие погрешности возможны, так как метод моментов не является самым точным). Для удобства и лучшего понимания проблемы разберем подробно все расчеты для одного года, например, для 2009. Первая задача – это расчет выборочного среднего и выборочной дисперсии. Будем пользоваться формулой, комментарии к которой приведены выше. x= 1n i=1knixi Проводить вычисления можно в любой программе, которая позволяет осуществлять математические расчеты: я воспользовалась Microsoft Office Excel, поскольку это наиболее понятная и удобная для меня программа, в которой можно производить такие вычисления. Итак, ниже представлены вычисления выборочного среднего для 2009 года.xi – середина интервалаni – частота интервалаxi*nix – выборочное среднее2500,0012,2030500,006000,0010,9065400,008500,0015,90135150,0012000,0017,00204000,0016500,0014,60240900,0016514,5023000,0013,30305900,0036000,0011,10399600,0054000,005,00270000,00Видно, что для 2009 года выборочное среднее x=16514,5 рублей. Выборочное среднее вообще показывает центр распределения совокупности.