Спектральный анализ сигналов

Спектральная плотность выходного сигнала с учетом соотношения и свойства смещения для преобразования Фурье выглядит следующим образом:
...

Исходные данные - 1
1. Амплитудный спектр видеоимпульса - 1
2. Спектр периодической последовательности видеоимпульсов - 5
3. Спектральный анализ одиночного радиоимпульса - 6
4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов - 9
5. Корреляционный анализ непериодического сигнала - 11
6. Анализ линейной цепи - 12
Список литературы - 17

Исходные данные
Временная диаграмма заданного видеосигнала показана на рис. 1, схема электрической цепи показана на рис. 2. Значение параметра видеосигнала t1 2 мс. При выполнении курсовой работы считаются известными спектральная плотность δ-импульса, спектральная плотность и корреляционная функция прямоугольного видеоимпульса, спектральная плотность и корреляционная функция экспоненциального видеоимпульса, спектральная плотность и корреляционная функция симметричного треугольного видеоимпульса ([1, табл.2.1, табл.3.1]).

6 изображена периодическая последовательность видеоимпульсовsпt=k=-∞∞st-kT, (2.1)где T=Qτ0=5τ0=5∙0,003=0,015 c – период последовательности.Рис. 6. Периодическая последовательность импульсов.Для спектрального анализа данной последовательности воспользуемся тригонометрическим рядом Фурье:sпt=A02+n=1∞Ancos⁡(Ωnt+φn), (2.2)в котором амплитуды и фазы гармонических компонент связаны со спектральной плотностью одиночного импульса следующим образом:An=2TS(Ωn), (2.3)φn=φ(Ωn). (2.4)Здесь Ωn=2πnT – частота n-й гармоники.Амплитудный спектр периодической последовательности будет определяться совокупностью коэффициентов A02,Ann=1∞, фазовый спектр – коэффициентами φ0=0,φnn=1∞. Используя выражения (1.5) и (1.6), получим:An=aτ0∙sincπnτ0Tsin2πnTt0-sin⁡(2πnTt1)2+cos2πnTt1-aτ0∙sincπnτ0Tcos⁡(2πnTt0)22πnT, (2.5)φn=arctgcos2πnTt1-aτ0∙sincπnτ0Tcos⁡(2πnTt0)aτ0∙sincπnτ0Tsin2πnTt0-sin⁡(2πnTt1). (2.6)Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы для периодического сигнала и их огибающие изображены на рис. 7 и рис. 8.Рис. 7. Амплитудный спектр периодического сигнала.Рис. 8. Фазовый спектр периодического сигнала.Спектральный анализ одиночного радиоимпульсаСформируем из сигнала st радиоимпульс путем его умножения на несущее колебание частоты ω0:ut=stcos⁡(ω0t). (3.1)Полученный радиоимпульс условно показан на рис. 9, пунктиром обозначена огибающая и ее отражение относительно оси абсцисс.Рис. 9. Одиночный радиоимпульс.Несущую частоту ω0 выберем, исходя из условия ω0≥50÷100Δω:ω0=100Δω=100∙6480=6,48∙105 рад/с.Спектральная плотность радиоимпульса U(ω) образуется путем переноса спектра видеоимпульса с множителем 12 на величину несущей частоты ±ω0:Uω=12Sω-ω0+12Sω+ω0. (3.2)Для заданного сигнала получаем: Uω=j2ω-ω0ejω-ω0t1-aτ0∙sincω-ω0τ02ejω-ω0t0,ω>0j2ω+ω0ejω+ω0t1-aτ0∙sincω+ω0τ02ejω+ω0t0,ω<0. (3.3)Выражения для амплитудного и фазового спектров имеют вид:Uω=12Sω-ω0,ω>012Sω+ω0,ω<0, (3.4)φUω=φsω-ω0,ω>0φsω+ω0,ω<0. (3.5)Подстановка (1.5) и (1.6) в соотношения (3.4) и (3.5) приводит к несложным, но довольно громоздким результатам, которые по этой причине здесь не приводятся. Графики амплитудного и фазового спектров радиоимпульса в окрестности частоты ω0 представлены на рис. 10 и рис. 11.Рис. 10. Амплитудный спектр радиоимпульса.Рис. 11. Фазовый спектр радиоимпульса.Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсовПериодическая последовательность радиоимпульсов записывается какuпt=k=-∞∞ut-kT (4.1)и изображена на рис. 12. Период следования импульсов был рассчитан в п. 2, несущая частота выбрана в п. 3.Рис. 12. Периодическая последовательность радиоимпульсов.При спектральном анализе последовательность (4.1) представляется в виде ряда:uпt=n=-∞∞Vncos⁡ω0+Ωnt+ψn, (4.2)где Vnn=-∞∞ и ψnn=-∞∞ – амплитуды и фазы гармонических составляющих, связанные с коэффициентами Ann=0∞ и φnn=0∞ для периодической последовательности видеоимпульсов через соотношения:Vn=V-n=An2,ψn=φnsign(n), (4.3)где signx=-1,x<00,x=01,x>0 – знаковая функция.С учетом (2.5) и (2.6) определим выражения для коэффициентов Vn и ψn: Vn=aτ0∙sincπnτ0Tsin2πnTt0-sin⁡(2πnTt1)2+cos2πnTt1-aτ0∙sincπnτ0Tcos⁡(2πnTt0)24πnT, (4.4)ψn=arctgcos2πnTt1-aτ0∙sincπnτ0Tcos⁡(2πnTt0)aτ0∙sincπnτ0Tsin2πnTt0-sin⁡(2πnTt1)∙sign(n). (4.5)Амплитудные и фазовые спектральные коэффициенты, а также их огибающие показаны на рис. 13 и рис. 14.Рис. 13. Амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.Рис. 14. Фазовый спектр периодической последовательности радиоимпульсов.