Математическое моделирование экономических процессов на жд транспорте

-
...

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Использование методов линейного программирования для целей оптимального распределения ресурсов 4
1.1. Оптимизация плана перевозок с использованием метода потенциалов 4
1.2. Оптимизация плана транспортной задачи с использованием метода потенциалов на сети 11
1.3. Обобщенная (распределительная) транспортная задача 15
2. Применение методов математической статистики в экономических расчетах 23
2.1. Расчет параметров регрессионных моделей. 23
2.2. Расчет параметров парной корреляции 27
2.3. Выравнивание рядов распределений с проверкой гипотезы нормальности по критерию Пирсона на базе эмпирического ряда величин себестоимости железнодорожной перевозки. 29
Список литературы 36

ВВЕДЕНИЕ

В различных ситуациях, используя метод проб и ошибок, интуицию и опыт, накапливаемый в каждой конкретной ситуации, мы пытаемся выработать пути принятия наилучших решений.
Принятие решения в конкретной ситуации требует особого подхода и использования многообразия существующих альтернатив и методов поиска.
С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т.д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Обойдем контур по выбранному направлению, вычитая найденное значение из встречных потоков и прибавляя к попутным.Затраты на перевозки по скорректированному плану составят:F=42∙8+28∙13+70∙4+48∙12+43∙19+18∙4+15∙37+23∙16+29∙53+31∙17+20∙9+35∙16+32∙15+12∙48=7228Условие оптимальности выполняется для всех звеньев. Решение задачи получено.Обобщенная (распределительная) транспортная задачаИмеется возможность выпуска 5 видов продукции (j=1, j=2, j=3, j=4, j=5) на трех типах оборудования (i=1, i=2, i=3)Сформировать математическое описание задачи.Построить первоначальное распределение.Найти оптимальный план модифицированным методом потенциалов.Выполнить анализ оптимального производственного плана, включая состав и объем выпуска продукции и состояние использованных ресурсов.Математическая модель распределительной транспортной задачи состоит в следующем:Найти:(1.3.1)При условии: ,i=1,2,3,..,m (1.3.2),j=1,2,3,...,n(1.3.3)(1.3.4)Здесь:i – индекс ресурсов;j – индекс производимой продукции, работы, выполняемых перевозок;xij – неизвестное, характеризующее объем ресурсов i выполненной работы j;kij – затраты ресурсов при выполнении работы j;cij – расходы (себестоимость) при выполнении работы с привлечением ресурсов i;ai – ресурсы с номером i;bj – потребность в работе с номером j.Алгоритм решения5730240839470150015Алгоритм модифицированного метода потенциалов состоит из двух этапов. На первом этапе осуществляется построение допустимого плана.Шаг 1. Построение базиса выполняется с учетом минимальной стоимости ресурса и максимальной производительности его использования. Для этого в каждом столбце отыскивается клетка с max показателем производительности (kij) и min стоимости (сij).Найденный оптимальный план необязательно должен содержать в точности n+m - 1 элементов базиса. Если одна или более строк содержат резервы ресурсов, соответствующие строки получают потенциалы равные нулю. Поэтому количество базисных элементов, хотя, может быть и меньше чем в обычной транспортной задаче подобной размерности, их достаточно для расстановки потенциалов. Если план оказывается вырожденным, он дополняется фиктивными базисными клетками с нулевыми значениями по собственному выбору. Сама базисная клетка помимо показателей kij и сij содержит два показателя: работы и затраченных ресурсов, необходимых для выполнения этой работы.На втором этапе выполняются итеративные процедуры оптимизации базиса задачи.Шаг 2. Выполняется расстановка потенциалов по базисным элементам матрицы по формулам:,(1.3.5),(1.3.6)Расстановка потенциалов начинается с одной из строк, имеющей резерв неиспользованных ресурсов. Такой строке присваивается потенциал, равный нулюШаг 3. Проверка решения на оптимальность. Должны выполняться условия:,(1.3.7)(1.3.8)Если условия не выполняется, переход к шагу 4; иначе получен оптимальный и допустимый план.Шаг 4. Построение нового базиса. Отыскивается небазисная клетка с наибольшим нарушением условия оптимальности, относительно которой строится контур перераспределения элементов базиса. Существует два типа контуров. Первый – замкнутого вида, почти аналогичен контуру, построенному по методу потенциалов при решении обычных транспортных задач. Отличием этого контура служит цепочка (шлейф), которая соединяет элементы контура с базисной клеткой, размещенной в n+1 столбце с резервами ресурсов. 571500041021000Другой контур – открытого типа, по аналогии с методом разрешающих слагаемых, включает в себя два элемента n+1 столбца с резервами ресурсов.После построения нового базиса с учетом расчетов по найденному контуру – переход к шагу 2.Решение:150150150100300небаланс(резервныйстолбец)Ui300100200VjПроверим план на оптимальность:1) все Ui≥0 – условие выполнено2) все небазисные клетки удовлетворяют условиям.Получен оптимальный и допустимый план.Анализ:Анализ решения распределительной задачи состоит в исследовании оптимального плана распределения ресурсов и потенциалов строк и столбов.В соответствии с полученным оптимальным планом полностью израсходован только 2-ой ресурс. Первый и третий ресурсы используется не полностью, и их остаток составляет 25 и 150 единиц.Так же можно отметить, что 1, 2, 3 и 4 виды работ осуществляются только за счет использования первого вида ресурсов, а пятая работа осуществляется за счет использования второго и третьего вида ресурсов.Потенциалы строк характеризуют эффективность использования ресурсов и эквиваленты по своим экономическим свойствам двойственным оценкам общей задачи линейного программирования. Чем выше потенциалы строк, тем более эффективно используются ресурсы. Эти потенциалы являются характеристиками степени дефицитности использования ресурсов. Так как задача решается на минимум, прирост на единицу ресурса приводит к сокращению целевой функции на величину потенциала.Наиболее эффективно используется второй вид ресурсов, его потенциал равен 15, менее эффективно используется 1 и 3 виды ресурсов. Потенциалы столбцов характеризуют сравнительные оценки эффективности выполняемых работ. Чем ниже значение оценки, тем меньше затраты на единицу вырабатываемой продукции.Наименьшие затраты на единицу вырабатываемой продукции имеют первый и третий виды работ, их потенциалы соответственно равны V1=5 и V2=7,5 . Наибольших затрат требует пятый вид, чей потенциал равен V5=17,5.Применение методов математической статистики в экономических расчетах Расчет параметров регрессионных моделей.Проверка надежности найденных статистических показателей и вариаций измененийОдной из главных задач повышения качества планирования является становление достоверных показателей на основе объективных количественных закономерностей, существующих в экономических процессах на транспорте.Функциональная зависимость между независимой переменной Х и зависимой У состоит в том, что каждому значению Х поставлено в однозначное соответствие определенное значение У. В реальных условиях, когда одновременно действует много факторов, изучаемая связь теряет свою функциональность. Возникает потребность в оценке таких зависимостей иными, статистическими методами. Одним из признанных методов определения статистической связи являются расчеты на базе линейной модели регрессионного анализа. Парную регрессионную модель можно представить графиком, где на оси абсцисс откладывается независимая переменная Х, а на оси ординат – независимая У. Линейная регрессия описывается уравнением вида:(2.1.1)где Yx - оцениваемая величина;х - независимая переменная;a и b - параметры выборки.В основе расчета параметров лежит метод наименьших квадратов с использованием в качестве математической модели нормальной системы уравнений: (2.1.2) (2.1.3)Параметры a и b находятся соответствующими алгебраическими преобразованиями и подстановкой: (2.1.4) (2.1.5)где x* , y* - средние значения параметров,n- число испытаний.569976070612000ЗАДАНИЕ 1. Установить статистическую зависимость между годовым объемом работы по грузообороту (млрд ткм), приняв его за независимую переменную (x) и фондоемкостью перевозок приняв ее за зависимую переменную (Y). Составить линейную модель вида Yx=a+bx. Исходные данные представлены в таблице 2.1.1 и 2.1.2Исходные данные:Таблица 2.1.1Грузооборот в млн. т-км (х)1234567891011129119841067510137Таблица 2.1.2Показатели фондоемкости перевозок (y), руб. на 1 т-км123456789101112100100604020604040408010060Решение:Ниже в табл. 2.1.3 приведена последовательность действий при построении уравнения регрессии. В последних двух строках приведены значения сумм и средних показателей.Таблица 2.1.3 nxyxyx2Y(x)y-Y(x)(y-Yx)2Y2y-y*y-y*2110100100010076,6923,31543,361000038,31466,89211100110012185,5114,49209,961000038,31466,8939605408167,87-7,8761,943600-1,72,8948403206459,05-19,05362,901600-21,7470,895420801623,77-3,7714,21400-41,71738,896106060010076,69-16,69278,563600-1,72,8976402403641,41-1,411,991600-21,7470,8987402804950,23-10,23104,651600-21,7470,8995402002532,597,4154,911600-21,7470,8910108080010076,693,3110,96640018,3336,1111131001300169103,15-3,159,921000038,31466,89127604204950,239,7795,453600-1,72,78∑1007406880910--1748,8154000-8367,79x=8,3y=61,7x*=х12=10012=8,3y*=y12=74012=61,7b=(6880 – 12∙8,3∙61,7)(910 – 12∙8,3^2) =8,82a=61,7-8,82∙8,3=-11,51Yx=a+bx=-11,51+8,82Линия тренда зависимости показателя фондоемкости перевозок от объема грузооборотаЗАДАНИЕ 2. Определить достоверность найденного уравнения линейной регрессионной модели, используя критерий Фишера.Для использования критерия Фишера (F) устанавливается отношение (h) полной дисперсии (s2y ) к остаточной (s2y, x) :(2.1.6)(2.1.7)(2.1.8)m - число факторов в модели (m = 2)Решение:Из расчетов таблицы 2.1.1 имеем:Sy,x21748,8112-2 =174,88Sy2=8367,79 12-1=760,71Критерий Фишера:т=760,71174,88 =4,35В знаменателе число степеней свободы 11, в числителе – 10. В соответствующей статистической таблице F - распределения (Приложение 1) определим, что с доверительной вероятностью, например, в 95 случаях из 100 мы имеем удовлетворительный результат, так как f(0.95) = 2.94, и меньше значения n.