Планирование и организация эксперимента

3. Выводы по работе

При выполнении курсовой работы проведена оптимизация следующих показателей качества:
у1 – суммарное тепловое сопротивление, м2· оС/Вт;
у2 – коэффициент теплопроводность, Вт/м·К.
В ходе работы построена матрица планирования полного трехфакторного экс-перимента, вычислены оценки дисперсии и однородности параметров оптимиза-ции по результатам предварительного эксперимента; определены математи-ческие модели функции отклика в виде уравнения регрессии - линейного по-линома с учетом возможных взаимодействий между факторами. Также про-ведена оценка значимости коэффициентов регрессии и проверка адекватности полученных моделей. Обе математические модели оказались адекватными исследуемому объекту, при доверительной вероятности Р0,95, и позволяют оптимизировать процесс производст ...

ВВЕДЕНИЕ 5
1 Теоретическая часть 6
1.1 Анализ объекта исследования и обоснованный выбор варьируемых факторов 6
1.2 Обоснование выбора полного или дробного эксперимента. Составление матрицы планирования эксперимента 10
2 Расчетно-экспериментальная часть 17
2.1 Проведение предварительного эксперимента на объекте исследования для параметра оптимизации у1 - суммарное тепловое сопротивление 17
2.2 Проверка воспроизводимости опытов 18
2.3 Математическая модель объекта исследования 19
2.4 Проверка адекватности полученной модели 22
2.5 Проведение предварительного эксперимента на объекте исследования для параметра оптимизации у2 – коэффициент теплопроводности 25
2.6 Проверка воспроизводимости опытов 25
2.7 Математическая модель объекта исследования 26
2.8 Проверка адекватности полученной модели 29
3 Оптимизация исследуемого объекта одним из методов нахождения экстремума поверхности отклика 31
3.1 Оптимизация параметра Суммарное тепловое сопротивление методом крутого восхождения 37
3.2 Оптимизация параметра Коэффициент теплопроводности симплексным методом 41
4 Выводы по работе 46
5. Список литерату-ры………………………………………………………………48

Экспериментальные исследования широко применяются на всех стадиях разработки, производства и эксплуатации различных технических объектов, в частности средств автоматики и информационно-измерительной техники. При создании электронных и электротехнических устройств основные затраты приходятся на их настройку и испытания.
Теория планирования эксперимента формулирует приемы и способы оптимальной организации исследовательской работы. Овладение основами теории эксперимента и практическими приемами ее использования повышает эффективность работы исследователя, позволяет с наименьшими затратами решать многие практически важные исследовательские задачи: построение по опытным данным математической модели объектов, оптимизацию процессов, проверку различных предположений.
Рабочие процессы устройств а втоматики протекают в изменяющихся условиях, следовательно, зависят от большого числа переменных. Описание таких процессов аналитическими методами не всегда возможно. Поэтому при исследовании рабочих процессов устройств необходимо применять методы планирования эксперимента, которые позволяют проводить исследования, одновременно варьируя все влияющие факторы. По экспериментальным данным формируется математическая модель исследуемого объекта. Математическое описание устройств и процессов позволяет исследовать и оптимизировать их параметры [1].
При выполнении курсовой работы изучены современные методы планирования эксперимента, математического моделирования объектов и управления качеством продукции.
Задачей курсовой работы является разработка плана эксперимента в соответствии с решаемой проблемой, построение матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов, математическое моделирование объекта исследования, оптимизация процессов производства и качества продукции.

Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат, представленном на рисунке 1. Если k>3, то фигура, задающая в пространстве область определения параметра оптимизации, называется гиперкубом. Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация трехфакторного экспериментаПо 8-ми точкам такого плана строится модель зависимости:y= f(x1, x2, …,x8),по которой можно вычислить (у) при любых (х) без постановки опытов, поскольку эту зависимость представляют в виде разложения в ряд Тейлора (1) в точке, соответствующей центру эксперимента. QUOTE (3)Из анализа матрицы планирования легко видеть, что полный факторный эксперимент обладает свойствами:ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных: QUOTE ,(4)где N- число опытов, i, j, m – номера факторов (переменных);симметричности относительно центра эксперимента. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю: QUOTE (5)нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной QUOTE (6)Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов. Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Однако сформулированные выше утверждения справедливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Для облегчения записи условий эксперимента и упрощения его анализа, от исходных переменных х переходим к их кодированным значениям (безразмерным единицам) Хi.Для каждого фактора выбираются два уровня – верхний ximax и нижний ximin, на которых фактор варьируется. Половина разности между верхним и нижним уровнями называется интервалом варьированияdxi. Интервал варьирования должен быть больше погрешности измерения уровня фактора, а верхний и нижний уровни факторов не должны выходить за область его определения. Интервал варьирования обычно составляет 5-15% от области определения [3].В курсовой работе необходимо провести оптимизацию процесса производства одежды с целью повышения теплозащитных свойств и обеспечения высокого качества продукции.По условиям работы нам заданы 2 параметра оптимизации и 3 фактора, таким образом, целесообразно построить план полного факторного эксперимента с тремя независимыми переменными x1, x2 и x3. Количество опытов, проводимых в ПФЭ больше, чем при проведении ДФЭ, однако статистическая избыточность количества измерений, уменьшает влияние погрешностей отдельных измерений на оценку параметров.В качестве переменных факторов заданы: х1– толщина пакета одежды под давлением 196 Па (мм), х1max – 50, х1 min – 10; х2 – воздухопроницаемость (дм3/м2·с), х2 max – 100, х2 min – 10;х3 – содержание шерстных волокон (%), х3 max – 80, х3 min – 30.В качестве параметра оптимизации заданы:у1, характеризующего теплозащитные свойства одежды, суммарное тепловое сопротивление, м2·оС/Вт. Второй параметр оптимизации у2 – коэффициент теплопроводности, Вт/м·К. Для определения условий эксперимента задаемся областью варьирования факторов ximaxи ximin. Затем находим центр варьирования по формуле: QUOTE (7)Вычисляем интервал изменения фактора: QUOTE (8)Находим нормированное значение хiн для каждого фактора: QUOTE (9) QUOTE ; QUOTE ; QUOTE ; QUOTE ; QUOTE ; QUOTE .Результаты вычислений представлены в таблице 3.Таблица 3 – Основные характеристики плана экспериментаИнтервалы варьирования факторовФакторых1 - толщина пакета одежды под давлением 196 Па, ммх2 – воздухопроницаемость, дм3/м2·сх3 – содержание шерстных волокон, %305555204525xi max5010080xi min101030Выберем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы хimin соответствовало (–1), а хimax (+1).План эксперимента в кодовых величинах приведен в таблице 4. Таблица 4 - План полного трехфакторного эксперимента в кодовых величинахНомер опыта, NМатрица планированияВектор результатовФакторы,Факторы взаимодействия QUOTE , QUOTE y1+–––+++–y12+––++––+y23+–+––+–+y34+–++––+–y45++––––++y56++–+–+––y67+++–+–––y78++++++++y8План эксперимента в натуральных величинах приведен в таблице 5.Таблица 5 - План полного трехфакторного эксперимента в натуральных величинахНомер опыта, NМатрица планированияВектор результатовФакторы, QUOTE Факторы взаимодействия QUOTE y1+1010301003003003000y12+1010801008008008000y23+10100301000300300030000y34+10100801000800800080000y45+501030500150030015000y56+501080500400080040000y67+5010030500015003000150000y78+5010080500040008000400000y8Расчетно-экспериментальная частьПроведение предварительного эксперимента на объекте исследования для параметра оптимизации у1- суммарное тепловое сопротивлениеПоставим серию трех опытов в точках: х1=(30±20) мм, х2= (55±45)дм3/м2·с, х3=(55±25) %. Составляем матрицу планирования и заносим результаты предварительного эксперимента в таблицу 6.Рассчитываем среднее арифметическое значение параллельных опытов функции отклика QUOTE по формуле: QUOTE , где(10)m – число параллельных опытов.Таблица 6 – Результаты проведения полного трехфакторного эксперимента: параметр оптимизации у1 – суммарное тепловое сопротивление, х10-2 м2· оК/Вт№ точки факторного пространства (Номеропыта), Nх10-2 х10-2 х10-2 х10-2 1, (2), (3)---+++–33,042,983,0070,000930,0000280,000292, (4), (1)--++––+4,24,124,184,1670,001733, (1), (4)-+-–+–+4,64,624,544,5870,001734, (3), (2)-++––+–5,45,55,565,4870,006535, (8), (6)+--––++6,56,576,486,5170,002236, (7), (8)+-+–+––5,95,975,835,9000,004907, (6), (5)++-+–––7,27,37,127,2070,008138, (5), (7)+++++++8,48,428,323,0070,00280В скобках указаны номера рандомизированной последовательности в трех сериях опытов.Проверка воспроизводимости опытовОпределим отклонения от среднего арифметического значения для каждого результата QUOTE и рассчитаем оценку дисперсии по формуле: QUOTE (11) QUOTE =0,00093Результаты вычислений занесем в таблицу 6.Проведем проверку однородности оценок дисперсий по критерию Кохрена: QUOTE (12)Результаты вычисления занесем в таблицу 6.Расчетное значение коэффициента Кохрена сравним с табличным значением QUOTE – критерия, которое выберем из таблицы для принятого уровня значимости =0,05 и для чисел степени свободы, соответственно, числителя: QUOTE , где (13)m– число параллельных опытов,и знаменателя: QUOTE , где (14)N– число опытов в эксперименте.В соответствии с таблицей QUOTE ; QUOTE , то есть условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий QUOTE – однородными.Математическая модель объекта исследованияОбщий вид уравнения регрессии, описывающего поверхность отклика, определяется уравнением 3:Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии произведем по формулам: QUOTE (15) QUOTE (16) QUOTE (17)где коэффициенты QUOTE характеризуют силу влияния каждого из факторов, а их знак (- или +) направление влияния факторов. То же относится и коэффициентам QUOTE , характеризующим силу и направление влияния взаимодействия факторов.Благодаря оптимальным свойствам плана 2k все коэффициенты его полиномиальной модели оцениваются независимо друг от друга с одинаковыми минимальными дисперсиями и максимальной точностью.Тогда уравнение регрессии исследуемого параметра оптимизации имеет вид:После получения уравнения проведем статистический анализ значимости вычисленных коэффициентов и проверку адекватности уравнения. С этой целью вычислим построчные дисперсии в каждом опыте плана, характеризующие изменчивость результатов в опытах плана относительно их средних значений.Критерии адекватности и погрешности эксперимента вычислим по формулам:дисперсия воспроизводимости параллельных опытов, характеризует погрешность наблюдений: QUOTE (18)проверка адекватности воспроизводимости: QUOTE (19)ошибка в определении коэффициентов регрессии: QUOTE (20)Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента t. Коэффициенты регрессии значимы, если QUOTE .Вычислим доверительный интервал для коэффициентов модели, как произведение ошибки в определении коэффициентов QUOTE , умноженное на табличное значение критерия Стьюдента t. Для доверительной вероятности QUOTE , при числе степеней свободы: QUOTE , гдеm – число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях.Значение критерия Стьюдента t=2,1190. QUOTE Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения: QUOTE QUOTE Таким образом, коэффициент регрессии b12 незначим.Получим математическое описание процесса в виде линейного уравнения регрессии:Проверка адекватности полученной моделиУравнение, включающее только оставшиеся значимые коэффициенты, проверяем на адекватность. Проведем проверку адекватности уравнения регрессии исследуемому объекту по критерию Фишера: QUOTE , где(21) QUOTE – дисперсия адекватности; QUOTE – дисперсия воспроизводимости.Для оценки дисперсии адекватности необходимо оценить, насколько отличаются средние значения экспериментального QUOTE выходного параметра, полученного в точках факторного пространства, и значения QUOTE , полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства. Вычисляем оценку дисперсности адекватности: QUOTE , где(22)N - общее число опытов ПФЭ; В - число коэффициентов регрессии искомого уравнения;экспериментальное и расчетное значение функции отклика в j-м опыте. Производим расчет F- критерия Фишера:Найденное расчетным путем сравним с табличным значением, которое определяем при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы: QUOTE , где (23)N - общее число опытов ПФЭ; В - число коэффициентов регрессии искомого уравнения; QUOTE , где (24)N - общее число опытов ПФЭ; m – число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях.Если QUOTE , то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости q=0,05 адекватна экспериментальным данным. В рассматриваемом примере QUOTE QUOTE Следовательно, уравнение регрессии для параметра оптимизации у1- суммарное тепловое сопротивление имеет вид: QUOTE является адекватным исследуемому объекту, при доверительной вероятности Р=0,95, и позволяет оптимизировать процесс производства одежды с целью повышения ее теплозащитных свойств.Проведение предварительного эксперимента на объекте исследования для параметра оптимизации у2 – коэффициент теплопроводностиПоставим серию трех опытов в точках: х1=(30±20) мм, х2= (55±45)дм3/м2·с, х3=(55±25) %. Составляем матрицу планирования и заносим результаты предварительного эксперимента в таблицу 7.Таблица 7 – Результаты проведения полного трехфакторного эксперимента: параметр оптимизации у2 – коэффициент теплопроводности, Вт/м·К№ точки факторного пространства (Номеропыта), N1, (2), (3)---+++–0,040,0460,0480,0450,0000170,0030,0162, (4), (1)--++––+0,0550,0490,0580,0540,0000213, (1), (4)-+-–+–+0,070,0780,0760,0750,0000174, (3), (2)-++––+–0,060,0520,0660,0590,0000495, (8), (6)+--––++0,090,0980,0920,0930,0000176, (7), (8)+-+–+––0,080,0820,0760,0790,0000097, (6), (5)++-+–––0,0850,080,090,0850,0000258, (5), (7)+++++++0,0750,080,0780,0780,000006В скобках указаны номера рандомизированной последовательности в трех сериях опытов.Проверка воспроизводимости опытовОпределим отклонения от среднего арифметического значения для каждого результата QUOTE и рассчитаем оценку дисперсии по формуле:Результаты вычислений занесем в таблицу 7.Проведем проверку однородности оценок дисперсий по критерию Кохрена:Результаты вычисления занесем в таблицу 7.Расчетное значение коэффициента Кохрена сравним с табличным значением QUOTE – критерия, которое выберем из таблицы для принятого уровня значимости =0,05 и для чисел степени свободы, соответственно, числителя: QUOTE , и знаменателя: QUOTE .В соответствии с таблицей QUOTE ; QUOTE , то есть условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий QUOTE – однородными.Математическая модель объекта исследованияОбщий вид уравнения регрессии, описывающего поверхность отклика, определяется уравнением 3:Проведем расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии.Тогда уравнение регрессии исследуемого параметра оптимизации имеет вид:После получения уравнения проведем статистический анализ значимости вычисленных коэффициентов и проверку адекватности уравнения.Вычислим критерии адекватности и погрешности эксперимента:дисперсия воспроизводимости параллельных опытов, характеризует погрешность наблюдений:проверка адекватности воспроизводимости:ошибка в определении коэффициентов регрессии:Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента t. Коэффициенты регрессии значимы, если QUOTE .Вычислим доверительный интервал для коэффициентов модели, как произведение ошибки в определении коэффициентов QUOTE , умноженное на табличное значение критерия Стьюдента t. Для доверительной вероятности QUOTE , при числе степеней свободы: QUOTE , гдеm – число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях.Значение критерия Стьюдента t=2,1190. QUOTE Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения: QUOTE .Отсюда видно, что коэффициенты QUOTE , QUOTE , QUOTE регрессии, незначимы.Получим математическое описание процесса в виде линейного уравнения регрессии:Проверка адекватности полученной моделиУравнение, включающее только оставшиеся значимые коэффициенты, проверяем на адекватность. Проведем проверку адекватности уравнения регрессии исследуемому объекту по критерию Фишера.Для оценки дисперсии адекватности необходимо оценить, насколько отличаются средние значения экспериментального QUOTE выходного параметра, полученного в точках факторного пространства, и значения QUOTE , полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства. Вычисляем оценку дисперсности адекватности: Производим расчет F- критерия Фишера:Найденное расчетным путем QUOTE сравним с табличным значением QUOTE , которое определяем при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы: QUOTE , Если QUOTE , то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости q=0,05 адекватна экспериментальным данным. В рассматриваемом примере QUOTE QUOTE .Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: является адекватным исследуемому объекту, при доверительной вероятности Р=0,95, и позволяет оптимизировать процесс производства одежды с целью повышения ее теплозащитных свойств.3.Оптимизация исследуемого объекта одним из методов нахождения экстремума поверхности откликаМетод крутого восхождения (МКВ) представляет собой процедуру изменения независимых переменных пропорционально величинам коэффициентов регрессии и последовательного перемещения в направление градиента функции отклика по пути крутого восхождения, т.е. в направлении наибольшего увеличения отклика. Направление крутого восхождения - это направление, в котором у возрастает наиболее быстро и параллельно нормали к контурам поверхности отклика, направление представлено на рисунке 2. Рисунок 2 – Схема оптимизации по методу крутого восхожденияОбычно в качестве пути крутого восхождения мы выбираем линию, проходящую через центр области экспериментирования и нормальную к контурам подобранной поверхности отклика. Сущность такой оптимизации состоит в следующем:Один из влияющих факторов Хi принимают за базовыйи для него вычисляют произведение соответствующего коэффициента регрессии biна шаг варьирования dхi. Например, для первого фактора Х1 это произведение имеет видb1 · х1.Затем для базового фактора Х1 выбирают шаг движения ∆х1*, с которым будет осуществляться оптимизация. Шаг движения выбирается произвольно, однако он должен быть меньше интервала варьирования dх1. При этом необходимо помнить, что небольшой шаг увеличит число опытов при движении к оптимуму, а большой шаг движения увеличивает вероятность проскочить область оптимума. Поэтому рекомендуется учитывать нижнюю границу, которая задается возможностью фиксирования двух соседних опытов, и верхнюю, которая ограничивается областью определения факторов.После этого вычисляют шаг движения gпо формуле: QUOTE (25)Для всех остальных факторов шаги движения к оптимальным значениям рассчитывают по формуле: QUOTE (26)Если какой-то фактор имеет ограничения, то его стабилизируют на максимально (минимально) возможном уровне, а другие продолжают изменять с тем же шагом.Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения.Если же идет поиск минимума функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания ∆хi*. Такой способ оптимизации называют методом наискорейшего спуска.Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:Значения (одного или нескольких) факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.Достигнут экстремум критерия оптимальности у.В первом случае на этом оптимизация заканчивается, а во втором случае в области экстремума функции у ищут ее новое математическое описание, используя полный факторный эксперимент или метод дробных реплик. Если удается получить адекватное описание этой функции в виде (3), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения. Очевидно, оптимум, найденный в результате первого крутого восхождения, был локальным.Если же в области оптимума не удается получить адекватного уравнения регрессии вида (3), то переходят к планированию эксперимента для получения математического описания функции у в виде многочлена второйстепени. Эффективным способом оптимизации является последовательный симплексный метод (ПСМ),который в практику был введен в 1962 г. Ф. Химсвортом. Симплексом называется правильный многогранник, имеющий n + 1 вершину, где n - число факторов, влияющих на процесс. Так, если факторов два, то симплексом является правильный треугольник. Сущность симплексного метода оптимизации иллюстрирует рисунок3. Все эксперименты в этом случае надо реализовывать при условиях, отвечающих вершинам правильных n-мерных симплексов. Начальная точка поиска обычно соответствует установленному технологическому регламенту или наилучшему из известных режимов ведения процесса.