Апроксимация системами базисных сплайнов

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрен вопрос приближения функций при помощи систем базисных сплайнов. Приведены необходимые определения и утверждения, относящиеся к свойствам сплайнов и базисных сплайнов, указаны преимущества сплайнов при построении аппроксимации, приведены примеры применимости сплайнов. Также написана программа, которая строит такие приближения по заданным значениям функции.


...

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА B-СПЛАЙНОВ 5
ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙНОВ 9
ПРЕИМУЩЕСТВА ПРИМЕНЕНИЯ СПЛАЙНОВ 12
ПРИМЕНЕНИЕ B-СПЛАЙНОВ В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ 14
ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ В ПАКЕТЕ MAPLE 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20
ЛИТЕРАТУРА 21

Введение

Данная курсовая работа посвящена вопросу приближения функций при помощи систем базисных сплайнов. Приводятся необходимые теоретические сведения и написана программа, которая строит приближения сплайнами по заданным значениям функции.
Если говорить нестрого, то под сплайном можно понимать функцию, область определения которой можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция совпадает с полиномом. Термин spline (англ.), изначально означал гибкую чертежную линейку.
Сплайны широко применяются как в теоретической, так и в прикладной математике. Сложные кривые и поверхности не могут быть описаны элементарными функциями, но их можно скомпоновать из сравнительно простых фрагментов кривых. Так сплайны интенсивно используются для задания поверхностей в различных си стемах компьютерного моделирования. Сплайны успешно применяются в задачах интерполяции и приближенного интегрирования. Также сплайны высокоэффективны при численном дифференцировании, для решения различных вариационных задач.
В теории приближения сплайны появились относительно недавно. Интерполяции сплайнами и сам термин сплайн ведут свой отсчёт со статьи Айзека Шонберга 1946 года. Особенно интенсивное развитие теории произошло в 50-70 годы. Внедрение сплайнов в теорию приближения произошло из-за задачи интерполяции, благодаря их хорошим вычислительным и аппроксимативным свойствам. Сплайны обладают исключительно хорошими аппроксимативными свойствами, универсальностью и обеспечивают простоту реализации вычислительных алгоритмов, полученных на их основе. При этом алгоритмы построения сплайнов совпадают с алгоритмом метода конечных элементов, который является основным промышленным методом прочностного анализа в системах автоматизированного проектирования.
Физической моделью, называемой механической аналогией сплайна, является многоопорная балка, не испытывающая внешней нагрузки, а деформации которой вызваны внутренними реакциями на заданные смещения опор в фиксированные узлы. Математически данная модель описывается дифференциальным уравнением деформации балки и является многоточечной краевой задачей, для решения которой был применён известный в то время сеточный метод, который получил решение именно в таком виде, называемом сегодня сплайном.

B-сплайном называют сплайн-функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и части области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения. Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».
Далее будут приведены необходимые определения и утверждения относящиеся к свойствам сплайнов и базисных сплайнов, указаны преимущества сплайнов при построении аппроксимации, приведены примеры применимости сплайнов и построена программа реализующая поиск приближения функции при помощи базисных сплайнов.