Эконометрика. Вариант 5

2. Практическая часть.

ЗАДАЧА 1
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений парной регрессии, вид функциональной связи для расчета зависит от варианта:
Степенная функция (1, 3, 5 варианты);
Показательная функция (2, 6, 8 варианты);
Равносторонняя гипербола (4, 7 варианты).
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F-критерий Фишера статистическую надежность результатов регрессивного моделирования.
7. Оцените с помощью t-критерия Стьюдента качество параметров уравнения.
8. Рассчитайте ...

1. Теоретический вопрос.
Характеристики временных рядов.
2. Практическая часть. Задача 1

2. Практическая часть.
ЗАДАЧА 1
ВАРИАНТ 5
По территориям Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные 200х г. (табл. 1).
Таблица 1.
Район Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., у Денежные доходы на душу населения, тыс.руб., х
Северный
Респ. Карелия 596 913
Респ. Коми 417 1095
Архангельская обл. 354 606
Вологодская обл. 526 876
Мурманская обл. 934 1314
Северо-Западный
Ленинградская обл. 412 593
Новгородская обл. 525 754
Псковская обл. 367 528
Центральный
Брянская обл. 364 520
Владимирская обл. 336 539
Ивановская обл. 409 540
Калужская обл. 452 682
Костромская обл. 367 537
Московская обл. 328 589
Орловская обл. 460 626
Рязанская обл. 380 521
Смоленская обл. 439 626
Тверская обл. 344 521
Тульская обл. 401 658
Ярославская обл. 514 746

412593Новгородская обл.525754Псковская обл.367528ЦентральныйБрянская обл.364520Владимирская обл.336539Ивановская обл.409540Калужская обл.452682Костромская обл.367537Московская обл.328589Орловская обл.460626Рязанская обл.380521Смоленская обл.439626Тверская обл.344521Тульская обл.401658Ярославская обл.514746Решение:Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.Рисунок 1Гипотеза о форме связи: степенная функция имеет вид Y=axb.Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится y при возрастании x на 1%.Таким образом, с увеличением денежных доходов на душу населения, возрастают, и потребительские расходы на душу населения.Рассчитайте параметры уравнений парной регрессии, вид функциональной связи:Для расчета параметров уравнения регрессии строим расчетную таблицу № 2 (приложение № 1).Проведем линеаризацию переменных обеих частей уравнения, получим:Y=lg y; X= lg x; C = lg alg y =lg a + b*lg xY = C +b*XРассчитаем параметры регрессии:b = XY- XYX2-X2 = 7,448413-2,822739*2,6352980,012496 = 0,772983C = Y – b*X = 2,635298-0,772983*2,823728 = 0,453371Получим:Y = 0,453371+0,772983*ЧПреобразуем полученное уравнение:ŷ(x) = 100,453371 *x0,772983 = 2,840343*x0,772983Далее заполним столбцы 11-13 таблицы № 2 и отобразим на графике линию регрессии.Рисунок 2Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.Индекс корреляции:xy = 1-(y-ŷx)2)y-ӯ2 = 1- 106264,6809352033,8 = 0,83Так как значение индекса корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии высокой связи между признаками.Индекс детерминации:(xy)2 =0,832 = 0,698Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.Средний коэффициент эластичности для степенной модели имеет вид:Э = b; Э =0,77.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.В столбце 14 таблицы №2 рассчитаны ошибки аппроксимации по каждому региону отдельно по формуле Ai=yi-yxiyi∙100%. Средняя ошибка аппроксимации равна 9,9%.Оцените с помощью F-критерий Фишера статистическую надежность результатов регрессивного моделирования. Выдвинем нулевую гипотезу H0: b=0, коэффициент регрессии равен нулю и, следовательно, фактор x не оказывает влияние на результат y.Fтабл ( = 0,05; к1 = 1; к2 = 20-1-1=18)Fтабл = 4,41Fфакт = 2xy1-2xy *n-m-1m = 0,6981-0,698*181 = 41,6Получим Fфакт > Fтабл, H0 – гипотезу о случайной природе, оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.Оцените с помощью t-критерия Стьюдента качество параметров уравнения.Выдвинем гипотезу H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличие от нуля.tтабл = 2,101 ( =0,05; n – 2 =18)Рассчитаем стандартные ошибки:ma=iyi-yxi2n-m-1∙ixi2n22;ma=106264,680918∙10372483202*43007,03=59,66mb=iyi-yxi2n-m-1∙n∙2;mb=109678,118∙20∙43007.03= 0,0828mρxy=1-ρxy2n-m-1.mρxy=1-0,69818=0,129Тогда ta=ama; tb=bmb; tρ=ρxymρ.ta=ama=0,0476<tтаблtb=bmb=9,33>tтаблtρ=ρxymρ=6,45>tтаблТаким образом, получено, что параметры b и xy не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми.a – случайно отличается нуля и является статистически незначимым. Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Определим предельную ошибку:a =tтабл *ma = 2,101*59,66= 125,34566b = tтабл *mb = 2,101 * 0,0828 = 0,1739628a = a ± a; a = 2,84±125,34566a min = – 122,50566a max = 128,18566Так как в границы доверительного интервала попадает нуль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимаем нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.b = b ± b; b = 0,772983 ± 0,1739628b min = 0,5990202b max = 0,9469458Параметр b, с вероятностью 95% находится в указанных границах и не принимает нулевых значений.Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.Если прогнозное значение денежных доходов на душу населения составит: xp = 110%* x;xp = 1,1* 689,65 = 758,615, то тогда прогнозное значение потребительских расходов на душу населения будет:ŷp = 2,840343*758,6150,772983ŷp = 478,16Рассчитаем ошибку прогноза и доверительный интервал прогноза:mŷp = Sост2*(1+1n+(xp-x)2n*σx2 = 106264,680918*(1+120+(758,615-689,65)220*43007,03 = =78,93933 ŷp = tтабл * mŷp = 2,101*78,93933 = 165,85Доверительный интервал прогноза составит:ŷp – ŷp ≤ ŷxp ≤ ŷp + ŷp478,16 – 165,85 ≤ ŷxp ≤ 478,16+165,85312,31 ≤ ŷxp ≤ 644,01Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.По данным двадцати регионов проведен регрессионный анализ зависимости потребительских расходов от денежных доходов на душу населения, с помощью степенной модели.В результате получили:Уравнение степенной модели парной регрессии ŷ(x) = 2,840343*x0,772983.Показатель b в уравнении является коэффициентом регрессии и показывает на сколько процентов изменится результативный показатель, при изменении фактора на 1%. Знак при коэффициенте регрессии указывает направление связи между фактором и результативным показателем.В нашем уравнении b> 0, следовательно, связь прямая и с увеличением значения фактора (x) возрастает и значение результативного показателя (y).Таким образом, при увеличении денежных доходов на 1%, в среднем потребительские расходы на душу населения повышаются на 0,77%.Индекс парной корреляции равен 0,83, следовательно, связь между денежными доходами и потребительскими расходами на душу населения высокая.Индекс детерминации составил 0,698, следовательно на 69,8% изменение доли потребительских расходов обусловлено изменением денежных доходов и только на 30,2% связано с влиянием прочих факторов, не исследуемых в данной модели.Коэффициент эластичности для степенной модели равен параметру b = 0,77 и является величиной постоянной. Средняя ошибка аппроксимации составила 9,9%.