Использование авторегрессионной схемы AR(k) для коррекции автокорреляции случайных отклонений.

Данная работа выполнена с помощью программы построения эконометрических моделей Eviwes. Работа была защищена в декабре 2015 года в городе Минске. Оценка, полученная за данную работу -9 баллов (по десятибалльной шкале).
Для построения модели были выбраны следующие временные ряды данных:
LIR – процентная ставка по кредитам;
DIR – процентная ставка по депозитам;
REF – ставка рефинансирования;
INF – темп инфляции.
Для построения модели были взяты годовые данные по Канаде с 1975 по 2012 год. Выборка включает 38 наблюдений. Построение адекватной модели поможет оценить влияние изменения процентной ставки по кредитам, ставки рефинансирования и темпа инфляции на изменение процентной ставки по кредитам.
...

1. Введение
2. Теоретическое и статистическое обоснование модели
3. Построение и анализ эконометрической модели
4.Заключение
5. Список использованных источников
6. Приложения

Автокорреляция — это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. Также если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков.
К основным причинам, вызывающим появление автокорреляции, можно отнести ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.
Ошибка спецификации появляется в том случае, если в модели не учитывается какая-либо важная объясняющая переменная либо неправильно выбирается форма зависимости. В этом случае могу проявиться системные отклонения точек наблюдений от линии регрессии, что приведет к автокорреляции.
Инерция связана с тем, что многие показатели обладают определе нной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности.
Эффект паутины обусловлен тем, что многие экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с временным лагом (опозданием).
Сглаживание данных возникает, когда данные по некоторому промежутку времени получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам.
Целью данной работы является устранение автокорреляции с помощью авторегрессинной схемы.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- построить адекватную регрессионную модель, в которой наблюдается явление автокорреляции;
- изучить авторегрессионную схему как метод корррекции автокорреляции;
- применить данный метод коррекции автокорреляции к построенной модели;
- сравнить полученные результаты и определить наиболее оптимальный метод коррекции для конкретной модели.

2, 2.3, 2.4:DIR = -0.201 + 0.329*REF + 0.766*INF(2.2)REF = 0.317 + 0.638*DIR + 0.544*INF(2.3)INF = 1.426 + 0.395*DIR + 0.145*REF(2.4)Далее находим коэффициент вариации инфляционного фактора (VIF) по формуле 2.5: VIFi= 11-Ri2(2.5)где Ri2 – коэффициент детерминации вспомогательной модели i, i=1,n.Для модели 2.2 VIF равен 3,447; для модели 2.3 – 2,609; для модели 2.4 – 2,956. Все значения VIF меньше 5, следовательно, мультиколлинеарность в исходной модели отсутствует.Для проверки модели на гетероскедастичность воспользуемся тестом Вайта без перекрестных произведений. В тесте предполагается построение вспомогательной модели регрессии квадратов остатков исходной модели на все ее экзогенные переменные и их квадраты. Наличие в модели гетероскедастичности проверяется с помощью статистики Вайта, которая вычисляется по формуле 2.6: Wh=n*Rвсп. 2~ χ2(k) (2.6)где n – количество наблюдений в вспомогательной модели, R2 – коэффициент детерминации вспомогательной модели, k – количество экзогенных переменных во вспомогательной модели.В исходной модели Wh равен 7,28; χ2(6) равен 12,59. Так как Wh меньше χ2(6) при уровне значимости 5%, то принимаем гипотезу H0 о том, что модель гомоскедастична. Данный вывод подтверждается значением вероятности принятия гипотезы Н0 (Probability больше 0,05). Наличие автокорреляции можно проверить с помощью статистики Дарбина-Уотсона (DW). В исходной модели ее значение равно 1,387. При сравнении c критическими точками (dl = 1,318; du = 1,656) получаем, что значение статистики попадает в интервал неопределенности, то есть статистика Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии автокорелляции.Визуально определить наличие автокорреляции можно с помощью коррелограммы случайных отклонений модели (рисунок 2.3). Исходя из коррелограммы, можно сделать вывод: в модели присутствует автокорреляция 1-го и 3-го порядков, так как значения корреляции в данных порядках выходят за 95% доверительный интервал.Date: 12/10/14 Time: 11:04Sample: 1975 2012Included observations: 38AutocorrelationPartial CorrelationAC  PAC Q-Stat Prob18161063500      . |** |      . |** |10.3030.3033.76000.052      . | . |      . | . |20.042-0.0553.83280.147     ***| . |     ***| . |3-0.361-0.3959.50290.023      **| . |      . | . |4-0.256-0.04212.4350.014      . | . |      . |*. |5-0.0380.11712.5020.029      . |*. |      . | . |60.1790.06214.0220.029      . |*. |      .*| . |70.123-0.09214.7640.039      . |*. |      . |*. |80.1340.12915.6790.047      . | . |      . |*. |90.0110.07515.6860.074      .*| . |      .*| . |10-0.082-0.10816.0470.098      . | . |      . | . |11-0.0420.06116.1470.136      **| . |      **| . |12-0.243-0.25919.5950.075      . | . |      . |*. |13-0.0320.07819.6580.104      . | . |      . | . |14-0.017-0.00619.6770.141      . | . |      .*| . |150.057-0.13419.8880.176      . | . |      .*| . |16-0.006-0.06919.8900.225      .*| . |      .*| . |17-0.153-0.17721.5800.201      .*| . |      . | . |18-0.193-0.04024.4170.142      .*| . |      .*| . |19-0.096-0.07225.1530.156Рисунок 2.2 - Коррелограмма случайных отклонений исходной моделиПримечание: собственная разработкаДля проверки модели на автокорреляцию можно воспользоваться также тестом Бреуша-Годфри. Тест Бреуша-Годфри (LM-тест) – процедура проверки автокорреляции произвольного порядка в случайных ошибках регрессионных моделей. Тест позволяет проверить автокорреляцию любого порядка.Результаты теста отвергают наличие автокорреляции 1-го порядка, так как вероятность принятия гипотезы H0 равна 0,06 при α = 0,05. При этом подтверждается автокорреляция 3-го порядка: при α = 0,05 вероятность принятия гипотезы H0 равна 0,03. Таблица с результатами теста представлена в приложении Г.Автокорреляция, присутствующая в модели, является отрицательной. Поскольку отрицательная автокорреляция чаще всего возникает в результате ошибки спецификации, изменим форму модели. Для этого исключим переменную DIR. DIR – это процентная ставка по депозитам. Между ней и процентной ставкой по кредитам существует сильная зависимость. Фактически ставки по депозитам – не что иное, как цена денег для банков. Купив деньги у населения по одной цене, продавать их нужно дороже, чтобы окупать свое существование и получать прибыль. Новая модель имеет вид 2.7: LIR = 2.260 + 0.604*REF + 0.670*INF(2.6)(t) (3.537) (5.585) (3.400)Все коэффициенты статистически значимы, коэффициент детерминации равен 0,804. Значение статистика Дарбина-Уотсона равно 1,02. При сравнении с критическими точками dl, равной 1,373, и du, равной 1,594, можно сделать вывод, что в модели присутствует положительная автокорреляция.Проанализируем коррелограмму модели, представленную на рисунке 2.4.По коррелограмме можно визуально определить наличие положительной автокорреляции 1-го порядка, так как значение корреляции в данном порядке выходят за 95% доверительный интервал. Проведем тест Бреуша-Годфри. Тест подтверждает предположение, что в модели присутствует автокорреляция 1-го порядка: при α = 0,05 вероятность принятия гипотезы H0 равна 0,0019. Результаты теста представлены в приложении Д. Существует несколько методов коррекции автокорреляции. В данном случае используем авторегрессионную схему AR(k). Авторегрессионная схема предполагает переход к преобразованным переменным по формулам 2.7 и 2.8.yt*=yt-ρ*yt-1(2.7)xt*=xt-ρ*xt-1 (2.8)Коэффициент ρ – неизвестная величина и его необходимо определить. Существует несколько методов оценивания.Коэффициент ρ можно определить на основании статистики Дарбина-Уотсона. В этом случае ρ находится по формуле 2.9: ρ≈1-DW2(2.9)При статистике Дарбина-Уотсона 1,02 коэффициент ρ равен 0,49. Преобразованная модель имеет вид 2.10 (приложение Е):LIR*= 1.029 + 0.478*REF*+ 0.914*INF* (2.10)(t) (2.088) (4.169) (3.857)Все коэффициенты в данной модели статистически значимы, коэффициент детерминации равен 0,651. Статистика Дарбина-Уотсона равна 1,88. Исходя из «грубого» правила, можно сделать вывод, что автокорреляция в данной модели отсутствует. Коррелограмма, представленная на рисунке 2.4, подтверждает данные выводы.Проверим данную модель на выполнение предпосылок МНК. Протестируем полученную модель на выполнение предпосылки МНК о нормальном распределении остатков модели. Предпосылка о нормальном распределении остатков не выполняется, так как Р-вероятность статистика Жака-Бера равна 0,004, что меньше установленного уровня значимости (α=0,05), следовательно, данная модель подлежит корректировке (рисунок 2.5).Рисунок 2.4 - Коррелограмма случайных отклонений модели, скорректированной с помощью авторегрессионной схемы на основании статистики Дарбина-УотсонаПримечание: собственная разработка-13335444500Рисунок 2.5 – Гистограмма остатков модели, скорректированной с помощью авторегрессионной схемы на основании статистики Дарбина-УотсонаПримечание: собственная разработкаКоэффициент ρ можно также определить на основании авторегрессионной модели. Для нахождения ρ используется формула 2.11 (приложение Ж). Et=ρ*Et-1+Ut (2.11)При использовании данного метода коэффициент ρ получается равным 0,303. Преобразованная модель имеет вид 2.12.LIR* = 1.359 + 0.736*REF*+ 0.547*INF (2.12) (t) (2.580) (5.595) (2.232)Коэффициент детерминации в данной модели равен 0.780, все коэффициенты статистически значимы. Статистика DW, равная 2,05, позволяет говорить об отсутствии автокорреляции в модели. На рисунке 2.6 представлена коррелограмма случайных отклонений, по которой также можно судить об отсутствии автокорреляции.Рисунок 2.6 - Коррелограмма случайных отклонений модели, скорректированной с помощью авторегрессионной схемы на основании авторегрессионной моделиПримечание: собственная разработкаГистограмма остатков, представленная на рисунке 2.7, показывает, что остатки в модели нормально распределены, то есть предпосылка МНК выполняется.Используя метод инфляционных факторов для проверки модели на мультиколлинеарности, получаем, что VIFref* равен 2,2, VIFinf* - 2,2. Поскольку значения VIF меньше 0.5, можно сделать вывод об отсутствии мультиколлинеарности в модели.Для выявления гетероскедастичности используем тест Вайта. Коэффициент Wh равен 1,78 при χ2(4), равном 9,49. Следовательно, данная модель гомоскедастична.Рисунок 2.7 – Гистограмма остатков модели, скорректированной с помощью авторегрессионной схемы на основании авторегрессионной моделиПримечание: собственная разработкаСледующий метод определения ρ – метод первых разностей. В этом случае переменные преобразуются по формулам 2.13 и 2.14. yt*=yt-yt-1=∆yt (2.13) xt*=xt-xt-1=∆xt (2.14)При использовании метода первых разностей в случае положительной автокорреляции ρ предполагается равным 1. Тогда преобразованное уравнение имеет вид 2.15 (приложение И).Рисунок 2.8 - Коррелограмма случайных отклонений модели, скорректированной с помощью авторегрессионной схемы на основании метода первых разностейПримечание: собственная разработкаLIR*= 0.0265 + 0.4271*REF*+ 0.992*INF (2.15)(t) (0,093) (3,192) (2.992)В данной модели все коэффициенты, кроме свободного члена, являются статистически значимыми, коэффициент детерминации равен 0,329. Проверим наличие автокорреляции с помощью коррелограммы (рисунок 2.8).Как видно из коррелограммы, методом первых разностей автокорреляцию устранить не удалось, следовательно, данную модель без доработки использовать нельзя.Таким образом, по результатам корректировки можно сделать вывод, что использовать можно только ту модель, которая была скорректирована с помощью авторегрессионной схемы на основании авторегрессионной модели, так как только для нее выполняются все предпосылки МНК. В модели, скорректированной на основании статистика Дарбина-Уотсона, не выполняется предпосылка МНК о нормальном распределении остатков; а в модели, которая исправлялась методом первых разностей по прежнему присутствует автокорреляция, следовательно две последние модели требуют дальнейшей доработки.ЗАКЛЮЧЕНИЕАвтокорреляция — статистическая взаимосвязь между последовательностями величин одного ряда, взятыми со сдвигом. Если в модели присутствует автокорреляция, значит, не выполняется одна из предпосылок МНК, следовательно модель необходимо корректировать. Одним из способов корректировки является использование регрессионной схемы, суть которой состоит в переходе к преобразованным переменным.Результаты корректировки с использованием данного метода показывают, что он является достаточно эффективным, однако только в одном случае из трех удалось добиться того, чтобы модель была полностью адекватна и статистически значима. Две другие модели, вследствие сохранения нарушений предпосылок МНК требуют дальнейшего исправления, прежде чем их можно будет использовать на практике.Данная работа демонстрирует, что к каждой модели нужно искать индивидуальный подход. То, что хорошо корректирует одну модель, может быть совершенно непригодно для другой. Соответственно, необходимо владеть не одним методом корректировки, чтобы была возможность для каждой модели подобрать именно тот вариант, который ее действительно исправит. Только в этом случае можно построить качественную модель, которая поможет в изучении взаимосвязей экономических показателей и в их прогнозе.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВБаза данных всемирного банка // The world bank [Электронный ресурс]. – 2013. – Режим доступа: http://data.worldbank.org/country/canada. – Дата доступа: 23.11.2013.Бородич С. А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие / С. А.Бородич. – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.Бравичева О. С., Стебунова О. И. Эконометрическое моделирование в пакете Ewievs: Методологические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной работе студентов / О. С. Бравичева, О. И. Стебунова. – Оренбург: Гоу ОГУ, 2005. – 33 с. Статистическая служба канады // statistics canada [Электронный ресурс]. – 2013. – Режим доступа: http://www.statcan.gc.ca/start-debut-eng.html. – Дата доступа: 23.11.2013.ПРИЛОЖЕНИЯПРИЛОЖЕНИЕ АТаблица А.