Построение и оценивание параметров систем уравнений

КУРСОВАЯ РАБОТА по теме: «Построение и оценивание параметров систем уравнений (систем с раздельными уравнениями, рекурсивными уравнениями, одновременными уравнениями, включая проверку идентификации, выбор метода оценивания: МНК, КМНК, ДМНК)»

Цель работы – построение и оценивание параметров систем уравнений.
Объект работы – системы эконометрических уравнений.
Для достижения цели работы были поставлены следующие задачи:
• Проанализировать системы эконометрических уравнений;
• Рассмотреть структурную и приведенную формы модели;
• Разобрать необходимое и достаточное условие идентифицируемости;
• Рассмотреть алгоритм применения косвенного метода наименьших квадратов (КМНК) для оценки параметров структурной формы модели;
• Провести оценку параметров систем уравнений.
Структура курсовой работы в ...

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 2
1. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 4
2. ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 20

В области естественных наук основной целью является изучение взаимозависимости всевозможных величин, иначе говоря, нахождение ответа на вопрос: как оказывает влияние изменение одной величины на значение, которое получает другая.
Нахождение лучшего вида функциональной зависимости – искусство, а нахождение оптимальных параметров формулы производится стандартными методами. Регрессионный анализ и занимается данной проблемой. Метод наименьших квадратов (МНК) на сегодняшний день является одним из преимущественно исследованным и часто применяемым алгоритмом регрессионного анализа

В этом случае через эндогенные переменные в уравнение поступает информация от такого же числа независимых источников информации – отсутствующих предопределенных переменных. Следовательно, в уравнении в виде регрессоров присутствуют (непосредственно или опосредованно) только независимые источники информации.Если отсутствующих предопределенных переменных меньше, чем регрессоров – эндогенных переменных, то число источников независимой информации меньше общего числа регрессоров и уравнение неидентифицируемо.Большее число источников независимой информации в уравнении по сравнению с числом объясняющих переменных свидетельствуют об избыточности информации, сверхидентифицируемости данного уравнения, то есть возможности определения его коэффициентов, но неоднозначности решения этой задачи.Выше рассмотрено необходимое, но не достаточное условие идентификации. Если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели, то условия идентификации можно определить точнее.Если из коэффициентов переменных, которые присутствуют в других уравнениях системы, но отсутствуют в рассматриваемом уравнении, можно получить матрицу, в которой определитель не должен быть равен нулю и ранг матрицы должен быть больше или равен числу эндогенных переменных в системе без одного. Дать оценку коэффициентам структурной модели можно абсолютно различными способами, выбор которых зависит от вида самой системы уравнений.Рассмотрим поподробнее алгоритм применения косвенного метода наименьших квадратов (КМНК). Он используется для точно идентифицируемой структурной модели.Первый шаг – преобразование структурной модели в приведенную.Второй шаг – для всех полученных уравнений с помощью МНК необходимо получить оценки приведенных коэффициентов.Третий шаг – в параметры структурной модели нужно преобразовать полученные коэффициенты приведенной формы модели.2. ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙИмеются следующие данные Таблица 2.1Исходные данные для расчетаГодГодовое потребление свинины на душу населения, кг., Оптовая цена руб. за кг., Доход на душу населения, руб., Расходы по обработке мяса,% к цене, 1605,01300602624,01300563654,21500564625,01600635663,8180050Общий вид искомой модели будет иметь следующий вид:y1=b12*y2+a11*x1y2=b21*y1+a22*x2, (2.1)где a11, a22, b12, b21 – структурные коэффициенты.В связи с этим, решение можно сказать заключается в определении соответственных коэффициентов a11, a22, b12, b21.Данная модель является системой одновременных уравнений. Необходимо определить идентифицируемо ли непосредственно каждое ее уравнение.Она содержить в себе две эндогенные переменные (y1, y2) и две предопределенные переменные (x1, x2).Для каждого из уравнений модели проверим необходимое условие идентификации.Первое уравнение: y1=b12*y2+a11*x1. В нем присутствуют две эндогенные переменные y1 и y2 и одна предопределенная переменная x1. Из этого следует, что H = 2, а D = 1, то есть выполняется условие D +1= H. Уравнение идентифицируемо.Уравнение второе: y2=b21*y1+a22*x2. В нем так же присутствуют две эндогенные переменные y1 и y2 и одна предопределенная переменная x2. Выполняется условие D +1= H (H = 2, а D = 1). Уравнение так же идентифицируемо.Все уравнения проверим на достаточное условие идентификации.Нам потребуется сформировать при переменных модели матрицу коэффициентов.Таблица 2.2Матрица коэффициентовy1y2x1x2I уравнение-1b12a110II уравнениеb21-10a22Для этого ранг матрицы коэффициентов при переменных, которые не присутствуют в рассматриваемом уравнении, должен равняться числу эндогенных переменных модели без одного, согласно достаточному условию идентификации.В первом уравнении матрица коэффициентов при переменных, которые не присутствуют в рассматриваемом уравнении, будет выглядеть такТаблица 2.3Матрица коэффициентов для первого уравненияx2II уравнениеa22Ранг вышепредставленной матрицы равен 1, а определитель матрицы не равен нулю.Для первого уравнения достаточное условие идентификации выполняется.Для второго уравнения матрица, будет выглядеть такТаблица 2.4Матрица коэффициентов для второго уравнения x1I уравнениеa11Ранг равен 1, а определитель не равен нулю.Для второго уравнения достаточное условие идентификации выполняется.Учитывая вышеизложенное, все уравнения нашей модели идентифицируемы. На основании этого, для того чтобы решить данную задачу нам придется использовать косвенный метод наименьших квадратов.В общем виде приведенная форма модели будет выглядеть данным образом:y1=δ11*x1+δ12*x2y2=δ21*x1+δ22*x2. (2.2)В данной системе δij находятся МНК.Дадим оценку приведенным коэффициентом в первом уравнении.Составим таблицу для последующих расчетов:Таблица 2.5Данные для расчетов - 1 уравнение х1х2y1x12x22y2х1 * x2x1 * yx2 * y113006060169000036003600780007800036002130056621690000313638447280080600347231500566522500003136422584000975003640416006362256000039693844100800992003906518005066324000025004356900001188003300СУММ750028531511430000163411986942560047410017918средЗНАЧ1500576322860003268,23973,885120948203583,6σ189,73674,381782,19089σ²3600019,24,8Далее рассчитаем параметры уравнения регрессии:Таблица 2.6Параметры первого уравнения регрессииb2b1-0,264810,0060940,1712060,0039540,8144961,4919934,390733219,547924,452085В итоге рассчитали, что b1 = 0,00609, b2 = -0,26481. То есть уравнение множественной регрессии выглядит данным образом: y1=0,00609*x1 - 0,26481*x2. (2.3)Оно показывает, что при увеличении только дохода на душу населения x1 (при неизменном x2) на 1 руб. годовое потребление свинины на душу населения y1 увеличится в среднем на 0,00609 кг, а при увеличении только расходов по обработке мяса x2 (при неизменном x1) на 1% годовое потребление свинины на душу населения y1 уменьшится в среднем на 0,26481 кг.Затем нам необходимо получить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе: ty = β1tx1 + β2tx2, тогда стандартизованные коэффициенты регрессии будут: β1 = 0,527724 и β2 = -0,52963.В результате получим:0,528*tx1 - 0,530*tx2 . (2.4)Поскольку есть возможность сравнения стандартизованных коэффициентов регрессии, то можно сказать, что доход на душу населения оказывает большее влияние на годовое потребление свинины на душу населения, чем расходы по обработке мяса.Посредством средних коэффициентов эластичности можно сопоставить воздействие факторов на результат: Э1=0,145087, Э2=-0,23959.Иначе говоря, увеличение только дохода на душу населения (от своего среднего значения) на 1% увеличивает в среднем годовое потребление свинины на душу населения на 0,145%, а увеличение только расходов по обработке мяса на 1% уменьшает в среднем годовое потребление свинины на душу населения на 0,240%.Соответственно, доказывается, что воздействие на результат y1 значительнее оказывается фактором x1, чем фактором x2.Дадим оценку приведенным коэффициентом во втором уравнении.Составим таблицу для последующих расчетов:Таблица 2.7Данные для расчетов - 2 уравнение х1х2y2x12x22y2х1 * x2x1 * yx2 * y11300605169000036002578000650030021300564169000031361672800520022431500564,22250000313617,64840006300235,2416006352560000396925100800800031551800503,83240000250014,44900006840190СУММ750028522114300001634198,08425600328401264,2средЗНАЧ1500574,422860003268,219,616851206568252,84σ189,73674,381780,505964σ²3600019,20,256Далее рассчитаем параметры уравнения регрессии:Таблица 2.8Параметры второго уравнения регрессииb2b10,112070,0002940,0347990,0008040,85630,3032625,95895621,0960640,183936В итоге рассчитали, что b1 = 0,00029, b2 = 0,11207. То есть уравнение множественной регрессии выглядит данным образом: y2=0,00029*x1+ 0,11207*x2. (2.5)Оно показывает, что при увеличении только дохода на душу населения x1 (при неизменном x2) на 1 руб. оптовая цена y2 увеличится в среднем на 0,00029 руб. за кг., а при увеличении только расходов по обработке мяса x2 (при неизменном x1) на 1% оптовая цена y2 увеличится в среднем на 0,11207 руб. за кг.Затем нам необходимо получить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе: ty = β1tx1 + β2tx2, тогда стандартизованные коэффициенты регрессии будут: β1 = 0,110278 и β2 = 0,970557.В результате получим:0,110*tx1 + 0,971*tx2 . (2.6)Поскольку есть возможность сравнения стандартизованных коэффициентов регрессии, то можно сказать, что расходы по обработке мяса оказывают большее влияние на оптовую цену, чем доходы на душу населения.Посредством средних коэффициентов эластичности можно сопоставить воздействие факторов на результат: Э1=0,100253, Э2=1,451819.Иначе говоря, увеличение только дохода на душу населения (от своего среднего значения) на 1% увеличивает в среднем оптовую цену на 0,1%, а увеличение только расходов по обработке мяса на 1% увеличивает в среднем оптовую цену на 1,45%.Соответственно, доказывается, что воздействие на результат y2 значительнее оказывается фактором x2, чем фактором x1.Учитывая вышеизложенное, приведенная форма модели будет выглядеть следующим образом:y1=0,00609*x1 - 0,26481*x2y2=0,00029*x1+ 0,11207*x2.